定积分与微积分基本定理随堂练习含答案doc.docx
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定积分与微积分基本定理随堂练习含答案doc
定积分与微积分基本定理
基础巩固强化
1.（2011•宁夏银川一中月考）求曲线与y=x所围成图形的面
积，其中正确的是（）
［答案］B
［分析］根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数.
［解析］两函数图象的交点坐标是（0,0）,（1,1）,故积分上限是1,下限是0，由于在［0,1］上，,故函数y=疽与y=x所围成图形的面积S=C\x~x2）dx.
［答案］C
［解析］图中阴影部分面积为
S=「（3-x2-2x）dx=（3x%2）l-3=~3~-
J-3
3.J2a/4—x2dx=（）
A.4ttB.2ti
C.71D.t
［答案］c
［解析］令y=.4_x2,则x2+y2=4（y^0）,由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，
.*.S=^XkX22=7t.
Cz，乙R
t
4.
0
0"1
已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为”甲和”乙（如图所示）.那么对于图中给定的姑和S下列判断中一定正确的是（）
A.在h时刻，甲车在乙车前面
B.在4口寸刻，甲车在乙车后面
C.在而时刻，两车的位置相同
D.t.时刻后，乙车在甲车前面
［答案］A
［解析］判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在如4时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题.根据定积分的几何意义知：
车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积分，即速度函数NO的图象与，轴以及时间段围成区域的面积.从图象知：
在「0时刻，"甲的图象与♦轴和t=0,t=tQ围成区域的面积大于华的图象与♦轴和f=0,围成区域的面积，因此，在£。
时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项C,D错误；同样，在》时刻，"甲的图象与£轴和t=t｛围成区域的面积，仍然大于"乙的图象与F轴和t=tx围成区域的面积，所以，可以断定：
在4时刻，甲车还是在乙车的前面.所以选A.
IT7T
5.（2012-山东日照模拟）向平面区域Q=｛（x,y）|—云,
OW）W1｝内随机投掷一点，该点落在曲线y=cos2x下方的概率是
d.2
71
A71a-4
B.?
［答案］D
［解析］平面区域。
是矩形区域，其面积是3，在这个区
域中尚线y=cos2工下方区域的面积是J12Lcos2ad27=―4
・八17t1
2.@cos2t（1t=2（—sin2x）|g=l.故所求的概率是一=Z2L
—.故选D.
7C
「_7£
27t
6.-（sinr—cosx）ck的值是（）
71
A.0B.$C.2D.-2
［答案］D
r7t7t
［角卒析］2（sinx-cosx）dx=（一cosx-sinx）?
=_
l+xOWxWl
［解析］..•>=
2.
3-x1-11-x\）dx=
*（1+x）dx+o
_x）dx
=（x++（3x-p）K=|+|=3.
8.（2010-芜湖十二中）已知函数人x）=3J+2x+1,若Ji-\f（x）dx=2f（ci）成立，则。
=.
［答案］-1［解析］.•尸-顷=尸一1（3J+2x+1）dx=（x3+J+尤）|!
］=
4,Ji-\f{x）Ax=2/（^1）,.，南?
++2=4,
a=-I或:
.
TT1
9.欧口a=/^o（sinx+cosx）（ir,则二项式（a\［x—j=）6的展开式中
2yjx
含尤2项的系数是.
［答案］—192
7T71
［解析］由已知得a=f2（）（sirLv+cosx）dx=（-cosx+sinx）0o=
（si号-cos，）-（sinO-cosO）=2,
（2山-十）6的展开式中第，+1项是Tr+1=（-l）rxqx26-rx?
-yjx
令3-r=2得，Ll,故其系数为（-1）】XC；X25=-192.
10.有一条直线与抛物线y=x2相交于*、B两点，线段AB与抛
4
物线所围成图形的面积恒等于%求线段的中点P的轨迹方程.
［解析］设直线与抛物线的两个交点分别为A（①q2）,B（b,。
2）,不妨设a则直线"的方程为尸疽=芬淀"即y=（。
+b）x-ab.
则直线A8与抛物线围成图形的面积为S=Cb［（a+b）x~ab-x2］dx）a
号=
_q）'.
•••加3）3号
解得b~a=2.设线段AB的中点坐标为P（x,y）,
X=
其中＜
。
+b
a21-b2
2
将b-a=2代入得
x=a+1,
y=疽+2。
+2.
消去。
得y=x2+1.
.・・线段AB的中点P的轨迹方程为y=/+i.
能力拓展提升
11.（2012-郑州二测）等比数列｛□〃｝中,久=6,前三项和53=J34xck
则公比g的值为（）
A.1
B.
C.1或一!
D.
［答案］C
「4对尤=2瑚=18,
2q2-q-\=0.解得q=l或q=-?
故选C.
［解析］因为&=
所以'+§+6=18,化简得qq
12.（2012-太原模拟）已知（xliix）7=lnx+l,则plnxck=（）
A.1B.eC.e—1D.e+1
［答案］A
［解析］由Qdn对=lax+l,联想到（x\nx-x）f=（hu+l）-1=
Inx,于是plnxdx=（x\nx-x）\ei=（e\ne-e）-（1Xlnl-1）=1.
13.抛物线）F=2尤与直线y=4-x围成的平面图形的面积为
1答案］18
y~=2x,
［解析］由方程组卜…，解得两交点心）、瑚，-4），
选y作为积分变量x=；、x=4-y,
223
・・・S=f2［（4-力号曲=（4、号_言）1?
4=18.
J-4
14.
已知函数f（x）=ex—l,直线，i：
x=Ll2：
y=e'—l（r为常数，且OW，W1）.直线与函数/（X）的图象围成的封闭图形如图中区域II所示，其面积用，表示.直线如y轴与函数犬工）的图象围成的封闭图形如图中区域I所示，其面枳用表示.当［变化时，阴影部分的面积的最小值为・
［答案］醇一1）2
［解析］由题意得+S2=『（/-1-e'+l）dr+『（，-1-e'+l）dx=（e-e，）dx+^\ex-e'）dx=（xe1-e，）l"+（/-xe,）l,1=（2t-3）e'+e+1,令gQ）=（2r-3）d+e+1（OWY1）,则gf⑺=2d+⑵-3）4=。
-1）4,令矿⑺=0,得r=§当注［0,5时，g'（0<0,g⑺是减函数，当氏g,1］时，gf（0>0,g。
）是增函数，因此g。
）的最小值为gg）=e+1-2e§=（衣-1尸.故阴影部分的面积的最小值为（y［e~I）2.
15.求下列定积分.
（1）^—1kick;
（2）^cos2^dx；
⑶顷左dx|解析］
（1）J1-1\x\dx=2Clxdx=2X^x2lo=1.
Jo
m0Xml+COSX1”171
（2）pcos^dA：
=p——dx=尹I。
+万sirulo=方.
J。
一一一一
（3）fr1-ck=ln（x-l）lj'=1.x_1
16.已知函数f（x）^-x3+ax2+bx（a9b^R）的图象如图所示，它与x轴在原点处相切，且工轴与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为二，求。
的值.
yi
o
［解析］ff（x）=-3x2+2ax+b,,尸（0）=0,."=0,•项尤）=一户+履,令f（x）=0,得尤=0或工=a（a<0）.
二S阴影=j^［0一（一疽+ax2）］dx
-|■履）E=土/=占,
•••qvO,二。
=-L
BXTK备选题库
1.（201b龙岩质检）已知函数»=sin5x+l,根据函数的性质、
积分的性质和积分的几何意义，探求
2»
）
A.t+?
B.71o2
C.1
D.0
［答案］
［解析］
-2L
27t乙7t
2fMd^c=
Tr
二sin\xdx+
「K
fix
2lek,由于函
数y=sin^x是奇函数，所以
「—
2sin\dx=0,而
3=兀，故选B.
J
—x—1（_］W«0）,
2.若函数»=S-7T的图象与坐标轴所围
cosx（0耳1〈沙
成的封闭图形的面积为们则。
的值为（）
b4
J
2+兀A・4
C.1
D.|
［答案］D
［解析］
由图可知。
=!
+
［；cosxdx=^s^0=|.
y
3.对任意非零实数。
、们若。
助的运算原理如图所示，则皿叩
sin^ch=
［答案］乎
［解析］.・•
^sinxdx=一cosxlS=2＞皿,0
.'•V2®psinxdx=也®2=之皿］=乎.
4.设函数f（x）=ax2-\-c（a^0）,若
dx=/3）），0Wx（）W1，则
而的值为
［答案］平
3
=「（亦+c）dr=（号+c?
x）l（）=?
+c,故§+c=axlJoJo
+c,即ax^=又qUO,所以工*=§又0Wx（）Wl,所以心=平.故
［解析］
5.
2
，则（L行展开式中含
J项的系数是
［答案］40
［解析］・.・（尤3-2工）‘=3/-2,
2）ck
n
=（23-2X2）-（1-2）=5.
・•.（尤-令5的通项公式为7；+i=C护”（-yjx
5-互
~o3,
=（-2）'Gx，令5-3=2,得,=
・・.•？
项的系数是（-2）2（3；=40.
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