高中数学单调性 函数的最大值最小值 3.docx

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高中数学单调性函数的最大值最小值3

第2课时　函数的最大值、最小值

知识点　函数的最大值与最小值

最大（小）值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数y＝x2（x∈R）的最大值是0，有f（0）＝0.

[小试身手]

1．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）任何函数都有最大值或最小值．（　　）

（2）函数的最小值一定比最大值小．（　　）

答案：

（1）×　

（2）×

2．函数f（x）＝

在[1，＋∞）上（　　）

A．有最大值无最小值　　B．有最小值无最大值

C．有最大值也有最小值D．无最大值也无最小值

解析：

函数f（x）＝

是反比例函数，当x∈（0，＋∞）时，函数图象下降，所以在[1，＋∞）上f（x）为减函数，f

（1）为f（x）在[1，＋∞）上的最大值，函数在[1，＋∞）上没有最小值．故选A.

答案：

A

3．函数f（x）＝－2x＋1（x∈[－2,2]）的最小、最大值分别为（　　）

A．3,5B．－3,5

C．1,5D．－5,3

解析：

因为f（x）＝－2x＋1（x∈[－2,2]）是单调递减函数，所以当x＝2时，函数的最小值为－3.当x＝－2时，函数的最大值为5.

答案：

B

4．函数f（x）在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是（　　）

A．f（－2），0B．0,2

C．f（－2），2D．f

（2），2

解析：

由图象知点（1,2）是最高点，故ymax＝2.点（－2，f（－2））是最低点，故ymin＝f（－2）．

答案：

C

类型一　图象法求函数的最值

例1　如图所示为函数y＝f（x），x∈[－4,7]的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间．

【解析】　观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是（3,3），最低的点是（－1.5，－2），

所以函数y＝f（x）当x＝3时取得最大值，最大值是3.

当x＝－1.5时取得最小值，最小值是－2.

函数的单调递增区间为[－1.5,3），[5,6），

单调递减区间为[－4，－1.5），[3,5），[6,7]．

观察函数图象，最高点坐标（3,3），最低点（－1.5，－2）．

方法归纳

图象法求最值的一般步骤

跟踪训练1　已知函数y＝－|x－1|＋2，画出函数的图象，确定函数的最值情况，并写出值域．

解析：

y＝－|x－1|＋2＝

图象如图所示．

由图象知，函数y＝－|x－1|＋2的最大值为2，没有最小值，

所以其值域为（－∞，2]．

利用x的不同取值先去绝对值，再画图．

类型二　利用单调性求函数的最大（小值）

例2　已知f（x）＝

，

（1）判断f（x）在（1，＋∞）上的单调性，并加以证明．

（2）求f（x）在[2,6]上的最大值和最小值．

【解析】　

（1）函数f（x）在（1，＋∞）上是减函数．

证明：

任取x2>x1>1，

则f（x1）－f（x2）＝

－

＝

，

因为x1－1>0，x2－1>0，x2－x1>0，

所以f（x1）－f（x2）>0，

即f（x1）>f（x2）．

所以f（x）在（1，＋∞）上是减函数．

（2）由

（1）可知f（x）在（1，＋∞）上是减函数，

所以f（x）在[2,6]上是减函数，

所以f（x）max＝f

（2）＝1，f（x）min＝f（6）＝

，即f（x）min＝

，f（x）max＝1.

（1）用定义法证明函数f（x）在（1，＋∞）上的单调性．

（2）利用函数单调性求最大值和最小值．

方法归纳

1．利用单调性求函数的最大（小）值的一般步骤

（1）判断函数的单调性．

（2）利用单调性求出最大（小）值．

2．函数的最大（小）值与单调性的关系

（1）若函数f（x）在区间[a，b]上是增（减）函数，则f（x）在区间[a，b]上的最小（大）值是f（a），最大（小）值是f（b）．

（2）若函数f（x）在区间[a，b]上是增（减）函数，在区间[b，c]上是减（增）函数，则f（x）在区间[a，c]上的最大（小）值是f（b），最小（大）值是f（a）与f（c）中较小（大）的一个．

跟踪训练2　已知函数f（x）＝

，求函数f（x）在[1,5]上的最值．

解析：

先证明函数f（x）＝

的单调性，设x1，x2是区间

上的任意两个实数，且x2>x1>

，

f（x1）－f（x2）＝

－

＝

.

由于x2>x1>

，所以x2－x1>0，且（2x1－1）·（2x2－1）>0，所以f（x1）－f（x2）>0，即f（x1）>f（x2），所以函数f（x）＝

在区间

上是减少的，所以函数f（x）在[1,5]上是减少的，因此，函数f（x）＝

在区间[1,5]的两个端点上分别取得最大值与最小值，

即最大值为f

（1）＝3，最小值为f（5）＝

.

（1）判断函数的单调性．

（2）利用单调性求出最大（小）值．

类型三　二次函数最值

例3　求f（x）＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最大值和最小值．

【解析】　f（x）＝（x－a）2－1－a2，其图象的对称轴为直线x＝a.

（1）当a<0时，由图①可知，f（x）min＝f（0）＝－1，f（x）max＝f

（2）＝3－4a.

（2）当0≤a≤1时，由图②可知，f（x）min＝f（a）＝－1－a2，

f（x）max＝f

（2）＝3－4a.

（3）当1

（4）当a>2时，由图④可知，f（x）min＝f

（2）＝3－4a，f（x）max＝f（0）＝－1.

由于二次函数的最值与其图象的对称轴有关，而题中函数图象的对称轴为直线x＝a，位置不确定，所以应按对称轴与区间[0,2]的相对位置进行分类讨论．

方法归纳

1．如何求二次函数在闭区间[m，n]上的最值？

①确定二次函数的对称轴x＝a；

②根据a

，

≤a

③写出最值．

2．求二次函数的最值常用的数学思想方法

数形结合思想、分类讨论思想．

跟踪训练3　已知函数f（x）＝3x2－12x＋5，当自变量x在下列范围内取值时，求函数的最大值和最小值：

（1）R；

（2）[0,3]；（3）[－1,1]．

解析：

f（x）＝3x2－12x＋5＝3（x－2）2－7.

（1）当x∈R时，f（x）＝3（x－2）2－7≥－7，当x＝2时，等号成立．故函数f（x）的最小值为－7，无最大值．

（2）函数f（x）＝3（x－2）2－7的图象如图所示，由图可知，在[0,3]上，函数f（x）在x＝0处取得最大值，最大值为5；在x＝2处取得最小值，最小值为－7.

（3）由图可知，函数f（x）在[－1,1]上是减函数，在x＝－1处取得最大值，最大值为20；在x＝1处取得最小值，最小值为－4.

求函数的最大值、最小值问题，应先考虑其定义域，由于是二次函数，所以可以采用配方法和图象法求解.

[基础巩固]（25分钟，60分）

一、选择题（每小题5分，共25分）

1．下列函数在[1,4]上最大值为3的是（　　）

A．y＝

＋2　B．y＝3x－2

C．y＝x2D．y＝1－x

解析：

B，C在[1,4]上均为增函数，A，D在[1,4]上均为减函数，代入端点值，即可求得最值，故选A.

答案：

A

2．函数f（x）＝

则f（x）的最大值、最小值分别为（　　）

A．10,6B．10,8

C．8,6D．以上都不对

解析：

当－1≤x<1时，6≤x＋7<8，

当1≤x≤2时，8≤2x＋6≤10.

∴f（x）min＝f（－1）＝6，

f（x）max＝f

（2）＝10.故选A.

答案：

A

3．若函数y＝x2－6x－7，则它在[－2,4]上的最大值、最小值分别是（　　）

A．9，－15B．12，－15

C．9，－16D．9，－12

解析：

函数的对称轴为x＝3，

所以当x＝3时，函数取得最小值为－16，

当x＝－2时，函数取得最大值为9，故选C.

答案：

C

4．已知函数f（x）＝

，x∈[－8，－4），则下列说法正确的是（　　）

A．f（x）有最大值

，无最小值

B．f（x）有最大值

，最小值

C．f（x）有最大值

，无最小值

D．f（x）有最大值2，最小值

解析：

f（x）＝

＝2＋

，它在[－8，－4）上单调递减，因此有最大值f（－8）＝

，无最小值．故选A.

答案：

A

5．已知函数f（x）＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f（x）有最小值－2，则f（x）的最大值为（　　）

A．－1B．0

C．1D．2

解析：

∵f（x）＝－（x2－4x＋4）＋a＋4＝－（x－2）2＋4＋a，

∴函数f（x）图象的对称轴为x＝2.

∴f（x）在[0,1]上单调递增．

又∵f（x）min＝－2，∴f（0）＝－2，即a＝－2.

∴f（x）max＝f

（1）＝－1＋4－2＝1.

答案：

C

二、填空题（每小题5分，共15分）

6．函数f（x）＝

的最大值为________．

解析：

当x≥1时，函数f（x）＝

为减函数，所以f（x）在x＝1处取得最大值，为f

（1）＝1；当x<1时，易知函数f（x）＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f（0）＝2.故函数f（x）的最大值为2.

答案：

2

7．函数y＝x＋

的最小值为________．

解析：

令

＝t，t≥0，则x＝t2＋1，

所以y＝t2＋t＋1＝

2＋

，

当t≥0时，由二次函数的性质可知，当t＝0时，ymin＝1.

答案：

1

8．函数f（x）＝

在[1，b]（b>1）上的最小值是

，则b＝________.

解析：

因为f（x）在[1，b]上是减函数，所以f（x）在[1，b]上的最小值为f（b）＝

＝

，所以b＝4.

答案：

4

三、解答题（每小题10分，共20分）

9．已知函数f（x）＝|x|（x＋1），试画出函数f（x）的图象，并根据图象解决下列两个问题．

（1）写出函数f（x）的单调区间；

（2）求函数f（x）在区间

上的最大值．

解析：

f（x）＝|x|（x＋1）＝

的图象如图所示．

（1）f（x）在

和[0，＋∞）上是增函数，

在

上是减函数，

因此f（x）的单调递增区间为

，[0，＋∞）；

单调递减区间为

.

（2）因为f

＝

，f（

）＝

，

所以f（x）在区间

上的最大值为

.

10．已知函数f（x）＝

，x∈[3,5]．

（1）判断函数在区间[3,5]上的单调性，并给出证明；

（2）求该函数的最大值和最小值．

解析：

（1）函数f（x）在[3,5]上是增加的，

证明：

设任意x1，x2，满足3≤x1

因为f（x1）－f（x2）＝

－

＝

＝

，

因为3≤x10，x2＋1>0，x1－x2<0.

所以f（x1）－f（x2）<0，

即f（x1）

所以f（x）＝

在[3,5]上是单调递增的．

（2）f（x）min＝f（3）＝

＝

，

f（x）max＝f（5）＝

＝

.

[能力提升]（20分钟，40分）

11．当0≤x≤2时，a<－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

A．（－∞，1]B．（－∞，0]

C．（－∞，0）D．（0，＋∞）

解析：

令f（x）＝－x2＋2x，

则f（x）＝－x2＋2x＝－（x－1）2＋1.

又∵x∈[0,2]，∴f（x）min＝f（0）＝f

（2）＝0.

∴a<0.

答案：

C

12．用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，则函数f（x）＝min{4x＋1，x＋4，－x＋8}的最大值是________．

解析：

在同一坐标系中分别作出函数y＝4x＋1，y＝x＋4，y＝－x＋8的图象后，取位于下方的部分得函数f（x）＝min{4x＋1，x＋4，－x＋8}的图象，如图所示，

由图象可知，函数f（x）在x＝2时取得最大值6.

答案：

6

13．求函数f（x）＝x2－2x＋2在区间[t，t＋1]上的最小值g（t）．

解析：

f（x）＝x2－2x＋2＝（x－1）2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，其图象的对称轴为x＝1.

当t＋1<1，即t<0时，函数图象如图

（1）所示，函数f（x）在区间[t，t＋1]上为减函数，

所以最小值g（t）＝f（t＋1）＝t2＋1；

当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，函数图象如图

（2）所示，最小值g（t）＝f

（1）＝1；

当t>1时，函数图象如图（3）所示，函数f（x）在区间[t，t＋1]上为增函数，

所以最小值g（t）＝f（t）＝t2－2t＋2.

综上可得，g（t）＝

14．已知函数f（x）＝

，x∈[1，＋∞）．

（1）当a＝

时，求函数f（x）的最小值；

（2）若对任意x∈[1，＋∞），f（x）>0恒成立，试求实数a的取值范围．

解析：

（1）当a＝

时f（x）＝x＋

＋2.

设1≤x1

），

∵1≤x10,2x1x2>2，

∴0<

<

，1－

>0.

∴f（x2）－f（x1）>0，f（x1）

∴f（x）在区间[1，＋∞）上为增函数．

∴f（x）在区间[1，＋∞）上的最小值为f

（1）＝

.

（2）在区间[1，＋∞）上f（x）>0恒成立⇔x2＋2x＋a>0恒成立.

设y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞），则函数y＝x2＋2x＋a＝（x＋1）2＋a－1在区间[1，＋∞）上是增函数．

所以当x＝1时，y取最小值，即ymin＝3＋a，

于是当且仅当ymin＝3＋a>0时，函数f（x）>0恒成立，

故a的取值范围为（－3，＋∞）．