高三理科数学二轮总复习专题训练 二十六 分类讨论思想.docx
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高三理科数学二轮总复习专题训练二十六分类讨论思想
高考专题训练二十六 分类讨论思想
班级_______ 姓名________时间:
45分钟 分值:
75分 总得分_______
一、选择题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项填在答题卡上.
1.已知数列{an}满足:
a1=m(m为正整数),an+1=若a6=1,则m所有可能的取值为( )
A.4或5 B.4或32
C.5或32D.4,5或32
解析:
若a5为偶数,则a6==1,即a5=2.
若a4为偶数,则a5==2,∴a4=4;
若a4为奇数,则有a4=(舍).
若a3为偶数,则有a3=8;若a3为奇数,则a3=1.
若a2为偶数,则a2=16或2;
若a2为奇数,则a2=0(舍)或a2=(舍).
若a1为偶数,则a1=32或4;
若a1为奇数,有a1=5或a1=(舍).
若a5为奇数,有1=3a5+1;所以a5=0,不成立.
综上可知a1=4或5或32.
答案:
D
点评:
本题考查了分类讨论的应用,要注意数列中的条件是an为奇数或偶数,而不是n为奇数或偶数.
2.已知二次函数f(x)=ax2+2ax+1在区间[-3,2]上的最大值为4,则a等于( )
A.-3B.-
C.3D.或-3
当a<0时,在x∈[-3,2]上,当x=-1时取得最大值,得a=-3;
当a>0时,在x∈[-3,2]上,当x=2时取得最大值,得a=.
3.对一切实数,不等式x2+a|x|+1≥0恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-2)B.[-2,+∞)
C.[-2,2]D.[0,+∞)
本题是不等式恒成立问题,可以构造函数,把函数转化为y=x+型,通过求解函数的最值得到结论.由不等式x2+a|x|+1≥0对一切实数恒成立.①当x=0时,则1≥0,显然成立;②当x≠0时,可得不等式a≥-|x|-对x≠0的一切实数成立.令f(x)=-|x|-=-≤-2.当且仅当|x|=1时,“=”成立.
∴f(x)max=-2,故a≥f(x)max=-2.
B
4.0(ax)2的解集中的整数恰有3个,则( )
A.-1C.1解析:(x-b)2-(ax)2>0,(x-b-ax)(x-b+ax)>0.即[(1-a)x-b][(1+a)x-b]>0.①令x1=,x2=.∵0当1-a>0时,若0若-1当1-a<0时,即a>1时,需x1=<-2,a+1>b>-2(1-a),∴a<3.综上,1答案:C5.已知a=(-1,-2),b=(1,λ).若a与b的夹角为钝角,则λ的取值范围是( )A.B.C.∪(2,+∞)D.(2,+∞)解析:∵〈a,b〉为钝角,∴a·b<0,即有λ>-.又当λ=2时,a与b反向.故选C.答案:C6.对任意两实数a,b定义运算“*”如下,a*b=则函数f(x)=log(3x-2)*log2x的值域为( )A.(-∞,0]B.[log2,0]C.[log2,+∞)D.R解析:根据题目给出的情境,得f(x)=log(3x-2)*log2x=log2*log2x=由于y=log2x的图象在定义域上为增函数,可得f(x)的值域为(-∞,0].故选A.答案:A二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上.7.若函数f(x)=4x+a·2x+a+1在(-∞,+∞)上存在零点,则实数a的取值范围为________.解析:设2x=t(t>0),则函数可化为g(t)=t2+at+a+1,t∈(0,+∞),函数f(x)在(-∞,+∞)上存在零点,等价于函数g(t)在(0,+∞)上有零点. (1)当函数g(t)在(0,+∞)上存在两个零点时,实数a应满足解得-1(2)当函数g(t)在(0,+∞)上存在一个零点,另一个零点在(-∞,0)时,实数a应满足g(0)=a+1<0,解得a<-1.(3)当函数g(t)的一个零点是0时,g(0)=a+1,a=-1,此时可求得函数g(t)的另一个零点是1,符合题目要求.综合(1)(2)(3)知a的取值范围是a≤2-2.答案:a≤2-28.连掷两次骰子得到的点数为m和n,记向量a=(m,n),与向量b=(1,-1)的夹角为θ,则θ∈(0,]的概率是________.解析:∵m>0,n>0,∴a=(m,n)与b=(1,-1)不可能同向.∴夹角θ≠0.∴θ∈(0,]⇔a·b≥0,∴m≥n.当m=6时,n=6,5,4,3,2,1;当m=5时,n=5,4,3,2,1;当m=4时,n=4,3,2,1;当m=3时,n=3,2,1;当m=2时,n=2,1;当m=1时,n=1;∴概率是=.答案:9.当点M(x,y)在如图所示的△ABC内(含边界)运动时,目标函数z=kx+y取得最大值的一个最优解为(1,2).则实数k的取值范围是________.解析:如图,延长BC交y轴于点D,目标函数z=kx+y中z的几何意义是直线kx+y-z=0在y轴上的截距,由题意得当此直线经过点C(1,2)时,z取得最大值,显然此时直线kx+y-z=0与y轴的交点应该在点A和点D之间,而kAC==1,kBD=kBC==-1,直线kx+y-z=0的斜率为-k,所以-1≤-k≤1,解得k∈[-1,1].答案:[-1,1]10.设F1、F2为椭圆+=1的两个焦点,P为椭圆上一点.已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点,且|PF1|>|PF2|,则的值为________.解析:若∠PF2F1=90°,则|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2.∵|PF1|+|PF2|=6,|F1F2|=2.解得|PF1|=,|PF2|=.∴=.若∠F1PF2=90°,则|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2=|PF1|2+(6-|PF1|)2.解得|PF1|=4,|PF2|=2.∴=2.综上,=或2.答案:或2三、解答题:本大题共2小题,共25分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.11.(12分)已知a>0,且a≠1,数列{an}的前n项和为Sn,它满足条件=1-.数列{bn}中,bn=an·lgan.(1)求数列{bn}的前n项和Tn;(2)若对一切n∈N*,都有bn分析:(1)本题从=1-可以得出Sn,进而由an和Sn的关系an=可求出数列{an}的通项,也就求出了{bn}的通项公式.(2)应注意分a>1和0解:(1)=1-,∴Sn=.当n=1时,a1=S1==a;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=an.∴an=an(n∈N*).此时,bn=an·lgan=n·anlga.∴Tn=b1+b2+…+bn=lga(a+2a2+3a3+…+nan).设un=a+2a2+3a3+…+nan,∴(1-a)un=a+a2+a3+…+an-nan+1=-nan+1.∴un=-.∴Tn=lga[-].(2)由bn①当a>1时,由lga>0,可得a>.∵<1(n∈N*),a>1,∴a>对一切n∈N*都成立,此时a的范围为a>1.②当0(n+1)a,即a<,即a∵≥,∴a<时,对一切n∈N*,a<都成立,此时,a的范围为0由①②知:对一切n∈N*,都有bn1.12.(13分)设A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆+=1(a>b>0)上两点.已知m=,n=,若m·n=0且椭圆的离心率e=,短轴长为2,O为坐标原点.(1)求椭圆的方程;(2)若直线AB过椭圆的焦点F(0,c)(c为半焦距),求直线AB的斜率k;(3)试问△AOB的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.分析:(1)由e==及b=1可求a.(2)设出AB的直线方程,代入椭圆方程,结合根与系数的关系及条件m·n=0,解出k值.(3)应分kAB不存在及kAB存在两种情况讨论求解.解:(1)∵2b=2,∴b=1,∴e===.∴a=2,c=.椭圆的方程为+x2=1.(2)由题意,设AB的方程为y=kx+,由整理得(k2+4)x2+2kx-1=0.∴x1+x2=,x1x2=.由已知m·n=0得:+=x1x2+(kx1+)(kx2+)=x1x2+k(x1+x2)+=+k·+=0.解得k=±.(3)①当直线AB斜率不存在时,即x1=x2,y1=-y2,由m·n=0得x-=0⇒y=4x.又A(x1,y1)在椭圆上,所以x+=1,∴|x1|=,|y1|=,S=|x1||y1-y2|=1=|x1|·2|y1|=1,所以三角形面积为定值.②当直线AB斜率存在时,设AB的方程为y=kx+b,代入+x2=1,得:(k2+4)x2+2kbx+b2-4=0.所以x1+x2=,x1x2=,x1x2+=0⇔x1x2+=0,代入整理得2b2-k2=4,∴S=·|AB|=|b|===1.所以△ABC的面积为定值.点评:本题是平面向量与解析几何的交汇题,综合考查了椭圆方程,离心率,定值等知识与方法,当直线位置不确定时,应注意分斜率存在与斜率不存在讨论.
C.1解析:(x-b)2-(ax)2>0,(x-b-ax)(x-b+ax)>0.即[(1-a)x-b][(1+a)x-b]>0.①令x1=,x2=.∵0当1-a>0时,若0若-1当1-a<0时,即a>1时,需x1=<-2,a+1>b>-2(1-a),∴a<3.综上,1答案:C5.已知a=(-1,-2),b=(1,λ).若a与b的夹角为钝角,则λ的取值范围是( )A.B.C.∪(2,+∞)D.(2,+∞)解析:∵〈a,b〉为钝角,∴a·b<0,即有λ>-.又当λ=2时,a与b反向.故选C.答案:C6.对任意两实数a,b定义运算“*”如下,a*b=则函数f(x)=log(3x-2)*log2x的值域为( )A.(-∞,0]B.[log2,0]C.[log2,+∞)D.R解析:根据题目给出的情境,得f(x)=log(3x-2)*log2x=log2*log2x=由于y=log2x的图象在定义域上为增函数,可得f(x)的值域为(-∞,0].故选A.答案:A二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上.7.若函数f(x)=4x+a·2x+a+1在(-∞,+∞)上存在零点,则实数a的取值范围为________.解析:设2x=t(t>0),则函数可化为g(t)=t2+at+a+1,t∈(0,+∞),函数f(x)在(-∞,+∞)上存在零点,等价于函数g(t)在(0,+∞)上有零点. (1)当函数g(t)在(0,+∞)上存在两个零点时,实数a应满足解得-1(2)当函数g(t)在(0,+∞)上存在一个零点,另一个零点在(-∞,0)时,实数a应满足g(0)=a+1<0,解得a<-1.(3)当函数g(t)的一个零点是0时,g(0)=a+1,a=-1,此时可求得函数g(t)的另一个零点是1,符合题目要求.综合(1)(2)(3)知a的取值范围是a≤2-2.答案:a≤2-28.连掷两次骰子得到的点数为m和n,记向量a=(m,n),与向量b=(1,-1)的夹角为θ,则θ∈(0,]的概率是________.解析:∵m>0,n>0,∴a=(m,n)与b=(1,-1)不可能同向.∴夹角θ≠0.∴θ∈(0,]⇔a·b≥0,∴m≥n.当m=6时,n=6,5,4,3,2,1;当m=5时,n=5,4,3,2,1;当m=4时,n=4,3,2,1;当m=3时,n=3,2,1;当m=2时,n=2,1;当m=1时,n=1;∴概率是=.答案:9.当点M(x,y)在如图所示的△ABC内(含边界)运动时,目标函数z=kx+y取得最大值的一个最优解为(1,2).则实数k的取值范围是________.解析:如图,延长BC交y轴于点D,目标函数z=kx+y中z的几何意义是直线kx+y-z=0在y轴上的截距,由题意得当此直线经过点C(1,2)时,z取得最大值,显然此时直线kx+y-z=0与y轴的交点应该在点A和点D之间,而kAC==1,kBD=kBC==-1,直线kx+y-z=0的斜率为-k,所以-1≤-k≤1,解得k∈[-1,1].答案:[-1,1]10.设F1、F2为椭圆+=1的两个焦点,P为椭圆上一点.已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点,且|PF1|>|PF2|,则的值为________.解析:若∠PF2F1=90°,则|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2.∵|PF1|+|PF2|=6,|F1F2|=2.解得|PF1|=,|PF2|=.∴=.若∠F1PF2=90°,则|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2=|PF1|2+(6-|PF1|)2.解得|PF1|=4,|PF2|=2.∴=2.综上,=或2.答案:或2三、解答题:本大题共2小题,共25分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.11.(12分)已知a>0,且a≠1,数列{an}的前n项和为Sn,它满足条件=1-.数列{bn}中,bn=an·lgan.(1)求数列{bn}的前n项和Tn;(2)若对一切n∈N*,都有bn分析:(1)本题从=1-可以得出Sn,进而由an和Sn的关系an=可求出数列{an}的通项,也就求出了{bn}的通项公式.(2)应注意分a>1和0解:(1)=1-,∴Sn=.当n=1时,a1=S1==a;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=an.∴an=an(n∈N*).此时,bn=an·lgan=n·anlga.∴Tn=b1+b2+…+bn=lga(a+2a2+3a3+…+nan).设un=a+2a2+3a3+…+nan,∴(1-a)un=a+a2+a3+…+an-nan+1=-nan+1.∴un=-.∴Tn=lga[-].(2)由bn①当a>1时,由lga>0,可得a>.∵<1(n∈N*),a>1,∴a>对一切n∈N*都成立,此时a的范围为a>1.②当0(n+1)a,即a<,即a∵≥,∴a<时,对一切n∈N*,a<都成立,此时,a的范围为0由①②知:对一切n∈N*,都有bn1.12.(13分)设A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆+=1(a>b>0)上两点.已知m=,n=,若m·n=0且椭圆的离心率e=,短轴长为2,O为坐标原点.(1)求椭圆的方程;(2)若直线AB过椭圆的焦点F(0,c)(c为半焦距),求直线AB的斜率k;(3)试问△AOB的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.分析:(1)由e==及b=1可求a.(2)设出AB的直线方程,代入椭圆方程,结合根与系数的关系及条件m·n=0,解出k值.(3)应分kAB不存在及kAB存在两种情况讨论求解.解:(1)∵2b=2,∴b=1,∴e===.∴a=2,c=.椭圆的方程为+x2=1.(2)由题意,设AB的方程为y=kx+,由整理得(k2+4)x2+2kx-1=0.∴x1+x2=,x1x2=.由已知m·n=0得:+=x1x2+(kx1+)(kx2+)=x1x2+k(x1+x2)+=+k·+=0.解得k=±.(3)①当直线AB斜率不存在时,即x1=x2,y1=-y2,由m·n=0得x-=0⇒y=4x.又A(x1,y1)在椭圆上,所以x+=1,∴|x1|=,|y1|=,S=|x1||y1-y2|=1=|x1|·2|y1|=1,所以三角形面积为定值.②当直线AB斜率存在时,设AB的方程为y=kx+b,代入+x2=1,得:(k2+4)x2+2kbx+b2-4=0.所以x1+x2=,x1x2=,x1x2+=0⇔x1x2+=0,代入整理得2b2-k2=4,∴S=·|AB|=|b|===1.所以△ABC的面积为定值.点评:本题是平面向量与解析几何的交汇题,综合考查了椭圆方程,离心率,定值等知识与方法,当直线位置不确定时,应注意分斜率存在与斜率不存在讨论.
(x-b)2-(ax)2>0,(x-b-ax)(x-b+ax)>0.
即[(1-a)x-b][(1+a)x-b]>0.①
令x1=,x2=.
∵0
当1-a>0时,若0若-1当1-a<0时,即a>1时,需x1=<-2,a+1>b>-2(1-a),∴a<3.综上,1答案:C5.已知a=(-1,-2),b=(1,λ).若a与b的夹角为钝角,则λ的取值范围是( )A.B.C.∪(2,+∞)D.(2,+∞)解析:∵〈a,b〉为钝角,∴a·b<0,即有λ>-.又当λ=2时,a与b反向.故选C.答案:C6.对任意两实数a,b定义运算“*”如下,a*b=则函数f(x)=log(3x-2)*log2x的值域为( )A.(-∞,0]B.[log2,0]C.[log2,+∞)D.R解析:根据题目给出的情境,得f(x)=log(3x-2)*log2x=log2*log2x=由于y=log2x的图象在定义域上为增函数,可得f(x)的值域为(-∞,0].故选A.答案:A二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上.7.若函数f(x)=4x+a·2x+a+1在(-∞,+∞)上存在零点,则实数a的取值范围为________.解析:设2x=t(t>0),则函数可化为g(t)=t2+at+a+1,t∈(0,+∞),函数f(x)在(-∞,+∞)上存在零点,等价于函数g(t)在(0,+∞)上有零点. (1)当函数g(t)在(0,+∞)上存在两个零点时,实数a应满足解得-1(2)当函数g(t)在(0,+∞)上存在一个零点,另一个零点在(-∞,0)时,实数a应满足g(0)=a+1<0,解得a<-1.(3)当函数g(t)的一个零点是0时,g(0)=a+1,a=-1,此时可求得函数g(t)的另一个零点是1,符合题目要求.综合(1)(2)(3)知a的取值范围是a≤2-2.答案:a≤2-28.连掷两次骰子得到的点数为m和n,记向量a=(m,n),与向量b=(1,-1)的夹角为θ,则θ∈(0,]的概率是________.解析:∵m>0,n>0,∴a=(m,n)与b=(1,-1)不可能同向.∴夹角θ≠0.∴θ∈(0,]⇔a·b≥0,∴m≥n.当m=6时,n=6,5,4,3,2,1;当m=5时,n=5,4,3,2,1;当m=4时,n=4,3,2,1;当m=3时,n=3,2,1;当m=2时,n=2,1;当m=1时,n=1;∴概率是=.答案:9.当点M(x,y)在如图所示的△ABC内(含边界)运动时,目标函数z=kx+y取得最大值的一个最优解为(1,2).则实数k的取值范围是________.解析:如图,延长BC交y轴于点D,目标函数z=kx+y中z的几何意义是直线kx+y-z=0在y轴上的截距,由题意得当此直线经过点C(1,2)时,z取得最大值,显然此时直线kx+y-z=0与y轴的交点应该在点A和点D之间,而kAC==1,kBD=kBC==-1,直线kx+y-z=0的斜率为-k,所以-1≤-k≤1,解得k∈[-1,1].答案:[-1,1]10.设F1、F2为椭圆+=1的两个焦点,P为椭圆上一点.已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点,且|PF1|>|PF2|,则的值为________.解析:若∠PF2F1=90°,则|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2.∵|PF1|+|PF2|=6,|F1F2|=2.解得|PF1|=,|PF2|=.∴=.若∠F1PF2=90°,则|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2=|PF1|2+(6-|PF1|)2.解得|PF1|=4,|PF2|=2.∴=2.综上,=或2.答案:或2三、解答题:本大题共2小题,共25分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.11.(12分)已知a>0,且a≠1,数列{an}的前n项和为Sn,它满足条件=1-.数列{bn}中,bn=an·lgan.(1)求数列{bn}的前n项和Tn;(2)若对一切n∈N*,都有bn分析:(1)本题从=1-可以得出Sn,进而由an和Sn的关系an=可求出数列{an}的通项,也就求出了{bn}的通项公式.(2)应注意分a>1和0解:(1)=1-,∴Sn=.当n=1时,a1=S1==a;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=an.∴an=an(n∈N*).此时,bn=an·lgan=n·anlga.∴Tn=b1+b2+…+bn=lga(a+2a2+3a3+…+nan).设un=a+2a2+3a3+…+nan,∴(1-a)un=a+a2+a3+…+an-nan+1=-nan+1.∴un=-.∴Tn=lga[-].(2)由bn①当a>1时,由lga>0,可得a>.∵<1(n∈N*),a>1,∴a>对一切n∈N*都成立,此时a的范围为a>1.②当0(n+1)a,即a<,即a∵≥,∴a<时,对一切n∈N*,a<都成立,此时,a的范围为0由①②知:对一切n∈N*,都有bn1.12.(13分)设A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆+=1(a>b>0)上两点.已知m=,n=,若m·n=0且椭圆的离心率e=,短轴长为2,O为坐标原点.(1)求椭圆的方程;(2)若直线AB过椭圆的焦点F(0,c)(c为半焦距),求直线AB的斜率k;(3)试问△AOB的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.分析:(1)由e==及b=1可求a.(2)设出AB的直线方程,代入椭圆方程,结合根与系数的关系及条件m·n=0,解出k值.(3)应分kAB不存在及kAB存在两种情况讨论求解.解:(1)∵2b=2,∴b=1,∴e===.∴a=2,c=.椭圆的方程为+x2=1.(2)由题意,设AB的方程为y=kx+,由整理得(k2+4)x2+2kx-1=0.∴x1+x2=,x1x2=.由已知m·n=0得:+=x1x2+(kx1+)(kx2+)=x1x2+k(x1+x2)+=+k·+=0.解得k=±.(3)①当直线AB斜率不存在时,即x1=x2,y1=-y2,由m·n=0得x-=0⇒y=4x.又A(x1,y1)在椭圆上,所以x+=1,∴|x1|=,|y1|=,S=|x1||y1-y2|=1=|x1|·2|y1|=1,所以三角形面积为定值.②当直线AB斜率存在时,设AB的方程为y=kx+b,代入+x2=1,得:(k2+4)x2+2kbx+b2-4=0.所以x1+x2=,x1x2=,x1x2+=0⇔x1x2+=0,代入整理得2b2-k2=4,∴S=·|AB|=|b|===1.所以△ABC的面积为定值.点评:本题是平面向量与解析几何的交汇题,综合考查了椭圆方程,离心率,定值等知识与方法,当直线位置不确定时,应注意分斜率存在与斜率不存在讨论.
若-1当1-a<0时,即a>1时,需x1=<-2,a+1>b>-2(1-a),∴a<3.综上,1答案:C5.已知a=(-1,-2),b=(1,λ).若a与b的夹角为钝角,则λ的取值范围是( )A.B.C.∪(2,+∞)D.(2,+∞)解析:∵〈a,b〉为钝角,∴a·b<0,即有λ>-.又当λ=2时,a与b反向.故选C.答案:C6.对任意两实数a,b定义运算“*”如下,a*b=则函数f(x)=log(3x-2)*log2x的值域为( )A.(-∞,0]B.[log2,0]C.[log2,+∞)D.R解析:根据题目给出的情境,得f(x)=log(3x-2)*log2x=log2*log2x=由于y=log2x的图象在定义域上为增函数,可得f(x)的值域为(-∞,0].故选A.答案:A二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上.7.若函数f(x)=4x+a·2x+a+1在(-∞,+∞)上存在零点,则实数a的取值范围为________.解析:设2x=t(t>0),则函数可化为g(t)=t2+at+a+1,t∈(0,+∞),函数f(x)在(-∞,+∞)上存在零点,等价于函数g(t)在(0,+∞)上有零点. (1)当函数g(t)在(0,+∞)上存在两个零点时,实数a应满足解得-1(2)当函数g(t)在(0,+∞)上存在一个零点,另一个零点在(-∞,0)时,实数a应满足g(0)=a+1<0,解得a<-1.(3)当函数g(t)的一个零点是0时,g(0)=a+1,a=-1,此时可求得函数g(t)的另一个零点是1,符合题目要求.综合(1)(2)(3)知a的取值范围是a≤2-2.答案:a≤2-28.连掷两次骰子得到的点数为m和n,记向量a=(m,n),与向量b=(1,-1)的夹角为θ,则θ∈(0,]的概率是________.解析:∵m>0,n>0,∴a=(m,n)与b=(1,-1)不可能同向.∴夹角θ≠0.∴θ∈(0,]⇔a·b≥0,∴m≥n.当m=6时,n=6,5,4,3,2,1;当m=5时,n=5,4,3,2,1;当m=4时,n=4,3,2,1;当m=3时,n=3,2,1;当m=2时,n=2,1;当m=1时,n=1;∴概率是=.答案:9.当点M(x,y)在如图所示的△ABC内(含边界)运动时,目标函数z=kx+y取得最大值的一个最优解为(1,2).则实数k的取值范围是________.解析:如图,延长BC交y轴于点D,目标函数z=kx+y中z的几何意义是直线kx+y-z=0在y轴上的截距,由题意得当此直线经过点C(1,2)时,z取得最大值,显然此时直线kx+y-z=0与y轴的交点应该在点A和点D之间,而kAC==1,kBD=kBC==-1,直线kx+y-z=0的斜率为-k,所以-1≤-k≤1,解得k∈[-1,1].答案:[-1,1]10.设F1、F2为椭圆+=1的两个焦点,P为椭圆上一点.已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点,且|PF1|>|PF2|,则的值为________.解析:若∠PF2F1=90°,则|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2.∵|PF1|+|PF2|=6,|F1F2|=2.解得|PF1|=,|PF2|=.∴=.若∠F1PF2=90°,则|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2=|PF1|2+(6-|PF1|)2.解得|PF1|=4,|PF2|=2.∴=2.综上,=或2.答案:或2三、解答题:本大题共2小题,共25分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.11.(12分)已知a>0,且a≠1,数列{an}的前n项和为Sn,它满足条件=1-.数列{bn}中,bn=an·lgan.(1)求数列{bn}的前n项和Tn;(2)若对一切n∈N*,都有bn分析:(1)本题从=1-可以得出Sn,进而由an和Sn的关系an=可求出数列{an}的通项,也就求出了{bn}的通项公式.(2)应注意分a>1和0解:(1)=1-,∴Sn=.当n=1时,a1=S1==a;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=an.∴an=an(n∈N*).此时,bn=an·lgan=n·anlga.∴Tn=b1+b2+…+bn=lga(a+2a2+3a3+…+nan).设un=a+2a2+3a3+…+nan,∴(1-a)un=a+a2+a3+…+an-nan+1=-nan+1.∴un=-.∴Tn=lga[-].(2)由bn①当a>1时,由lga>0,可得a>.∵<1(n∈N*),a>1,∴a>对一切n∈N*都成立,此时a的范围为a>1.②当0(n+1)a,即a<,即a∵≥,∴a<时,对一切n∈N*,a<都成立,此时,a的范围为0由①②知:对一切n∈N*,都有bn1.12.(13分)设A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆+=1(a>b>0)上两点.已知m=,n=,若m·n=0且椭圆的离心率e=,短轴长为2,O为坐标原点.(1)求椭圆的方程;(2)若直线AB过椭圆的焦点F(0,c)(c为半焦距),求直线AB的斜率k;(3)试问△AOB的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.分析:(1)由e==及b=1可求a.(2)设出AB的直线方程,代入椭圆方程,结合根与系数的关系及条件m·n=0,解出k值.(3)应分kAB不存在及kAB存在两种情况讨论求解.解:(1)∵2b=2,∴b=1,∴e===.∴a=2,c=.椭圆的方程为+x2=1.(2)由题意,设AB的方程为y=kx+,由整理得(k2+4)x2+2kx-1=0.∴x1+x2=,x1x2=.由已知m·n=0得:+=x1x2+(kx1+)(kx2+)=x1x2+k(x1+x2)+=+k·+=0.解得k=±.(3)①当直线AB斜率不存在时,即x1=x2,y1=-y2,由m·n=0得x-=0⇒y=4x.又A(x1,y1)在椭圆上,所以x+=1,∴|x1|=,|y1|=,S=|x1||y1-y2|=1=|x1|·2|y1|=1,所以三角形面积为定值.②当直线AB斜率存在时,设AB的方程为y=kx+b,代入+x2=1,得:(k2+4)x2+2kbx+b2-4=0.所以x1+x2=,x1x2=,x1x2+=0⇔x1x2+=0,代入整理得2b2-k2=4,∴S=·|AB|=|b|===1.所以△ABC的面积为定值.点评:本题是平面向量与解析几何的交汇题,综合考查了椭圆方程,离心率,定值等知识与方法,当直线位置不确定时,应注意分斜率存在与斜率不存在讨论.
当1-a<0时,即a>1时,需x1=<-2,a+1>b>-2(1-a),∴a<3.
综上,1答案:C5.已知a=(-1,-2),b=(1,λ).若a与b的夹角为钝角,则λ的取值范围是( )A.B.C.∪(2,+∞)D.(2,+∞)解析:∵〈a,b〉为钝角,∴a·b<0,即有λ>-.又当λ=2时,a与b反向.故选C.答案:C6.对任意两实数a,b定义运算“*”如下,a*b=则函数f(x)=log(3x-2)*log2x的值域为( )A.(-∞,0]B.[log2,0]C.[log2,+∞)D.R解析:根据题目给出的情境,得f(x)=log(3x-2)*log2x=log2*log2x=由于y=log2x的图象在定义域上为增函数,可得f(x)的值域为(-∞,0].故选A.答案:A二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上.7.若函数f(x)=4x+a·2x+a+1在(-∞,+∞)上存在零点,则实数a的取值范围为________.解析:设2x=t(t>0),则函数可化为g(t)=t2+at+a+1,t∈(0,+∞),函数f(x)在(-∞,+∞)上存在零点,等价于函数g(t)在(0,+∞)上有零点. (1)当函数g(t)在(0,+∞)上存在两个零点时,实数a应满足解得-1(2)当函数g(t)在(0,+∞)上存在一个零点,另一个零点在(-∞,0)时,实数a应满足g(0)=a+1<0,解得a<-1.(3)当函数g(t)的一个零点是0时,g(0)=a+1,a=-1,此时可求得函数g(t)的另一个零点是1,符合题目要求.综合(1)(2)(3)知a的取值范围是a≤2-2.答案:a≤2-28.连掷两次骰子得到的点数为m和n,记向量a=(m,n),与向量b=(1,-1)的夹角为θ,则θ∈(0,]的概率是________.解析:∵m>0,n>0,∴a=(m,n)与b=(1,-1)不可能同向.∴夹角θ≠0.∴θ∈(0,]⇔a·b≥0,∴m≥n.当m=6时,n=6,5,4,3,2,1;当m=5时,n=5,4,3,2,1;当m=4时,n=4,3,2,1;当m=3时,n=3,2,1;当m=2时,n=2,1;当m=1时,n=1;∴概率是=.答案:9.当点M(x,y)在如图所示的△ABC内(含边界)运动时,目标函数z=kx+y取得最大值的一个最优解为(1,2).则实数k的取值范围是________.解析:如图,延长BC交y轴于点D,目标函数z=kx+y中z的几何意义是直线kx+y-z=0在y轴上的截距,由题意得当此直线经过点C(1,2)时,z取得最大值,显然此时直线kx+y-z=0与y轴的交点应该在点A和点D之间,而kAC==1,kBD=kBC==-1,直线kx+y-z=0的斜率为-k,所以-1≤-k≤1,解得k∈[-1,1].答案:[-1,1]10.设F1、F2为椭圆+=1的两个焦点,P为椭圆上一点.已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点,且|PF1|>|PF2|,则的值为________.解析:若∠PF2F1=90°,则|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2.∵|PF1|+|PF2|=6,|F1F2|=2.解得|PF1|=,|PF2|=.∴=.若∠F1PF2=90°,则|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2=|PF1|2+(6-|PF1|)2.解得|PF1|=4,|PF2|=2.∴=2.综上,=或2.答案:或2三、解答题:本大题共2小题,共25分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.11.(12分)已知a>0,且a≠1,数列{an}的前n项和为Sn,它满足条件=1-.数列{bn}中,bn=an·lgan.(1)求数列{bn}的前n项和Tn;(2)若对一切n∈N*,都有bn分析:(1)本题从=1-可以得出Sn,进而由an和Sn的关系an=可求出数列{an}的通项,也就求出了{bn}的通项公式.(2)应注意分a>1和0解:(1)=1-,∴Sn=.当n=1时,a1=S1==a;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=an.∴an=an(n∈N*).此时,bn=an·lgan=n·anlga.∴Tn=b1+b2+…+bn=lga(a+2a2+3a3+…+nan).设un=a+2a2+3a3+…+nan,∴(1-a)un=a+a2+a3+…+an-nan+1=-nan+1.∴un=-.∴Tn=lga[-].(2)由bn①当a>1时,由lga>0,可得a>.∵<1(n∈N*),a>1,∴a>对一切n∈N*都成立,此时a的范围为a>1.②当0(n+1)a,即a<,即a∵≥,∴a<时,对一切n∈N*,a<都成立,此时,a的范围为0由①②知:对一切n∈N*,都有bn1.12.(13分)设A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆+=1(a>b>0)上两点.已知m=,n=,若m·n=0且椭圆的离心率e=,短轴长为2,O为坐标原点.(1)求椭圆的方程;(2)若直线AB过椭圆的焦点F(0,c)(c为半焦距),求直线AB的斜率k;(3)试问△AOB的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.分析:(1)由e==及b=1可求a.(2)设出AB的直线方程,代入椭圆方程,结合根与系数的关系及条件m·n=0,解出k值.(3)应分kAB不存在及kAB存在两种情况讨论求解.解:(1)∵2b=2,∴b=1,∴e===.∴a=2,c=.椭圆的方程为+x2=1.(2)由题意,设AB的方程为y=kx+,由整理得(k2+4)x2+2kx-1=0.∴x1+x2=,x1x2=.由已知m·n=0得:+=x1x2+(kx1+)(kx2+)=x1x2+k(x1+x2)+=+k·+=0.解得k=±.(3)①当直线AB斜率不存在时,即x1=x2,y1=-y2,由m·n=0得x-=0⇒y=4x.又A(x1,y1)在椭圆上,所以x+=1,∴|x1|=,|y1|=,S=|x1||y1-y2|=1=|x1|·2|y1|=1,所以三角形面积为定值.②当直线AB斜率存在时,设AB的方程为y=kx+b,代入+x2=1,得:(k2+4)x2+2kbx+b2-4=0.所以x1+x2=,x1x2=,x1x2+=0⇔x1x2+=0,代入整理得2b2-k2=4,∴S=·|AB|=|b|===1.所以△ABC的面积为定值.点评:本题是平面向量与解析几何的交汇题,综合考查了椭圆方程,离心率,定值等知识与方法,当直线位置不确定时,应注意分斜率存在与斜率不存在讨论.
C
5.已知a=(-1,-2),b=(1,λ).若a与b的夹角为钝角,则λ的取值范围是( )
A.B.
C.∪(2,+∞)D.(2,+∞)
∵〈a,b〉为钝角,∴a·b<0,即有λ>-.又当λ=2时,a与b反向.故选C.
6.对任意两实数a,b定义运算“*”如下,a*b=则函数f(x)=log(3x-2)*log2x的值域为( )
A.(-∞,0]B.[log2,0]
C.[log2,+∞)D.R
根据题目给出的情境,得f(x)=log(3x-2)*log2x=log2*log2x=由于y=log2x的图象在定义域上为增函数,可得f(x)的值域为(-∞,0].故选A.
A
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上.
7.若函数f(x)=4x+a·2x+a+1在(-∞,+∞)上存在零点,则实数a的取值范围为________.
设2x=t(t>0),则函数可化为g(t)=t2+at+a+1,t∈(0,+∞),函数f(x)在(-∞,+∞)上存在零点,等价于函数g(t)在(0,+∞)上有零点.
(1)当函数g(t)在(0,+∞)上存在两个零点时,实数a应满足
解得-1(2)当函数g(t)在(0,+∞)上存在一个零点,另一个零点在(-∞,0)时,实数a应满足g(0)=a+1<0,解得a<-1.(3)当函数g(t)的一个零点是0时,g(0)=a+1,a=-1,此时可求得函数g(t)的另一个零点是1,符合题目要求.综合(1)(2)(3)知a的取值范围是a≤2-2.答案:a≤2-28.连掷两次骰子得到的点数为m和n,记向量a=(m,n),与向量b=(1,-1)的夹角为θ,则θ∈(0,]的概率是________.解析:∵m>0,n>0,∴a=(m,n)与b=(1,-1)不可能同向.∴夹角θ≠0.∴θ∈(0,]⇔a·b≥0,∴m≥n.当m=6时,n=6,5,4,3,2,1;当m=5时,n=5,4,3,2,1;当m=4时,n=4,3,2,1;当m=3时,n=3,2,1;当m=2时,n=2,1;当m=1时,n=1;∴概率是=.答案:9.当点M(x,y)在如图所示的△ABC内(含边界)运动时,目标函数z=kx+y取得最大值的一个最优解为(1,2).则实数k的取值范围是________.解析:如图,延长BC交y轴于点D,目标函数z=kx+y中z的几何意义是直线kx+y-z=0在y轴上的截距,由题意得当此直线经过点C(1,2)时,z取得最大值,显然此时直线kx+y-z=0与y轴的交点应该在点A和点D之间,而kAC==1,kBD=kBC==-1,直线kx+y-z=0的斜率为-k,所以-1≤-k≤1,解得k∈[-1,1].答案:[-1,1]10.设F1、F2为椭圆+=1的两个焦点,P为椭圆上一点.已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点,且|PF1|>|PF2|,则的值为________.解析:若∠PF2F1=90°,则|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2.∵|PF1|+|PF2|=6,|F1F2|=2.解得|PF1|=,|PF2|=.∴=.若∠F1PF2=90°,则|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2=|PF1|2+(6-|PF1|)2.解得|PF1|=4,|PF2|=2.∴=2.综上,=或2.答案:或2三、解答题:本大题共2小题,共25分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.11.(12分)已知a>0,且a≠1,数列{an}的前n项和为Sn,它满足条件=1-.数列{bn}中,bn=an·lgan.(1)求数列{bn}的前n项和Tn;(2)若对一切n∈N*,都有bn分析:(1)本题从=1-可以得出Sn,进而由an和Sn的关系an=可求出数列{an}的通项,也就求出了{bn}的通项公式.(2)应注意分a>1和0解:(1)=1-,∴Sn=.当n=1时,a1=S1==a;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=an.∴an=an(n∈N*).此时,bn=an·lgan=n·anlga.∴Tn=b1+b2+…+bn=lga(a+2a2+3a3+…+nan).设un=a+2a2+3a3+…+nan,∴(1-a)un=a+a2+a3+…+an-nan+1=-nan+1.∴un=-.∴Tn=lga[-].(2)由bn①当a>1时,由lga>0,可得a>.∵<1(n∈N*),a>1,∴a>对一切n∈N*都成立,此时a的范围为a>1.②当0(n+1)a,即a<,即a∵≥,∴a<时,对一切n∈N*,a<都成立,此时,a的范围为0由①②知:对一切n∈N*,都有bn1.12.(13分)设A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆+=1(a>b>0)上两点.已知m=,n=,若m·n=0且椭圆的离心率e=,短轴长为2,O为坐标原点.(1)求椭圆的方程;(2)若直线AB过椭圆的焦点F(0,c)(c为半焦距),求直线AB的斜率k;(3)试问△AOB的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.分析:(1)由e==及b=1可求a.(2)设出AB的直线方程,代入椭圆方程,结合根与系数的关系及条件m·n=0,解出k值.(3)应分kAB不存在及kAB存在两种情况讨论求解.解:(1)∵2b=2,∴b=1,∴e===.∴a=2,c=.椭圆的方程为+x2=1.(2)由题意,设AB的方程为y=kx+,由整理得(k2+4)x2+2kx-1=0.∴x1+x2=,x1x2=.由已知m·n=0得:+=x1x2+(kx1+)(kx2+)=x1x2+k(x1+x2)+=+k·+=0.解得k=±.(3)①当直线AB斜率不存在时,即x1=x2,y1=-y2,由m·n=0得x-=0⇒y=4x.又A(x1,y1)在椭圆上,所以x+=1,∴|x1|=,|y1|=,S=|x1||y1-y2|=1=|x1|·2|y1|=1,所以三角形面积为定值.②当直线AB斜率存在时,设AB的方程为y=kx+b,代入+x2=1,得:(k2+4)x2+2kbx+b2-4=0.所以x1+x2=,x1x2=,x1x2+=0⇔x1x2+=0,代入整理得2b2-k2=4,∴S=·|AB|=|b|===1.所以△ABC的面积为定值.点评:本题是平面向量与解析几何的交汇题,综合考查了椭圆方程,离心率,定值等知识与方法,当直线位置不确定时,应注意分斜率存在与斜率不存在讨论.
(2)当函数g(t)在(0,+∞)上存在一个零点,另一个零点在(-∞,0)时,实数a应满足g(0)=a+1<0,解得a<-1.
(3)当函数g(t)的一个零点是0时,g(0)=a+1,a=-1,此时可求得函数g(t)的另一个零点是1,符合题目要求.综合
(1)
(2)(3)知a的取值范围是a≤2-2.
a≤2-2
8.连掷两次骰子得到的点数为m和n,记向量a=(m,n),与向量b=(1,-1)的夹角为θ,则θ∈(0,]的概率是________.
∵m>0,n>0,
∴a=(m,n)与b=(1,-1)不可能同向.
∴夹角θ≠0.∴θ∈(0,]⇔a·b≥0,∴m≥n.
当m=6时,n=6,5,4,3,2,1;
当m=5时,n=5,4,3,2,1;
当m=4时,n=4,3,2,1;
当m=3时,n=3,2,1;
当m=2时,n=2,1;
当m=1时,n=1;
∴概率是=.
9.当点M(x,y)在如图所示的△ABC内(含边界)运动时,目标函数z=kx+y取得最大值的一个最优解为(1,2).则实数k的取值范围是________.
如图,延长BC交y轴于点D,目标函数z=kx+y中z的几何意义是直线kx+y-z=0在y轴上的截距,由题意得当此直线经过点C(1,2)时,z取得最大值,显然此时直线kx+y-z=0与y轴的交点应该在点A和点D之间,而kAC==1,kBD=kBC==-1,直线kx+y-z=0的斜率为-k,所以-1≤-k≤1,解得k∈[-1,1].
[-1,1]
10.设F1、F2为椭圆+=1的两个焦点,P为椭圆上一点.已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点,且|PF1|>|PF2|,则的值为________.
若∠PF2F1=90°,
则|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2.
∵|PF1|+|PF2|=6,|F1F2|=2.
解得|PF1|=,|PF2|=.∴=.
若∠F1PF2=90°,则|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2=|PF1|2+(6-|PF1|)2.
解得|PF1|=4,|PF2|=2.∴=2.
综上,=或2.
或2
三、解答题:
本大题共2小题,共25分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
11.(12分)已知a>0,且a≠1,数列{an}的前n项和为Sn,它满足条件=1-.数列{bn}中,bn=an·lgan.
(1)求数列{bn}的前n项和Tn;
(2)若对一切n∈N*,都有bn分析:(1)本题从=1-可以得出Sn,进而由an和Sn的关系an=可求出数列{an}的通项,也就求出了{bn}的通项公式.(2)应注意分a>1和0解:(1)=1-,∴Sn=.当n=1时,a1=S1==a;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=an.∴an=an(n∈N*).此时,bn=an·lgan=n·anlga.∴Tn=b1+b2+…+bn=lga(a+2a2+3a3+…+nan).设un=a+2a2+3a3+…+nan,∴(1-a)un=a+a2+a3+…+an-nan+1=-nan+1.∴un=-.∴Tn=lga[-].(2)由bn①当a>1时,由lga>0,可得a>.∵<1(n∈N*),a>1,∴a>对一切n∈N*都成立,此时a的范围为a>1.②当0(n+1)a,即a<,即a∵≥,∴a<时,对一切n∈N*,a<都成立,此时,a的范围为0由①②知:对一切n∈N*,都有bn1.12.(13分)设A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆+=1(a>b>0)上两点.已知m=,n=,若m·n=0且椭圆的离心率e=,短轴长为2,O为坐标原点.(1)求椭圆的方程;(2)若直线AB过椭圆的焦点F(0,c)(c为半焦距),求直线AB的斜率k;(3)试问△AOB的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.分析:(1)由e==及b=1可求a.(2)设出AB的直线方程,代入椭圆方程,结合根与系数的关系及条件m·n=0,解出k值.(3)应分kAB不存在及kAB存在两种情况讨论求解.解:(1)∵2b=2,∴b=1,∴e===.∴a=2,c=.椭圆的方程为+x2=1.(2)由题意,设AB的方程为y=kx+,由整理得(k2+4)x2+2kx-1=0.∴x1+x2=,x1x2=.由已知m·n=0得:+=x1x2+(kx1+)(kx2+)=x1x2+k(x1+x2)+=+k·+=0.解得k=±.(3)①当直线AB斜率不存在时,即x1=x2,y1=-y2,由m·n=0得x-=0⇒y=4x.又A(x1,y1)在椭圆上,所以x+=1,∴|x1|=,|y1|=,S=|x1||y1-y2|=1=|x1|·2|y1|=1,所以三角形面积为定值.②当直线AB斜率存在时,设AB的方程为y=kx+b,代入+x2=1,得:(k2+4)x2+2kbx+b2-4=0.所以x1+x2=,x1x2=,x1x2+=0⇔x1x2+=0,代入整理得2b2-k2=4,∴S=·|AB|=|b|===1.所以△ABC的面积为定值.点评:本题是平面向量与解析几何的交汇题,综合考查了椭圆方程,离心率,定值等知识与方法,当直线位置不确定时,应注意分斜率存在与斜率不存在讨论.
分析:
(1)本题从=1-可以得出Sn,进而由an和Sn的关系an=可求出数列{an}的通项,也就求出了{bn}的通项公式.
(2)应注意分a>1和0解:(1)=1-,∴Sn=.当n=1时,a1=S1==a;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=an.∴an=an(n∈N*).此时,bn=an·lgan=n·anlga.∴Tn=b1+b2+…+bn=lga(a+2a2+3a3+…+nan).设un=a+2a2+3a3+…+nan,∴(1-a)un=a+a2+a3+…+an-nan+1=-nan+1.∴un=-.∴Tn=lga[-].(2)由bn①当a>1时,由lga>0,可得a>.∵<1(n∈N*),a>1,∴a>对一切n∈N*都成立,此时a的范围为a>1.②当0(n+1)a,即a<,即a∵≥,∴a<时,对一切n∈N*,a<都成立,此时,a的范围为0由①②知:对一切n∈N*,都有bn1.12.(13分)设A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆+=1(a>b>0)上两点.已知m=,n=,若m·n=0且椭圆的离心率e=,短轴长为2,O为坐标原点.(1)求椭圆的方程;(2)若直线AB过椭圆的焦点F(0,c)(c为半焦距),求直线AB的斜率k;(3)试问△AOB的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.分析:(1)由e==及b=1可求a.(2)设出AB的直线方程,代入椭圆方程,结合根与系数的关系及条件m·n=0,解出k值.(3)应分kAB不存在及kAB存在两种情况讨论求解.解:(1)∵2b=2,∴b=1,∴e===.∴a=2,c=.椭圆的方程为+x2=1.(2)由题意,设AB的方程为y=kx+,由整理得(k2+4)x2+2kx-1=0.∴x1+x2=,x1x2=.由已知m·n=0得:+=x1x2+(kx1+)(kx2+)=x1x2+k(x1+x2)+=+k·+=0.解得k=±.(3)①当直线AB斜率不存在时,即x1=x2,y1=-y2,由m·n=0得x-=0⇒y=4x.又A(x1,y1)在椭圆上,所以x+=1,∴|x1|=,|y1|=,S=|x1||y1-y2|=1=|x1|·2|y1|=1,所以三角形面积为定值.②当直线AB斜率存在时,设AB的方程为y=kx+b,代入+x2=1,得:(k2+4)x2+2kbx+b2-4=0.所以x1+x2=,x1x2=,x1x2+=0⇔x1x2+=0,代入整理得2b2-k2=4,∴S=·|AB|=|b|===1.所以△ABC的面积为定值.点评:本题是平面向量与解析几何的交汇题,综合考查了椭圆方程,离心率,定值等知识与方法,当直线位置不确定时,应注意分斜率存在与斜率不存在讨论.
解:
(1)=1-,∴Sn=.
当n=1时,a1=S1==a;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=an.
∴an=an(n∈N*).此时,bn=an·lgan=n·anlga.
∴Tn=b1+b2+…+bn=lga(a+2a2+3a3+…+nan).
设un=a+2a2+3a3+…+nan,∴(1-a)un=a+a2+a3+…+an-nan+1=-nan+1.
∴un=-.
∴Tn=lga[-].
(2)由bn①当a>1时,由lga>0,可得a>.∵<1(n∈N*),a>1,∴a>对一切n∈N*都成立,此时a的范围为a>1.②当0(n+1)a,即a<,即a∵≥,∴a<时,对一切n∈N*,a<都成立,此时,a的范围为0由①②知:对一切n∈N*,都有bn1.12.(13分)设A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆+=1(a>b>0)上两点.已知m=,n=,若m·n=0且椭圆的离心率e=,短轴长为2,O为坐标原点.(1)求椭圆的方程;(2)若直线AB过椭圆的焦点F(0,c)(c为半焦距),求直线AB的斜率k;(3)试问△AOB的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.分析:(1)由e==及b=1可求a.(2)设出AB的直线方程,代入椭圆方程,结合根与系数的关系及条件m·n=0,解出k值.(3)应分kAB不存在及kAB存在两种情况讨论求解.解:(1)∵2b=2,∴b=1,∴e===.∴a=2,c=.椭圆的方程为+x2=1.(2)由题意,设AB的方程为y=kx+,由整理得(k2+4)x2+2kx-1=0.∴x1+x2=,x1x2=.由已知m·n=0得:+=x1x2+(kx1+)(kx2+)=x1x2+k(x1+x2)+=+k·+=0.解得k=±.(3)①当直线AB斜率不存在时,即x1=x2,y1=-y2,由m·n=0得x-=0⇒y=4x.又A(x1,y1)在椭圆上,所以x+=1,∴|x1|=,|y1|=,S=|x1||y1-y2|=1=|x1|·2|y1|=1,所以三角形面积为定值.②当直线AB斜率存在时,设AB的方程为y=kx+b,代入+x2=1,得:(k2+4)x2+2kbx+b2-4=0.所以x1+x2=,x1x2=,x1x2+=0⇔x1x2+=0,代入整理得2b2-k2=4,∴S=·|AB|=|b|===1.所以△ABC的面积为定值.点评:本题是平面向量与解析几何的交汇题,综合考查了椭圆方程,离心率,定值等知识与方法,当直线位置不确定时,应注意分斜率存在与斜率不存在讨论.
①当a>1时,由lga>0,可得a>.
∵<1(n∈N*),a>1,∴a>对一切n∈N*都成立,此时a的范围为a>1.
②当0(n+1)a,即a<,即a∵≥,∴a<时,对一切n∈N*,a<都成立,此时,a的范围为0由①②知:对一切n∈N*,都有bn1.12.(13分)设A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆+=1(a>b>0)上两点.已知m=,n=,若m·n=0且椭圆的离心率e=,短轴长为2,O为坐标原点.(1)求椭圆的方程;(2)若直线AB过椭圆的焦点F(0,c)(c为半焦距),求直线AB的斜率k;(3)试问△AOB的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.分析:(1)由e==及b=1可求a.(2)设出AB的直线方程,代入椭圆方程,结合根与系数的关系及条件m·n=0,解出k值.(3)应分kAB不存在及kAB存在两种情况讨论求解.解:(1)∵2b=2,∴b=1,∴e===.∴a=2,c=.椭圆的方程为+x2=1.(2)由题意,设AB的方程为y=kx+,由整理得(k2+4)x2+2kx-1=0.∴x1+x2=,x1x2=.由已知m·n=0得:+=x1x2+(kx1+)(kx2+)=x1x2+k(x1+x2)+=+k·+=0.解得k=±.(3)①当直线AB斜率不存在时,即x1=x2,y1=-y2,由m·n=0得x-=0⇒y=4x.又A(x1,y1)在椭圆上,所以x+=1,∴|x1|=,|y1|=,S=|x1||y1-y2|=1=|x1|·2|y1|=1,所以三角形面积为定值.②当直线AB斜率存在时,设AB的方程为y=kx+b,代入+x2=1,得:(k2+4)x2+2kbx+b2-4=0.所以x1+x2=,x1x2=,x1x2+=0⇔x1x2+=0,代入整理得2b2-k2=4,∴S=·|AB|=|b|===1.所以△ABC的面积为定值.点评:本题是平面向量与解析几何的交汇题,综合考查了椭圆方程,离心率,定值等知识与方法,当直线位置不确定时,应注意分斜率存在与斜率不存在讨论.
∵≥,∴a<时,对一切n∈N*,a<都成立,此时,a的范围为0由①②知:对一切n∈N*,都有bn1.12.(13分)设A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆+=1(a>b>0)上两点.已知m=,n=,若m·n=0且椭圆的离心率e=,短轴长为2,O为坐标原点.(1)求椭圆的方程;(2)若直线AB过椭圆的焦点F(0,c)(c为半焦距),求直线AB的斜率k;(3)试问△AOB的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.分析:(1)由e==及b=1可求a.(2)设出AB的直线方程,代入椭圆方程,结合根与系数的关系及条件m·n=0,解出k值.(3)应分kAB不存在及kAB存在两种情况讨论求解.解:(1)∵2b=2,∴b=1,∴e===.∴a=2,c=.椭圆的方程为+x2=1.(2)由题意,设AB的方程为y=kx+,由整理得(k2+4)x2+2kx-1=0.∴x1+x2=,x1x2=.由已知m·n=0得:+=x1x2+(kx1+)(kx2+)=x1x2+k(x1+x2)+=+k·+=0.解得k=±.(3)①当直线AB斜率不存在时,即x1=x2,y1=-y2,由m·n=0得x-=0⇒y=4x.又A(x1,y1)在椭圆上,所以x+=1,∴|x1|=,|y1|=,S=|x1||y1-y2|=1=|x1|·2|y1|=1,所以三角形面积为定值.②当直线AB斜率存在时,设AB的方程为y=kx+b,代入+x2=1,得:(k2+4)x2+2kbx+b2-4=0.所以x1+x2=,x1x2=,x1x2+=0⇔x1x2+=0,代入整理得2b2-k2=4,∴S=·|AB|=|b|===1.所以△ABC的面积为定值.点评:本题是平面向量与解析几何的交汇题,综合考查了椭圆方程,离心率,定值等知识与方法,当直线位置不确定时,应注意分斜率存在与斜率不存在讨论.
由①②知:
对一切n∈N*,都有bn1.
12.(13分)设A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆+=1(a>b>0)上两点.已知m=,n=,若m·n=0且椭圆的离心率e=,短轴长为2,O为坐标原点.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线AB过椭圆的焦点F(0,c)(c为半焦距),求直线AB的斜率k;
(3)试问△AOB的面积是否为定值?
如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.
(1)由e==及b=1可求a.
(2)设出AB的直线方程,代入椭圆方程,结合根与系数的关系及条件m·n=0,解出k值.(3)应分kAB不存在及kAB存在两种情况讨论求解.
(1)∵2b=2,∴b=1,∴e===.
∴a=2,c=.椭圆的方程为+x2=1.
(2)由题意,设AB的方程为y=kx+,
由整理得(k2+4)x2+2kx-1=0.
∴x1+x2=,x1x2=.
由已知m·n=0得:
+=x1x2+(kx1+)(kx2+)
=x1x2+k(x1+x2)+
=+k·+=0.解得k=±.
(3)①当直线AB斜率不存在时,即x1=x2,
y1=-y2,由m·n=0得x-=0⇒y=4x.
又A(x1,y1)在椭圆上,所以x+=1,
∴|x1|=,|y1|=,S=|x1||y1-y2|=1=|x1|·2|y1|=1,所以三角形面积为定值.
②当直线AB斜率存在时,设AB的方程为y=kx+b,代入+x2=1,得:
(k2+4)x2+2kbx+b2-4=0.所以x1+x2=,x1x2=,x1x2+=0⇔x1x2+=0,代入整理得2b2-k2=4,
∴S=·|AB|=|b|===1.
所以△ABC的面积为定值.
本题是平面向量与解析几何的交汇题,综合考查了椭圆方程,离心率,定值等知识与方法,当直线位置不确定时,应注意分斜率存在与斜率不存在讨论.
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