定积分与微积分基本定理随堂练习含答案doc.docx
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定积分与微积分基本定理随堂练习含答案doc
定积分与微积分基本定理
基础巩固强化
1.(2011•宁夏银川一中月考)求曲线与y=x所围成图形的面
积,其中正确的是()
[答案]B
[分析]根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数.
[解析]两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,,故函数y=疽与y=x所围成图形的面积S=C\x~x2)dx.
[答案]C
[解析]图中阴影部分面积为
S=「(3-x2-2x)dx=(3x%2)l-3=~3~-
J-3
3.J2a/4—x2dx=()
A.4ttB.2ti
C.71D.t
[答案]c
[解析]令y=.4_x2,则x2+y2=4(y^0),由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积,
.*.S=^XkX22=7t.
Cz,乙R
t
4.
0
0"1
已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为”甲和”乙(如图所示).那么对于图中给定的姑和S下列判断中一定正确的是()
A.在h时刻,甲车在乙车前面
B.在4口寸刻,甲车在乙车后面
C.在而时刻,两车的位置相同
D.t.时刻后,乙车在甲车前面
[答案]A
[解析]判断甲、乙两车谁在前,谁在后的问题,实际上是判断在如4时刻,甲、乙两车行驶路程的大小问题.根据定积分的几何意义知:
车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积分,即速度函数NO的图象与,轴以及时间段围成区域的面积.从图象知:
在「0时刻,"甲的图象与♦轴和t=0,t=tQ围成区域的面积大于华的图象与♦轴和f=0,围成区域的面积,因此,在£。
时刻,甲车在乙车的前面,而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度,所以选项C,D错误;同样,在》时刻,"甲的图象与£轴和t=t{围成区域的面积,仍然大于"乙的图象与F轴和t=tx围成区域的面积,所以,可以断定:
在4时刻,甲车还是在乙车的前面.所以选A.
IT7T
5.(2012-山东日照模拟)向平面区域Q={(x,y)|—云,
OW)W1}内随机投掷一点,该点落在曲线y=cos2x下方的概率是
d.2
71
A71a-4
B.?
[答案]D
[解析]平面区域。
是矩形区域,其面积是3,在这个区
域中尚线y=cos2工下方区域的面积是J12Lcos2ad27=―4
・八17t1
2.@cos2t(1t=2(—sin2x)|g=l.故所求的概率是一=Z2L
—.故选D.
7C
「_7£
27t
6.-(sinr—cosx)ck的值是()
71
A.0B.$C.2D.-2
[答案]D
r7t7t
[角卒析]2(sinx-cosx)dx=(一cosx-sinx)?
=_
l+xOWxWl
[解析]..•>=
2.
3-x1-11-x\)dx=
*(1+x)dx+o
_x)dx
=(x++(3x-p)K=|+|=3.
8.(2010-芜湖十二中)已知函数人x)=3J+2x+1,若Ji-\f(x)dx=2f(ci)成立,则。
=.
[答案]-1[解析].•尸-顷=尸一1(3J+2x+1)dx=(x3+J+尤)|!
]=
4,Ji-\f{x)Ax=2/(^1),.,南?
++2=4,
a=-I或:
.
TT1
9.欧口a=/^o(sinx+cosx)(ir,则二项式(a\[x—j=)6的展开式中
2yjx
含尤2项的系数是.
[答案]—192
7T71
[解析]由已知得a=f2()(sirLv+cosx)dx=(-cosx+sinx)0o=
(si号-cos,)-(sinO-cosO)=2,
(2山-十)6的展开式中第,+1项是Tr+1=(-l)rxqx26-rx?
-yjx
令3-r=2得,Ll,故其系数为(-1)】XC;X25=-192.
10.有一条直线与抛物线y=x2相交于*、B两点,线段AB与抛
4
物线所围成图形的面积恒等于%求线段的中点P的轨迹方程.
[解析]设直线与抛物线的两个交点分别为A(①q2),B(b,。
2),不妨设a
则直线"的方程为尸疽=芬淀"即y=(。
+b)x-ab.
则直线A8与抛物线围成图形的面积为S=Cb[(a+b)x~ab-x2]dx)a
号=
_q)'.
•••加3)3号
解得b~a=2.设线段AB的中点坐标为P(x,y),
X=
其中<
。
+b
a21-b2
2
将b-a=2代入得
x=a+1,
y=疽+2。
+2.
消去。
得y=x2+1.
.・・线段AB的中点P的轨迹方程为y=/+i.
能力拓展提升
11.(2012-郑州二测)等比数列{□〃}中,久=6,前三项和53=J34xck
则公比g的值为()
A.1
B.
C.1或一!
D.
[答案]C
「4对尤=2瑚=18,
2q2-q-\=0.解得q=l或q=-?
故选C.
[解析]因为&=
所以'+§+6=18,化简得qq
12.(2012-太原模拟)已知(xliix)7=lnx+l,则plnxck=()
A.1B.eC.e—1D.e+1
[答案]A
[解析]由Qdn对=lax+l,联想到(x\nx-x)f=(hu+l)-1=
Inx,于是plnxdx=(x\nx-x)\ei=(e\ne-e)-(1Xlnl-1)=1.
13.抛物线)F=2尤与直线y=4-x围成的平面图形的面积为
1答案]18
y~=2x,
[解析]由方程组卜…,解得两交点心)、瑚,-4),
选y作为积分变量x=;、x=4-y,
223
・・・S=f2[(4-力号曲=(4、号_言)1?
4=18.
J-4
14.
已知函数f(x)=ex—l,直线,i:
x=Ll2:
y=e'—l(r为常数,且OW,W1).直线与函数/(X)的图象围成的封闭图形如图中区域II所示,其面积用,表示.直线如y轴与函数犬工)的图象围成的封闭图形如图中区域I所示,其面枳用表示.当[变化时,阴影部分的面积的最小值为・
[答案]醇一1)2
[解析]由题意得+S2=『(/-1-e'+l)dr+『(,-1-e'+l)dx=(e-e,)dx+^\ex-e')dx=(xe1-e,)l"+(/-xe,)l,1=(2t-3)e'+e+1,令gQ)=(2r-3)d+e+1(OWY1),则gf⑺=2d+⑵-3)4=。
-1)4,令矿⑺=0,得r=§当注[0,5时,g'(0<0,g⑺是减函数,当氏g,1]时,gf(0>0,g。
)是增函数,因此g。
)的最小值为gg)=e+1-2e§=(衣-1尸.故阴影部分的面积的最小值为(y[e~I)2.
15.求下列定积分.
(1)^—1kick;
(2)^cos2^dx;
⑶顷左dx|解析]
(1)J1-1\x\dx=2Clxdx=2X^x2lo=1.
Jo
m0Xml+COSX1”171
(2)pcos^dA:
=p——dx=尹I。
+万sirulo=方.
J。
一一一一
(3)fr1-ck=ln(x-l)lj'=1.x_1
16.已知函数f(x)^-x3+ax2+bx(a9b^R)的图象如图所示,它与x轴在原点处相切,且工轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为二,求。
的值.
yi
o
[解析]ff(x)=-3x2+2ax+b,,尸(0)=0,."=0,•项尤)=一户+履,令f(x)=0,得尤=0或工=a(a<0).
二S阴影=j^[0一(一疽+ax2)]dx
-|■履)E=土/=占,
•••qvO,二。
=-L
BXTK备选题库
1.(201b龙岩质检)已知函数»=sin5x+l,根据函数的性质、
积分的性质和积分的几何意义,探求
2»
)
A.t+?
B.71o2
C.1
D.0
[答案]
[解析]
-2L
27t乙7t
2fMd^c=
Tr
二sin\xdx+
「K
fix
2lek,由于函
数y=sin^x是奇函数,所以
「—
2sin\dx=0,而
3=兀,故选B.
J
—x—1(_]W«0),
2.若函数»=S-7T的图象与坐标轴所围
cosx(0耳1〈沙
成的封闭图形的面积为们则。
的值为()
b4
J
2+兀A・4
C.1
D.|
[答案]D
[解析]
由图可知。
=!
+
[;cosxdx=^s^0=|.
y
3.对任意非零实数。
、们若。
助的运算原理如图所示,则皿叩
sin^ch=
[答案]乎
[解析].・•
^sinxdx=一cosxlS=2>皿,0
.'•V2®psinxdx=也®2=之皿]=乎.
4.设函数f(x)=ax2-\-c(a^0),若
dx=/3)),0Wx()W1,则
而的值为
[答案]平
3
=「(亦+c)dr=(号+c?
x)l()=?
+c,故§+c=axlJoJo
+c,即ax^=又qUO,所以工*=§又0Wx()Wl,所以心=平.故
[解析]
5.
2
,则(L行展开式中含
J项的系数是
[答案]40
[解析]・.・(尤3-2工)‘=3/-2,
2)ck
n
=(23-2X2)-(1-2)=5.
・•.(尤-令5的通项公式为7;+i=C护”(-yjx
5-互
~o3,
=(-2)'Gx,令5-3=2,得,=
・・.•?
项的系数是(-2)2(3;=40.