人教版五年级数学下册重难点突破.docx
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人教版五年级数学下册重难点突破
人教版五年级数学下册重难点突破
第一单元观察物体（三）
1、根据一个方向观察到的形状摆小正方体，有多种摆法，无法确定立体图形的形状。
2、根据三个方向观察到的形状摆小正方休，只有1种摆法。
3、只要对着原来物体的前面或后面的任意1个正方体添1个正方体，从正面看到的形状就
都不变。
4、从正面、左面、上面3个不同的方向观察同一组物体而画出的图形就是三视图。
5、综合三视图的形状，可以确定出立体图形中小正方体的摆放位置，通常只有一种摆法。
6、由三视图拼摆正方体的方法：
俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章。
7、先摆出符合正面的立体图形，再摆出符合上面的立体图形，最后确定立体图形。
根据从正面、左面、上面观察到的平面图形还原立体图形只有唯一的一种情况。
8、想象不出来时，用小正方体摆一摆就简单了。
第二单元因数和倍数
1因数、倍数：
在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。
例：
12十2=6,12是6的倍数，6是12的因数。
为了方便，在研究因数和倍数时，我们所说的数是自然数（一般不包括0）。
（1）一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。
（2）一个数的因数的求法：
成对地按顺序找。
（3）—个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。
（4）一个数的倍数的求法：
依次乘以自然数。
（5）—个数的最大因数=最小倍数=它本身
2、2、3、5的倍数特征
（1）奇数和偶数的意义：
在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数。
1自然数按能不能被2整除来分：
奇数、偶数。
奇数：
不能被2整除的数，叫奇数。
也就是个位上是1、3、5、7、9的数。
偶数：
能被2整除的数叫偶数（0也是偶数），也就是个位上是0、2、4、6、8的数。
2最小的奇数是1，最小的偶数是0.
3奇数、偶数的运算性质：
奇数土奇数=偶数偶数土偶数=偶数奇数土偶数=奇数（大减小）
奇数X奇数=奇数奇数X偶数=偶数偶数X偶数=偶数
（2）数的整除特征
整除数
特征
2
末尾是0,2,4,6,8
3或9
各数位上数的和是3或9的倍数
5
末尾是0或5
2和5
个位上的数是0
2、3和5
是30的倍数的数（最大的两位数是90,最小的三位数是120）
4或25
末两位数所组成的数是4或25的倍数
8或125
末三位数所组成的数是8或125的倍数
7、11、13
末三位与前几位数的差（大减小）是7或11或13的倍数
例题：
1、
从0、4、5、&9中取出三个数字组成三位数，
①在能被
2整除的数中，
最大的疋（
984
）,最小的是（
450
）
②在能被
3整除的数中，
最大的疋（
984
）,最小的是（
405
）
③在能被
5整除的数中，
最大的疋（
980
）,最小的是（
405
）
例题：
2在四位数21口0的方框中填入一个数，
使它能同时被
2、3、5
整除，最多能（4）
种填法。
3、质数和合数
①质数和合数的意义：
一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质素和（或
素数）；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。
1：
只有1个因数。
“1”既不是质数，也不是合数。
两个质数的和是偶数。
100以内找质数、合数的技巧：
看是否是2、3、5、7、11、13…的倍数，是的就是
合数，不是的就是质数。
的就是质数。
4、最大、最小
A的最小因数是：
1;A的最大因数是：
A;
最小的奇数是：
1;最小的偶数是：
0;
A的最小倍数是：
A;最小的自然数是：
0;
最小的质数是：
2;最小的合数是：
4
例题、猜电话号码0592—ABCDEFG
提示：
A5的最小倍数
B――最小的自然数
C――5的最大因数
D一一它既是4的倍数，又是4的因数
E――它的所有因数是1，2，3，6
F――它的所有因数是1，3
G――它只有一个因数，
这个号码就是
5、判断
（1）因为7X8=56,所以56是倍数，7和8是因数（
（2）1是1,2,3,4,5…的因数（V）
（3）14比12大，所以14的因数比12的因数多（X
（4）因为1.2十0.6=2，所以1.2是0.6倍数.（X
第三单元长方体和正方体
1长方体或正方体的认识
①一般是由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫做长方体。
两个面相交的边叫做棱。
三条棱相交的点叫做顶点。
相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。
判断：
长方体的三条棱分别叫做长方体的长宽高。
（X）
长方体特点：
有6个面（6个面都是长方形或者4个面是长方形,2个面是正方形），8个顶点，12条棱，相对的面的面积相等，相对的棱的长度相等。
一个长方体（不含正方体）最多有6个面是长方形，最少有4个面是长方形，最多
有2个面是正方形。
最多有4个面完全相同。
用6个完全一样的长方形可以围成一个长方体（X）。
长方体12条棱可以分成3组，分别有4条长、4条宽、4条高。
②由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体（也叫做立方体）。
正方体特点：
正方体有12条棱，它们的长度都相等。
有8个顶点。
正方形的6个面是完全相同的正方形。
正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体。
、比较
不同点
相同点
面
棱
长方体
都有6个面，
12条棱，8个顶点。
6个面都是长方形。
（有可能有两个相对的面是正方形）。
相对的棱的长度都相等
正方体
6个面都是止方形。
12条棱都相等。
2、长方体、正方体有关棱长计算公式:
长方体的棱长总和=（长+宽+高）
长=棱长总和*
宽=棱长总和十
高=棱长总和十
X4=长乂4宽X4高X4L=（a+b+h）X4
4—宽一咼a=L*4—b—h
4—长；一咼b=L*4—a—h
4—长；一宽h=L*4—a—b
L=aX12
a=L-12
-正方体的棱长总和=棱长X12
正方体的棱长我长总和十12
例1、如图，有一个长5分米、宽和高都是3分米的长方体硬纸箱，如果用绳子将箱子横着捆两道，长着捆一道，打结处共用2分米。
一共要用绳子多长？
练习、一盒饼干长20厘米，宽15厘米，高30厘米，现在要在它的四
周贴上商标纸，这张商标纸的面积是多少平方厘米？
3、长方体或正方体的表面积
表面积的意义：
长方体或者正方体的6个面的总面积，叫做它的表面积。
长方体表面积的计算方法。
长方体表面积=（长x宽+长x高+宽x高）x2，用字母表示为S=2（ab+ah+bh）;
长方体的表面积=长乂宽x2+长x高x2+宽x高x2;用字母表示为：
S=2ab+2ah+2bh.无底（或无盖）长方体表面积=长x宽+（长x高+宽x高）x2
S=2（ab+ah+bh）—abS=2（ah+bh）+ab
无底又无盖长方体表面积=（长x高+宽x高）x2S=2（ah+bh）
贴墙纸正方体表面积的计算方法：
正方体的表面积=棱长x棱长x6S=axax6用字母表示：
S=6左
生活实际：
油箱、罐头盒等都是6个面
游泳池、鱼缸等都只有5个面
水管、烟囱等都只有4个面。
注意1:
用刀分开物体时，每分一次增加两个面。
（表面积相应增加）
女如:
一根长方体木料，长1.5米，宽和厚都是2分米，把它锯成4段，表面积最少如：
一根长方体木料，长1.5米，宽和厚都是2分米，把它锯成4段，表面积最少增加（）平方分
米.①8②16③24④32
注意2:
长方体或正方体的长、宽、高同时扩大（或缩小）几倍，表面积会扩大（或缩
小）倍数的平方倍。
如长、宽、高各扩大3倍，表面积就会扩大到原来的9倍。
长、宽、高各缩小3倍，表面积就会缩小到原来的1/9。
4、长方体和正方体的体积
（1）体积的意义：
物体所占空间的大小叫做物体的体积。
（2）体积单位：
立方米，立方分米，立方厘米；用字母表示为m3，dm3，cm3。
体积相邻单位间的进率是1000:
1m3=1000dm31dm3=1000cm3
长=体积*宽*咼a=V*b*h
宽=体积*长*咼b=V*a*h
咼=体积*长*宽h=V*a*b
正方体的体积=棱长x棱长x棱长
V=axaxa=a3读作"a的立方”表示3个a相乘，（即a•a•a）
练习：
（1）、某纸盒厂生产一种正方体纸板箱，棱长40厘米，它的体积是多少立方厘米？
合多少立
方分米？
200平方厘米，这
（2）、长方体的长为12厘米，高为8厘米，阴影部分的两个面的面积和是
个长方体的体积是多少立方厘米？
（3）长方体的长是6厘米，宽是4厘米，高是2厘米，它的棱长总和是（）厘米，六个面
①正方体体积大②长方体体积大③相等
体积相等的长方体和正方体的表面积相比，
（2）.
①正方体表面积大②长方体表面积大③相等
5、底面积
长方体或正方体底面的面积叫做底面积。
（横截面积相当于底面积，长相当于高）
（注意：
一个长方体和一个正方体的棱长总和相等，但体积不一定相等。
（4）、长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，体积就会扩大倍数的立方倍。
如长、
宽、高各扩大2倍，体积就会扩大到原来的8倍。
（5）、正方体的棱长扩大2倍，则体积扩大（）倍.①2②4③6④8
6、体积单位间的进率：
1m3=1000dm31dm3=1000cm3
（1）容积和容积单位：
箱子、油桶、仓库等（容器）所能容纳物体的体积，通常叫做他们的容积。
计量容积，一般就用体积单位。
计量液体的体积，如水、油等，单位升或毫升，常用的容积单位有升和毫升，也可以写成L和ml。
1升=1立方分米1毫升=1立方厘米1升=1000毫升
（1L=1dm31ml=1cm31L=1000ml）
长方体或正方体容器容积的计算方法，跟体积的计算方法相同。
但要从容器里面量长、
宽、高。
（所以，对于同一个物体，体积大于容积。
）
练习：
长方体的体积就是长方体的容积.（）
一个菜窖能容纳6立方米白菜，这个菜窖的（②）是6立方米.①体积②容积③
表面积
4厘米的
一块长40厘米、宽30厘米的长方形铁板，把它的四个角分别切掉边长为正方形，然后焊接成一个无盖的盒子。
它的表面积是多少？
容积是多少升？
形状不规则的物体可以用排水法求体积，形状规则的物体可以用公式直接求体积。
排水法的公式：
V物体=V现在—V原来
也可以V物体=SX（h现在-h原来）
V物体=SXh升高
x进率
7、【体积单位换算】大单位小单位
小单位十进率大单位
►
进率：
1立方米=1000立方分米=1000000立方厘米（体积相邻单位进率1000）
1立方分米=1000立方厘米=1升=1000毫升
1立方厘米=1毫升
1平方米=100平方分米=10000平方厘米
1平方千米=100公顷=1000000平方米
注意：
长方体与正方体关系把长方体或正方体截成若干个小长方体（或正方体）后，表面积增加了，体积不变。
【单位换算】
长度单位：
1千米=1000米1分米=10厘米1厘米=10毫米1分米=100毫米
1米=10分米=100厘米=1000毫米（相邻单位进率10）
面积单位：
1平方千米=100公顷1公顷=10000平方米
1平方米=100平方分米1平方分米=100平方厘米
面积相邻单位进率100）
质量单位：
1吨=1000千克1千克=1000克
人民币：
1元=10角1角=10分1元=100分
第四单元分数的意义和性质
1、分数的意义：
一个物体、一物体等都可以看作一个整体，把这个整体平均分成若干份,这样的一份或几份都可以用分数来表示。
2、单位“1”：
一个整体可以用自然数1来表示，通常把它叫做单位“1”。
（也就是把什么
4
-的分
5
平均分什么就是单位“1”。
）
3、分数单位：
把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫做分数单位。
如
1
数单位是-。
5
4、分数与除法
A4
A+B=（BM0，除数不能为0,分母也不能够为0）例如：
4十5=-
B5
5、真分数和假分数、带分数
（1）、真分数：
分子比分母小的分数叫真分数。
真分数<1。
（2）、假分数：
分子比分母大或分子和分母相等的分数叫假分数。
假分数仝1
（3）、带分数：
带分数由整数和真分数组成的分数。
带分数〉1.
（4）、真分数v1w假分数真分数v1v带分数
6、假分数与整数、带分数的互化
（1）假分数化为整数或带分数，用分子十分母，商作为整数，余数作为分子，
如：
10211
=10-5=2=21-5=4-
555
（2）整数化为假分数，用整数乘以分母得分子如:
（8）
2=2X4=8（8作分子）
4
（3）
100
100
带分数化为假分数，用整数乘以分母加分子,
51=^6）5X5+仁26
55
（4）1等于任何分子和分母相同的分数。
如：
2345
1====—=・・・=
7、分数的基本性质:
分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
&最简分数：
分数的分子和分母只有公因数1，像这样的分数叫做最简分数。
一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含其他的质因数，就能够化成有限小
数。
反之则不可以。
9、约分：
把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。
21
10、通分：
把异分母分数分别化成和原来相等的同分母分数，叫做通分。
如：
和一可
8554
以化成—和—
2020
11、分数和小数的互化
（1）小数化为分数：
数小数位数。
一位小数，分母是10；两位小数，分母是100
333
如：
0.3=0.03=0.003=
101001000
1
25
-
==0.25
4
100
10、100、1000
（2）分数化为小数：
方法一：
把分数化为分母是
亦336
如：
=0.3-==0.6
10510
方法二：
用分子十分母
亦3
如：
=3-4=0.75
4
（3）带分数化为小数：
先把整数后的分数化为小数，再加上整数
片3
如：
2=2+0.3=2.3
10
13、比分数的大小：
分母相同，分子大，分数就大；
分子相同，分母小，分数才大。
分数比较大小的一般方法：
同分子比较；通分后比较；化成小数比较。
14、分数化简包括两步：
一是约分；二是把假分数化成整数或带分数。
1
1
3
1
2
3
=0.5
=0.25
=0.75
=0.2
=0.4
=0.6
2
4
4
5
5
5
4
1=0.8-=0.125
-=0.375
5=0.625
-=0.875
1=0.05
1
=0.04。
5
8
8
8
8
20
25
14、两个数互质的特殊判断方法：
11和任何大于1的自然数互质。
22和任何奇数都是互质数。
3相邻的两个自然数是互质数。
4相邻的两个奇数互质。
5不相同的两个质数互质。
6当一个数是合数，另一个数是质数时（除了合数是质数的倍数情况下），一般情况下这两
个数也都是互质
15、求最大公因数的方法：
①倍数关系：
最大公因数就是较小数。
②互质关系：
最大公因数就是1
③一般关系：
从大到小看较小数的因数是否是较大数的因数。
16、分数知识图解:
厂分数的产生
分数的意义V分数与意义：
把单位1平均分成几份，表示其中的一份或几份。
L分数与除法：
分子（被除数），分母（除数），分数值（商）。
广真分数真分数小于1
真分数与假分数假分数假分数大于1或等于1
V
带分数（整数部分和真分数）
•假分数化带分数、整数（分子除以分母，商作整数部分，余数作分子）
分数的基本性质P分数的分子、分母同时扩大或缩小相同的倍数，分数的大小不变
通分、通分子：
化成分母不同，大小不变的分数（通分）
最大公因数
约分.求最大公因数
「最简分数分子分母互质的分数（最简真分数、最简假分数）
J约分及其方法
最小公倍数
通分'求最小公倍数
分数比大小（通分、通分子、化成小数）通分及其方法
小数化分数小数化成分母是10、100、1000的分数再化简
分数和小数的互化<
分数化小数分子除以分母，除不尽的取近似值
第五单元图形的运动（三）
图形变换的基本方式是平移、对称和旋转。
1、轴对称：
如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
（1）学过的轴对称平面图形：
长（正）方形、圆形、等腰三角形、等边三角形、等腰梯形……等腰三角形有1条对称轴，等边三角形有3条对称轴，长方形有2条对称轴，正方形有4条对称轴，等腰梯形有1条对称轴，任意梯形和平行四边形不是轴对称图形。
（2）圆有无数条对称轴。
（3）对称点到对称轴的距离相等。
（4）轴对称图形的特征和性质：
1对应点到对称轴的距离相等；
2对应点的连线与对称轴垂直；
3对称轴两边的图形大小、形状完全相同。
2、对称图形包括轴对称图形和中心对称图形。
平行四边形（除棱形）属于中心对称图形。
3、旋转：
在平面内，一个图形绕着一个顶点旋转一定的角度得到另一个图形的变化较做旋转，定点0叫做旋转中心，旋转的角度叫做旋转角，原图形上的一点旋转后成为的另一点成为对应点。
（1）生活中的旋转：
电风扇、车轮、纸风车
（2）旋转要明确绕点，角度和方向。
（3）长方形绕中点旋转180度与原来重合，正方形绕中点旋转90度与原来重合。
等边三角形绕中点旋转120度与原来重合。
旋转的性质：
（1）图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动；
（2）其中对应点到旋转中心的距离相等；
（3）旋转前后图形的大小和形状没有改变；
（4）两组对应点非别与旋转中心的连线所成的角相等，都等于旋转角；
（5）旋转中心是唯一不动的点。
4、对称和旋转的画法：
旋转要注意：
顺时针、逆时针、度数
第六单元分数的加法和减法
厂
（1）同分母分数加、减法（分母不变，分子相加减）
1、分数数的加法和减法
（2）异分母分数加、减法（通分后再加减）
］（3）分数加减混合运算：
同整数。
（4）结果要是最简分数
2、带分数加减法：
带分数相加减，整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的结果合并起来。
（一）同分母分数加、减法
1、同分母分数加、减法：
同分母分数相加、减，分母不变，只把分子相加减。
2、计算的结果，能约分的要约成最简分数。
（二）异分母分数加、减法
1、分母不同，也就是分数单位不同，不能直接相加、减。
2、异分母分数的加减法：
异分母分数相加、减，要先通分，再按照同分母分数加减法的方法进行计算。
（三）分数加减混合运算
1、分数加减混合运算的运算顺序与整数加减混合运算的顺序相同。
在一个算式中，如果有括号，应先算括号里面的，再算括号外面的；如果只含有同一
级运算，应从左到右依次计算。
2、整数加法的交换律、结合律对分数加法同样适用。
1
20
C11111111
I-———-——-—
226231234
第七单元统计
厂众数一组数据中出现次数最多的数叫众数。
众数能够反映一组数据的集中情况。
统计J在一组数据中，众数可能不止一个，也可能没有众数。
复式折线统计图
综合应用打电话的最优方案
1、众数：
一组数据中出现次数最多的一个数或几个数，就是这组数据的众数。
众数能够反映一组数据的集中情况。
在一组数据中，众数可能不止一个，也可能没有众数。
2、中位数：
（1）按大小排列；
（2）如果数据的个数是单数，那么最中间的那个数就是中位数；
（3）如果数据的个数是双数，那么最中间的那两个数的平均数就是中位数。
3、平均数的求法：
总数十总份数=平均数
4、一组数据的一般水平：
（1）当一组数据中没有偏大偏小的数，也没有个别数据多次出现，用平均数表示一般水平。
（2）当一组数据中有偏大或偏小的数时，用中位数来表示一般水平。
（3）当一组数据中有个别数据多次出现，就用众数来表示一般水平。
5、平均数、中位数和众数的联系与区别：
1平均数：
一组数据的总和除以这组数据个数所得到的商叫这组数据的平均数。
容易受极端数据的影响，表示一组数据的平均情况。
2中位数：
将一组数据按大小顺序排列，处在最中间位置的一个数叫做这组数据的中位数。
它不受极端数据的影响，表示一组数据的一般情况。
3众数：
在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数。
它不受极端数据的影响，表示一组数据的集中情况。
6、统计图：
我们学过一一条形统计图、复式折线统计图。
条形统计图优点：
条形统计图能形象地反映出数量的多少。
折线统计图优点：
折线统计图不仅能表示出数量的多少，还能反映出数量的变化情况。
注：
①画图时注意：
一"点”（描点）、二"连”（连线）三"标”（标数据）。
②要用不同的线段分别连接两组数据中的数。
7、打电话：
规律一一人人不闲着，每人都在传。
（技巧：
已知人数依次X2）
（1）逐个法：
所需时间最多。
（2）分组法：
相对节约时间。
（3）同时进行法：
最节约时间。
第8单元数学广角
用天平找次品规律：
1、把所有物品尽可能平均地分成3份，（如余1则放入到最后一份中；如余2则分别放入到前两份中），保证找出次品而且称的次数一定最少。
2、数目与测试的次数的关系：
2〜3个物体，保证能找出次品需要测的次数是1次
4〜9个物体，保证能找出次品需要测的次数是2次
10〜27个物体，保证能找出次品需要测的次数是3次
28〜81个物体，保证能找出次品需要测的次数是4次
82〜243个物体，保证能找出次品需要测的次数是5次
244〜729个物体，保证能找出次品需要测的次数是6次
3、找次品规律
12
3
4
5
次数
33X3
3x3X3
3x3x3x3
3x3x3x3x3
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