概率论与数理统计第二版谢永钦课后答案.docx

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概率论与数理统计第二版谢永钦课后答案

概率论与数理统计第二版谢永钦课后答案

概率论与数理统计习题及答案习题一1．略.见教材习题参考答案.2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件：



（1）A发生，B，C都不发生；

（2）A与B发生，C不发生；（3）A，B，C都发生；（4）A，B，C至少有一个发生；（5）A，B，C都不发生；（6）A，B，C不都发生；（7）A，B，C至多有2个发生；（8）A，B，C至少有2个发生.【解】

（1）ABC

（2）ABC（3）ABC（4）A∪B∪C=ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC（5）ABC=AUBUC（6）ABC1（7）ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC=A∪B∪C（8）AB∪BC∪CA=ABC∪ABC∪ABC∪ABC3.略.见教材习题参考答案4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P（A-B）=0.3，求P（AB）.【解】P（）=1-P（AB）=1-[P（A）-P（A-B）]=1-[0.7-0.3]=0.65.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P（B）=0.7,求：



（1）在什么条件下P（AB）取到最大值？



（2）在什么条件下P（AB）取到最小值？

【解】

（1）当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6.

（2）当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3.6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.【解】P（A∪B∪C）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（BC）-P（AC）+P（ABC）=11114+4+3-12=347.从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？

【解】p=C53321313C13C13C13/C528.对一个五人学习小组考虑生日问题：

（1）求五个人的生日都在星期日的概率；

（2）求五个人的生日都不在星期日的概率；2（3）求五个人的生日不都在星期日的概率.【解】

（1）设A1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故P（A1）=115=（）（亦可用独立性求解，下同）577

（2）设A2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故6565P（A2）=5=（）77（3）设A3={五个人的生日不都在星期日}P（A3）=1-P（A1）=1-（15）79.略.见教材习题参考答案.10.一批产品共N件，其中M件正品.从中随机地取出n件（n<N）.试求其中恰有m件（m≤M）正品（记为A）的概率.如果：



（1）n件是同时取出的；

（2）n件是无放回逐件取出的；（3）n件是有放回逐件取出的.【解】

（1）P（A）=CMCN-M/CN

（2）由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有PN种，n次抽取中有m次为正品的组合数为Cn种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从M件正品中取m件的排列数有PM种，从N-M件次品中取n-m件的排列数为PN-M种，故mn-mCmnPMPN-MP（A）=nPNmn-mnmmn-mn由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成3n-mCmMCN-MP（A）=nCN可以看出，用第二种方法简便得多.（3）由于是有放回的抽取，每次都有N种取法，故所有可能的取法总数为Nn种，n次抽取中有m次为正品的组合数为Cn种，对于固定的一种正、次品的抽取次序，m次取得正品，都有M种取法，共有Mm种取法，n-m次取得次品，每次都有N-M种取法，共有（N-M）n-m种取法，故mn-mP（A）=Cm/NnnM（N-M）m此题也可用贝努里概型，共做了n重贝努里试验，每次取得正品的概率为M，则取得m件正品的概率为Nmn-mæMöæMöP（A）=Cmnç÷ç1-÷NNøèøè11.略.见教材习题参考答案.12.50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱.每个部件用3只铆钉.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？

【解】设A={发生一个部件强度太弱}33P（A）=C110C3/C50=1196013.一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，计算至少有两个是白球的概率.【解】设Ai={恰有i个白球}（i=2,3），显然A2与A3互斥.1C2184C3P（A2）=3=,C735C344P（A3）=3=C7354故P（A2UA3）=P（A2）+P（A3）=223514.有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，在两批种子中各随机取一粒，求：

（1）两粒都发芽的概率；

（2）至少有一粒发芽的概率；（3）恰有一粒发芽的概率.【解】设Ai={第i批种子中的一粒发芽}，（i=1,2）

（1）P（A1A2）=P（A1）P（A2）=0.7´0.8=0.56

（2）P（A1UA2）=0.7+0.8-0.7´0.8=0.94（3）P（A1A2UA1A2）=0.8´0.3+0.2´0.7=0.3815.掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止.

（1）问正好在第6次停止的概率；

（2）问正好在第6次停止的情况下，第5次也是出现正面的概率.【解】

（1）p2（121315C111314（）（）1=C52）

（2）2=32

（2）p2=5/32=2516.甲、乙两个篮球运动员，投篮命中率分别为0.7及0.6，每人各投了3次，求二人进球数相等的概率.【解】设Ai={甲进i球}，i=0,1,2,3,Bi={乙进i球},i=0,1,2,3,则P（3iU=0A212iBi3）=（0.3）3（0.4）3+C130.7´（0.3）C30.6´（0.4）+C2223（0.7）´0.3C3（0.6）20.4+（0.7）3（0.6）3=0.32076517．从5双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率.【解】p=1-C41115C12CC2C2C4=213102118.某地某天下雪的概率为0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求：

（1）在下雨条件下下雪的概率；

（2）这天下雨或下雪的概率.【解】设A={下雨}，B={下雪}.

（1）p（BA）=P（AB）P（A）=0.10.5=0.2

（2）p（AUB）=P（A）+P（B）-P（AB）=0.3+0.5-0.1=0.719.已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男为女是等可能的）.【解】设A={其中一个为女孩}，B={至少有一个男孩}，样本点总数为23=8，故P（BA）=P（AB）6/8P（A）=7/8=67或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7.P（BA）=6720.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）.【解】设A={此人是男人}，B={此人是色盲}，则由贝叶斯公式P（AB）=P（AB）P（A）P（BA）P（B）=P（A）P（BA）+P（A）P（BA）6=0.5´0.05200.5´0.05+0.5´0.0025=2121.两人约定上午9∶00~10∶00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率.题21图题22图【解】设两人到达时刻为x,y,则0≤x,y≤60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于|x-y|>30.如图阴影部分所示.302P=1602=422.从（0，1）中随机地取两个数，求：

76的概率；51

（2）两个数之积小于的概率.4

（1）两个数之和小于【解】设两数为x,y，则0<x,y<1.

（1）x+y<6.514417p1=1-==0.681251

（2）xy=<.4p2=1-çæ1ö11dxdy11÷=+ln24xè4ø42123.设P（A）=0.3,P（B）=0.4,P（AB）=0.5，求P（B｜A∪B）【解】P（BAUB）=P（AB）P（A-）PAB（）=P（AUB）P（A）+P（B）-P（AB）=0.7-0.51=0.7+0.6-0.5424.在一个盒中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率.【解】设Ai={第一次取出的3个球中有i个新球}，i=0,1,2,3.B={第二次取出的3球均为新球}由全概率公式，有8P（B）=åP（BAi）P（Ai）i=0323213C3C9C1C8C9C6C3C9C369C67=3·3+3·3+3·3+3·36=0.089C15C15C15C15C15C15C15C15325.按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问：

（1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？

（2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？

【解】设A={被调查学生是努力学习的}，则A={被调查学生是不努力学习的}.由题意知P（A）=0.8，P（A）=0.2，又设B={被调查学生考试及格}.由题意知P（B|A）=0.9，P（B|A）=0.9，故由贝叶斯公式知P（A）P（BA）P（AB）

（1）P（AB）==P（B）P（A）P（BA）+P（A）P（BA）=0.2´0.11==0.027020.8´0.9+0.2´0.137即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702%P（A）P（BA）P（AB）

（2）P（AB）==P（B）P（A）P（BA）+P（A）P（BA）=0.8´0.14==0.30770.8´0.1+0.2´0.913即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.926.将两信息分别编码为A和B传递出来，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02，而B被误收作A的概率为0.01.信息A与B传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是A，试问原发信息是A的概率是多少？

【解】设A={原发信息是A}，则={原发信息是B}C={收到信息是A}，则={收到信息是B}由贝叶斯公式，得P（AC）==P（A）P（CA）P（A）P（CA）+P（A）P（CA）2/3´0.98=0.994922/3´0.98+1/3´0.0127.在已有两个球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，若发现这球为白球，试求箱子中原有一白球的概率（箱中原有什么球是等可能的颜色只有黑、白两种）【解】设Ai={箱中原有i个白球}（i=0,1,2），由题设条件知P（Ai）=1,i=0,1,2.又设B={抽出一球为白球}.由贝叶斯公式知3P（A1B）=P（BA1）P（A1）P（A1B）=2P（B）åP（BAi）P（Ai）i=0=2/3´1/31=1/3´1/3+2/3´1/3+1´1/3328.某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.【解】设A={产品确为合格品}，B={产品被认为是合格品}由贝叶斯公式得10P（AB）==P（A）P（BA）P（AB）=P（B）P（A）P（BA）+P（A）P（BA）0.96´0.98=0.9980.96´0.98+0.04´0.0529.某保险公司把被保险人分为三类：

“谨慎的”，“一般的”，“冒失的”.统计资料表明，上述三种人在一年设A={该客户是“谨慎的”}，B={该客户是“一般的”}，C={该客户是“冒失的”}，D={该客户在一年内出了事故}则由贝叶斯公式得P（A|D）==P（AD）P（A）P（D|A）=P（D）P（A）P（D|A）+P（B）P（D|B）+P（C）P（D|C）0.2´0.05=0.0570.2´0.05+0.5´0.15+0.3´0.330.加工某一零件需要经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率.【解】设Ai={第i道工序出次品}（i=1,2,3,4）.P（UAi）=1-P（A1A2A3A4）i=14=1-P（A1）P（A2）P（A3）P（A4）=1-0.98´0.97´0.95´0.97=0.12431.设每次射击的命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9?

【解】设必须进行n次独立射击.1-（0.8）n³0.911即为（0.8）£0.1故n≥11至少必须进行11次独立射击.32.证明：

若P（A｜B）=P（A｜B），则A，B相互独立.n=【证】P（A|B）P（A|B）即P（AB）P（AB）=P（B）P（B）亦即P（AB）P（B）=P（AB）P（B）P（AB）[1-P（B）]=[P（A）-P（AB）]P（B）因此P（AB）=P（A）P（B）故A与B相互独立.33.三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为【解】设Ai={第i人能破译}（i=1,2,3），则111，，，求将此密码破译出的概率.534P（UAi）=1-P（A1A2A3）=1-P（A1）P（A2）P（A3）i=13=1-423´´=0.653434.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：

飞机被击落的概率.【解】设A={飞机被击落}，Bi={恰有i人击中飞机}，i=0,1,2,312由全概率公式，得P（A）=åP（A|Bi）P（Bi）i=03=（0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7）0.2+（0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7）0.6+0.4×0.5×0.7=0.45835.已知某种疾病患者的痊愈率为25%，为试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，且规定若10个病人中至少有四人治好则认为这种药有效，反之则认为无效，求：

（1）虽然新药有效，且把治愈率提高到35%，但通过试验被否定的概率.

（2）新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率.【解】

（1）p1=åCk=0k103k10（0.35）k（0.65）10-k=0.5138

（2）p2=åCk=410（0.25）k（0.75）10-k=0.224136.一架升降机开始时有6位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率：

（1）A=“某指定的一层有两位乘客离开”；

（2）B=“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”；（3）C=“恰有两位乘客在同一层离开”；（4）D=“至少有两位乘客在同一层离开”.【解】由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开，故所有可能结果为106种.24C69

（1）P（A）=，也可由6重贝努里模型：

6101321294P（A）=C6（）（）1010

（2）6个人在十层中任意六层离开，故6P10P（B）=610（3）由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有C10种可能结果，再从六人中选二人在该层离开，有C6种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情况，因此可包含以下三种离开方式：

①4人中有3个人在同一层离开，另一人在其余8层中任一层离开，共有C9C4C8种可能结果；②4人同时离开，有C9种可能结果；③4个人都不在同一层离开，有P9种可能结果，故2131146P（C）=C110C6（C9C4C8+C9+P9）/101413112（4）D=B.故6P10P（D）=1-P（B）=1-61037.n个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率：

（1）甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率；

（2）甲、乙、丙三人坐在一起的概率；（3）如果n个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率.【解】

（1）p1=1n-114

（2）p3!

（n-3）!

2=（n-1）!

n>3（3）p（n-1）!

11¢=n!

=n;p¢3!

（n-2）!

2=n!

n³338.将线段[0，a]任意折成三折，试求这三折线段能构成三角形的概率【解】设这三段长分别为x,y,a-x-y.则基本事件集为由0<x<a,0<y<a,0<a-x-y<a所构成的图形，有利事件集为由éêx+y>a-x-yêx+（a-x-y）>yêëy+（a-x-y）>x构成的图形，即éê0

31）=443=8而杯中球的最大个数为3，即三个球全放入一个杯中，故16C114P（A3）=3=416因此P（A2）=1-P（A1）-P（A3）=1-3198-16=16或P（AC1214C3C32）=43=91643.将一枚均匀硬币掷2n次，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】掷2n次硬币，可能出现：

A={正面次数多于反面次数}，B={正面次数少于反面次数}，C={正面次数等于反面次数}，A，B，C两两互斥.可用对称性来解决.由于硬币是均匀的，故P（A）=P（B）.所以P（A）=1-P（C）2由2n重贝努里试验中正面出现n次的概率为P（C）=Cn1n1n2n

（2）

（2）故P（A）=12[1-Cn12n22n]44.掷n次均匀硬币，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】设A={出现正面次数多于反面次数}，B={出现反面次数多于正面次数}，由对称性知P（A）=P（B）

（1）当n为奇数时，正、反面次数不会相等.由P（A）+P（B）=1得P（A）=P（B）=0.5

（2）当n为偶数时，由上题知P（A）=1n212[1-Cn

（2）n]45.设甲掷均匀硬币n+1次，乙掷n次，求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率.17【解】令甲正=甲掷出的正面次数，甲反=甲掷出的反面次数.乙正=乙掷出的正面次数，乙反=乙掷出的反面次数.显然有（甲正>乙正）=（甲正≤乙正）=（n+1-甲反≤n-乙反）=（甲反≥1+乙反）=（甲反>乙反）由对称性知P（甲正>乙正）=P（甲反>乙反）因此P（甲1正>乙正）=246.证明“确定的原则”（Sure-thing）：

若P（A|C）≥P（B|C）,P（A|C）≥P（B|C），则P（A）≥P（B）.【证】由P（A|C）≥P（B|C）,得P（AC）PP（C）³（BC）P（C）,即有P（AC）³P（BC）同理由P（A|C）³P（B|C）,得P（AC）³P（BC）,故P（A）=P（AC）+P（AC）³P（BC）+P（BC）=P（B）47.一列火车共有n节车厢，有k（k≥n）个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢设Ai={第i节车厢是空的}，（i=1,„,n）,则18（n-1）k1kP（Ai）==（1-）nkn2P（AiAj）=（1-）knLP（An-1ki1Ai2LAin-1）=（1-n）其中i1,i2,„,in-1是1，2，„，n中的任n-1个.显然n节车厢全空的概率是零，于是nSåP（A）=n（1-11k1=ii=1n）k=C1n（1-n）S2=P（AA）=C2（1-2）k1£åijni

不论ε>0如何小，只要不断地独立地重复做此试验，则A迟早会出现的概率为1.【证】在前n次试验中，A至少出现一次的概率为1-（1-e）n®1（n®¥）49.袋中装有m只正品硬币，n只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）.在袋中任取一只，将它投掷r次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？

【解】设A={投掷硬币r次都得到国徽}B={这只硬币为正品}由题知P（B）=mn,P（B）=m+nm+nP（A|B）=1,P（A|B）=1r2则由贝叶斯公式知P（B|A）=P（AB）P（B）P（A|B）=P（A）P（B）P（A|B）+P（B）P（A|B）m1rm==rm1nr+g1m+2nm+n2m+n50.巴拿赫（Banach）火柴盒问题：

某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r根的概率是多少？

第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有r根的概率又有多少？

20【解】以B1、B2记火柴取自不同两盒的事件，则有P（B1）=P（B2）=1.

（1）发现一盒已空，另一盒恰剩r根，说明已取了2n-r次，设n次取自B1盒（已2空），n-r次取自B2盒，第2n-r+1次拿起B1，发现已空。

把取2n-r次火柴视作2n-r重贝努里试验，则所求概率为pn1n1n-r1n11=