别放置一个挡板和一面小旗，如图所示.训练时，让运动员和冰球都位于起跑线上，教练员将冰球以初速度
V0击出，使冰球在冰面上沿垂直于起跑线的方向滑向挡板；冰球被击出的同时，运动员垂直于起跑线从静止出
发滑向小旗.训练要求当冰球到达挡板时，运动员至少到达小旗处.假定运动员在滑行过程中做匀加速运动，
冰球到达挡板时的速度为
（1）冰球与冰面之间的动摩擦因数;
（2）满足训练要求的运动员的最小加速度.
解析：
（1）设冰球的质量为m,冰球与冰面之间的动摩擦因数为
卩，由动能定理得一卩mgs=^mv?
—；mv0
①
22
解得尸V7——VL.②
2gso
（2）
.设这种情况下，
冰球到达挡板时，满足训练要求的运动员中，刚好到达小旗处的运动员的加速度最小
冰球和运动员的加速度大小分别为ai和a?
所用的时间为t.由运动学公式得
v2_vi=2aiso③
vo—vi=ait④
S1=茄2『⑤
联立③④⑤式得
S1（vi+v°）2a2=—2S0—.
答案：
见解析
O迁移3动能定理在曲线运动中的应用
3.（20i5高考全国卷I）
如图，一半径为R、粗糙程度处处相同的半圆形轨道竖直固定放置，直径POQ水平•一质量为m的质点
自P点上方高度R处由静止开始下落，恰好从P点进入轨道.质点滑到轨道最低点N时，对轨道的压力为4mg,g为重力加速度的大小•用W表示质点从P点运动到N点的过程中克服摩擦力所做的功•贝U（）
i
A.W=^mgR,质点恰好可以到达Q点
i
B.W>^mgR,质点不能到达Q点
i
C.W=^mgR,质点到达Q点后，继续上升一段距离
i
D.W<-mgR,质点到达Q点后，继续上升一段距离
2
解析：
选C.设质点到达N点的速度为vn,在N点质点受到轨道的弹力为Fn,则Fn—mg=芈^,已知Fn
R
i23
=F'n=4mg,则质点到达N点的动能为EkN=?
mvN=^mgR.质点由开始至N点的过程，由动能定理得mg2R
ii
+Wf=EkN—0,解得摩擦力做的功为Wf=—?
mgR,即克服摩擦力做的功为W=—Wf=~mgR.设从N到Q的过程中克
iii
服摩擦力做功为W',则W'<从N到Q的过程，由动能定理得—mgR—W'=?
mvQ—2mvN,即？
mgR—W'=2mvQ,故质点到达Q点后速度不为0,质点继续上升一段距离.选项C正确.
O迁移4动能定理在变力做功中的应用
4•如图甲所示，轻弹簧左端固定在竖直墙上，右端点在O位置•质量为m的物块A（可视为质点）以初速
度vo从距O点右方xo的P点处向左运动，与弹簧接触后压缩弹簧，将弹簧右端压到O点位置后，A又被弹簧
弹回.A离开弹簧后，恰好回到P点.物块A与水平面间的动摩擦因数为卩求：
⑵0点和0点间的距离xi.
（3）如图乙所示，若将另一个与
A完全相同的物块B（可视为质点）与弹簧右端拴接，将A放在B右边，向
左推A、B,使弹簧右端压缩到0点位置，然后从静止释放，A、B共同滑行一段距离后分离•分离后物块A向右滑行的最大距离X2是多少?
解析：
⑴物块A从P点出发又回到P点的过程，根据动能定理得克服摩擦力所做的功为Wf=gmv2・
⑵物块A从P点出发又回到
12
P点的过程，根据动能定理得2卩mgx1+x0）=-mv0
2
解得X尸冷X0.
（3）A、B在弹簧处于原长处分离，设此时它们的共同速度是V1,弹出过程弹力做功Wf
只有A时，从0到UP有Wf—卩mgxj+x°）=0—0
12
A、B共同从O到O有Wf—2卩mgx=2mvi
12
分离后对A有2mv1=卩mgx
联立以上各式可得
考点2动能定理在多阶段、多过程综合问题中的应用[学生用书P87]
【知识提炼】
1•由于多过程问题的受力情况、运动情况比较复杂，从动力学的角度分析多过程问题往往比较复杂，但是，用动能定理分析问题，是从总体上把握其运动状态的变化，并不需要从细节上了解•因此，动能定理的优越性就明显地表现出来了，分析力的作用是看力做的功，也只需把所有的力做的功累加起来即可.
2•运用动能定理解决问题时，有两种思路：
一种是全过程列式，另一种是分段列式.
3•全过程列式时，涉及重力、弹簧弹力，大小恒定的阻力或摩擦力做功时，要注意运用它们的功能特点：
（1）重力做的功取决于物体的初、末位置，与路径无关；
（2）大小恒定的阻力或摩擦力做的功等于力的大小与路程的乘积.
（3）弹簧弹力做功与路径无关.
【典题例析】
例②如图所示，AB是固定于竖直平面内的严光滑圆弧轨道，末端B处的切线方向水平.一物体P（可视4
为质点）从圆弧最高点A处由静止释放，滑到B端飞出，落到地面上的C点.测得C点和B点的水平距离0C
=L,B点距地面的高度0B=h.现在轨道下方紧贴B端安装一个水平传送带，传送带的右端与B点的距离为T.
当传送带静止时，让物体P从A处由静止释放，物体P沿轨道滑过B点后又在传送带上滑行并从传送带右端
水平飞出，仍落在地面上的C点.
落在地面上.设着地点与0点的距离为x,求出x可能的范围.
［审题指导］第（3）问中，若物体在传送带上全程减速，则x最小；若物体在传送带上全程加速，则x最大.
［解析］
（1）无传送带时，物体由B运动到C,做平抛运动，设物体在B点的速度为vb,则L=VBt①
h=*gt2
由①②式得VB=L
有传送带时，设物体离开传送带时的速度为V2,则有
2=v2t
umgL1212
2=2mv2—gmvB
3L
尸8h
（2）设物体离开传送带时的速度为V2,则由动能定理有
L1212
mgR—口mg=?
mv2—2mvo
mgR=jmvB
OD=2+v2t
由①②④⑤⑧⑨⑩式得oD=2「占+誓?
（3）物体在传送带上全程减速时，离开传送带的末速度
L
2h，则Xmin=L
VI=2
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物体在传送带上全程加速时，离开传送带的末速度为vn
mgs、
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（□迁移2动能定理解决平抛、圆周运动相结合的问题
2.（2018桂林质检）如图所示，倾角为37。
的粗糙斜面AB底端与半径R=0.4m的光滑半圆轨道BC平滑相连，O点为轨道圆心，BC为圆轨道直径且处于竖直方向，A、C两点等高，质量m=1kg的滑块从A点由静止开始下滑，恰能滑到与O点等高的D点，g取10m/s2,sin37°=0.6,cos37°=0.8.
（1）求滑块与斜面间的动摩擦因数也
（2）若使滑块能到达C点，求滑块从A点沿斜面滑下时的初速度V0的最小值；
（3）若滑块离开C点的速度大小为4m/s,求滑块从C点飞出至落到斜面上所经历的时间t.
解析：
（1）滑块恰能滑到D点，则Vd=0
滑块从AtBtD过程中，由动能定理得
2Rcc
mg（2R—R）—口mcos0•牯=0_0
解得尸0.375.
⑵滑块恰能过C点时，Vc有最小值，贝恠C点
2
mvc
mg=百
滑块从AtBtDtC过程，由动能定理得
n2R1212
—卩mgos0-=-mvC—~mv0
sin022
解得v0=23m/s.
（3）滑块离开C点后做平抛运动，设下落的高度为h,
则有h=fgt2
x=vCt
x=tan53°
2R—h
其中vC=4m/s联立解得t=0.2s.
答案：
（1）0.375
（2）23m/s（3）0.2s
考点3动能定理与图象综合问题[学生用书P88]
【知识提炼】
1.四类图象所围“面积”的含义
（1）v—t图：
由公式x=vt可知，v—t图线与坐标轴围成的面积表示物体的位移.
（2）a—t图：
由公式△v=at可知，a—t图线与坐标轴围成的面积表示物体速度的变化量.
⑶F—s图：
由公式W=Fs可知，F—s图线与坐标轴围成的面积表示力所做的功.
（4）P—t图：
由公式W=Pt可知，P—t图线与坐标轴围成的面积表示力所做的功.
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2.解决物理图象问题的基本步骤
（1）观察题目给出的图象，弄清纵坐标、横坐标所对应的物理量及图线所表示的物理意义.
（2）根据物理规律推导出纵坐标与横坐标所对应的物理量间的函数关系式.
（3）将推导出的物理规律与数学上与之相对应的标准函数关系式相对比，找出图线的斜率、截距、图线的
交点，图线下的面积所对应的物理意义，分析解答问题.或者利用函数图线上的特定点的坐标值代入函数关系
式求物理量.
【跟进题组】
1.（2018•西模拟）用传感器研究质量为2kg的物体由静止开始做直线运动的规律时，在计算机上得到0〜
6s内物体的加速度随时间变化的关系如图所示.下列说法正确的是（）
厅
1\"・
t1414
tf
-2
■■I•・■J...丄亠
A.0〜6s内物体先向正方向运动，后向负方向运动
B.0〜6s内物体在4s时的速度最大
C.物体在2〜4s内速度不变
D.0〜4s内合力对物体做的功等于0〜6s内合力做的功解析：
选D.由v=at可知，a—t图象中，图线与坐标轴所围面积表示质点的速度，0〜6s内物体的速度始终为正值，故一直为正方向，A项错；t=5s时,速度最大，B项错；2〜4s内加速度保持不变且不为零，速度一定变化，C项错；0〜4s内与0〜6s内图线与坐标轴所围面积相等，故物体4s末和6s末速度相同，由动能定理可知，两段时间内合力对物体做功相等，D项对.
2.宇航员在某星球表面做了如下实验，实验装置如图甲所示，竖直平面内的光滑轨道由斜轨道AB和圆
弧轨道BC组成.将质量m=0.2kg的小球，从轨道AB上高H处的某点由静止释放，用力传感器测出小球经
（1）圆轨道的半径.
（2）星球表面的重力加速度.
（3）作出小球经过C点时动能随H的变化关系Ek—H图象.
解析：
（1）小球过C点时，由牛顿第二定律得：
F+mg=mrC
1
小球由静止下滑至C点的过程，由动能定理得：
mg（H—2r）=?
mvC
2mg
H—5mg
由图可知：
当H1=0.5m时，F1=0N
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解得：
r=0.2m.
⑵当H2=1.0m时，F2=5N
解得：
g=5m/s2
（3）小球由静止下滑至C点的过程，由动能定理得:
mg（H—2r）=Ek—0解得：
Ek=H—0.4则Ek—H图象如图所示:
答案：
（1）0.2m
（2）5m/s2（3）见解析图
小为g.设质点P在最低点时，向心加速度的大小为a,容器对它的支持力大小为N,则（）
2.（多选）（2016高考浙江卷）如图所示为一滑草场.某条滑道由上、下两段高均为h，与水平面倾角分别为
45°和37°的滑道组成，滑草车与草地之间的动摩擦因数为卩质量为m的载人滑草车从坡顶由静止开始自由
下滑，经过上、下两段滑道后，最后恰好静止于滑道的底端（不计滑草车在两段滑道交接处的能量损失，sin37°
=0.6,cos37°=0.8）.则（）
6
A.动摩擦因数尸
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3
5g
则在上段底端时达到最大速度v,由运动
3.（多选）（2018湖南长沙长郡中学高三周测
B.载人滑草车最大速度为
C.载人滑草车克服摩擦力做功为mgh
D.载人滑草车在下段滑道上的加速度大小为
解析：
选AB.由题意根据动能定理有，2mgh—Wf=0,即2mgh—卩mgcos45°•—卩mgos
sin45
37°・一—=0,得动摩擦因数尸6,则A项正确；载人滑草车克服摩擦力做的功为Wf=2mgh,则C项
sin377
错误；载人滑草车在上下两段的加速度分别为十g（s|n45—辱45°）=话g,a2=g（sin37°-皿37）—
3
35g,则载人滑草车在上下两段滑道上分别做加速运动和减速运动
如图所示，竖直固定放置的粗糙斜面AB的下端与光滑的圆弧轨道BCD在B点相切，圆弧轨道的半径为
R,圆心O与A、D在同一水平面上，C点为圆弧轨道最低点，/COB=0=30°.现使一质量为m的小物块从D点无初速度地释放，小物块与粗糙斜面AB间的动摩擦因数ftan0,则关于小物块的运动情况，下列说法正确的是（）
A•小物块可能运动到A
B•小物块经过较长时间后会停在C点
C.小物块通过圆弧轨道最低点C时，对C点的最大压力大小为3mg
D.小物块通过圆弧轨道最低点C时，对C点的最小压力大小为（3—3）mg
解析：
选CD.物块从D点无初速度滑下后，由于克服摩擦力做功，所以物块在斜面上运动时机械能不断
减小，在斜面上升的最大高度越来越小，不可能运动到A点，又知道氏tan0即mgsin0>pmgcos0,最终在
与B点对称的E点之间来回运动，A、B错误；物块第一次运动到C时速度最大，对轨道的压力最大，物块
从D第一次运动到C过程，由动能定理得：
mgR=*mv2;设此时轨道对物块的支持力为Fj,由牛顿第二定律
2
得：
F1—mg=m^,联立解得：
3mg,由牛顿第三定律知物块对C点的最大压力为3mg,故C正确；当最
R
后稳定后，物块在BE之间运动时，设物块经过C点的速度为V2,由动能定理得：
mgR（1—cos0）=gmv2,设
2
轨道对物块的支持力为F2,由牛顿第二定律得：
F2—mg=mR,联立解得：
F?
=（3—.3）mg,由牛顿第三定律
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可知，物块对C点的最小压力为（3—3）mg,D正确.
4.如图，与水平面夹角0=37°的斜面和半径R=0.4m的光滑圆轨道相切于B点，且固定于竖直平面内.滑块从斜面上的A点由静止释放，经B点后沿圆轨道运动，通过最高点C时轨道对滑块的弹力为零•已知滑块
与斜面间动摩擦因数尸0.25.（g取10m/s2,sin37°=0.6cos37°=0.8）求：
（1）滑块在C点的速度大小vc；
（2）滑块在B点的速度大小vb；
⑶A、B两点间的高度差h.
解析：
本题考查圆周运动、机械能守恒、动能定理
（1）对C点：
滑块竖直方向所受合力提供向心力
2
mvC—
mg=~^①
vc=.gR=2m/s.
⑵对BtC过程：
滑块机械能守恒
1212
§mvB=qmvc+mgR（1+cos37°）②
vB=vC+2gR（1+cos37°）=4.29m/s.
⑶滑块在AtB的过程，利用动能定理：
代入数据解得h=1.38m.
答案：
见解析
[学生用书
课后达标*能力提升J
P305（单独成册）]
（建议用时：
60分钟）
一、单项选择题
1.（2018襄阳模拟）用竖直向上大小为30N的力F，将2kg的物体从沙坑表面由静止提升1m时撤去力F,经一段时间后，物体落入沙坑，测得落入沙坑的深度为20cm.若忽略空气阻力，g取10m/s2.则物体克服沙坑
的阻力所做的功为（）
A.20JB.24J
C.34JD.54J
解析：
选C.对整个过程应用动能定理得：
F•h1+mgh2—Wf=0,解得：
Wf=34J,C对.
2.
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[L-fiJI
Mill
（2018宁波模拟）如图所示，木盒中固定一质量为m的砝码，木盒和砝码在桌面上以一定的初速度一起滑
行一段距离后停止•现拿走砝码，而持续加一个竖直向下的恒力F（F=mg），若其他条件不变，则木盒滑行的
3.
（2018北京101中学检测）如图所示，质量为m的物体静置在水平光滑平台上，系在物体上的绳子跨过光滑的定滑轮，由地面上的人以速度vo向右匀速拉动，设人从地面上平台的边缘开始向右行至绳与水平方向夹
角为45。
处，在此过程中人所做的功为（）
2
mvo
A.石
T2mv2
~2~
2mvoC.〒
2
在此过程中人所做的功为W=；mv2—0=晋，C正确.
4.（2018杭州名校质检）如图所示，已知物体与三块材料不同的地毯间的动摩擦因数分别为u2□和3^
三块材料不同的地毯长度均为I，并排铺在水平地面上，该物体以一定的初速度v。
从a点滑上第一块，则物体
恰好滑到第三块的末尾d点停下来，物体在运动中地毯保持静止，若让物体从d点以相同的初速度水平向左运
动，则物体运动到某一点时的速度大小与该物体向右运动到该位置的速度大小相等，则这一点是（）
.■I
abe?
d
A.a点B.b点
C.c点D.d点
解析：
选C.对物体从a运动到c,由动能定理，—umg—2卩mg£mv2—^mv：
对物体从d运动到c,由
11
动能定理，一3umg=^mv2—?
mv2，解得v2=v1,选项C正确.
5.
道最低点B的静止小球，分别沿I和n推至最高点A，所需时间分别为如t2；动能增量分别为AEk1、AEk2.
假定球在经过轨道转折点前后速度的大小不变，且球与i、n轨道间的动摩擦因数相等，则
示,则ti>t2.
A•甲沿斜草面下滑过程中克服摩擦力做的功比乙的多
B•甲、乙经过斜草面底端时的速率相等
C•甲、乙最终停在水平草面上的同一位置
D.甲停下时的位置与B的距离和乙停下时的位置与B的距离相等
解析：
选C.设斜草面长度为I，倾角为0,游客在斜草面上下滑，克
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