届高考数学集合与常用逻辑用语13全称量词与存在量词逻辑联结词且或非学案理北师大版.docx

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届高考数学集合与常用逻辑用语13全称量词与存在量词逻辑联结词且或非学案理北师大版

§1.3　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

最新考纲

考情考向分析

1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．

2.理解全称量词和存在量词的意义．

3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

逻辑联结词和含有一个量词的命题的否定是高考的重点；命题的真假判断常以函数、不等式为载体，考查学生的推理判断能力，题型为选择、填空题，低档难度.

1．全称量词与存在量词

（1）常见的全称量词有“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”等．

（2）常见的存在量词有“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”等．

2．全称命题与特称命题

（1）含有全称量词的命题叫全称命题．

（2）含有存在量词的命题叫特称命题．

3．命题的否定

（1）全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．

（2）p或q的否定：

非p且非q；p且q的否定：

非p或非q.

4．简单的逻辑联结词

（1）命题中的“且”、“或”、“非”叫作逻辑联结词．

（2）简单复合命题的真值表：

p

q

綈p

綈q

p或q

p且q

真

真

假

假

真

真

真

假

假

真

真

假

假

真

真

假

真

假

假

假

真

真

假

假

知识拓展

1．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律

（1）p或q：

p，q中有一个为真，则p或q为真，即有真为真．

（2）p且q：

p，q中有一个为假，则p且q为假，即有假即假．

（3）綈p：

与p的真假相反，即一真一假，真假相反．

2．含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．

3．命题的否定和否命题的区别：

命题“若p，则q”的否定是“若p，则綈q”，否命题是“若綈p，则綈q”．

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）命题“3≥2”是真命题．（　√　）

（2）命题p和綈p不可能都是真命题．（　√　）

（3）若命题p，q中至少有一个是真命题，则p或q是真命题．（　√　）

（4）“全等三角形的面积相等”是特称命题．（　×　）

（5）命题綈（p且q）是假命题，则命题p，q中至少有一个是真命题．（　×　）

题组二　教材改编

2．已知p：

2是偶数，q：

2是质数，则命题綈p，綈q，p或q，p且q中真命题的个数为（　　）

A．1B．2

C．3D．4

答案　B

解析　p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p或q，p且q都是真命题．

3．命题“正方形都是矩形”的否定是____________________________________．

答案　存在一个正方形，这个正方形不是矩形

题组三　易错自纠

4．已知命题p，q，“綈p为真”是“p且q为假”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

答案　A

解析　由綈p为真知，p为假，可得p且q为假；反之，若p且q为假，则可能是p真q假，从而綈p为假，故“綈p为真”是“p且q为假”的充分不必要条件，故选A.

5．（2017·贵阳调研）下列命题中的假命题是（　　）

A．存在x∈R，lgx＝1B．存在x∈R，sinx＝0

C．任意x∈R，x3＞0D．任意x∈R,2x＞0

答案　C

解析　当x＝10时，lg10＝1，则A为真命题；

当x＝0时，sin0＝0，则B为真命题；

当x＜0时，x3＜0，则C为假命题；

由指数函数的性质知，任意x∈R,2x＞0，则D为真命题．

故选C.

6．已知命题p：

任意x∈R，x2－a≥0；命题p：

存在x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围为__________．

答案　（－∞，－2]

解析　由已知条件可知p和q均为真命题，由命题p为真得a≤0，由命题q为真得Δ＝4a2－4（2－a）≥0，即a≤－2或a≥1，所以a≤－2.

题型一　含有逻辑联结词的命题的真假判断

1．（2018·济南调研）设a，b，c是非零向量．已知命题p：

若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：

若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中的真命题是（　　）

A．p或qB．p且q

C．（綈p）且（綈q）D．p或（綈q）

答案　A

解析　如图所示，

若a＝，b＝，c＝，则a·c≠0，命题p为假命题；显然命题q为真命题，所以p或q为真命题．故选A.

2．（2017·山东）已知命题p：

任意x＞0，ln（x＋1）＞0；命题q：

若a＞b，则a2＞b2.下列命题为真命题的是（　　）

A．p且qB．p且（綈q）

C．（綈p）且qD．（綈p）且（綈q）

答案　B

解析　∵x＞0，∴x＋1＞1，∴ln（x＋1）＞ln1＝0.

∴命题p为真命题，∴綈p为假命题．

∵a＞b，取a＝1，b＝－2，而12＝1，（－2）2＝4，

此时a2＜b2，

∴命题q为假命题，∴綈q为真命题．

∴p且q为假命题，p且（綈q）为真命题，（綈p）且q为假命题，（綈p）且（綈q）为假命题．故选B.

3．已知命题p：

若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q：

在空间中，对于三条不同的直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.对以上两个命题，有以下命题：

①p且q为真；②p或q为假；③p或q为真；④（綈p）或（綈q）为假．

其中，正确的是________．（填序号）

答案　②

解析　命题p是假命题，这是因为α与γ也可能相交；命题q也是假命题，这两条直线也可能异面，相交．

思维升华“p或q”“p且q”“綈p”等形式命题真假的判断步骤

（1）确定命题的构成形式；

（2）判断其中命题p，q的真假；

（3）确定“p且q”“p或q”“綈p”等形式命题的真假．

题型二　含有一个量词的命题

命题点1　全称命题、特称命题的真假

典例下列四个命题：

p1：

存在x∈（0，＋∞），x＜x；

p2：

存在x∈（0,1），x＞x；

p3：

任意x∈（0，＋∞），x＞x；

p4：

任意x∈，x＜x.

其中真命题是（　　）

A．p1，p3B．p1，p4

C．p2，p3D．p2，p4

答案　D

解析　对于p1，当x∈（0，＋∞）时，总有x＞x成立，故p1是假命题；

对于p2，当x＝时，有1＝＝＞成立，故p2是真命题；

对于p3，结合指数函数y＝x与对数函数y＝x在（0，＋∞）上的图像，可以判断p3是假命题；

对于p4，结合指数函数y＝x与对数函数y＝x在上的图像，可以判断p4是真命题．

命题点2　含一个量词的命题的否定

典例

（1）命题“任意x∈R，x＞0”的否定是（　　）

A．存在x∈R，x＜0B．任意x∈R，x≤0

C．任意x∈R，x＜0D．存在x∈R，x≤0

答案　D

解析　全称命题的否定是特称命题，“>”的否定是“≤”．

（2）（2017·河北五个一名校联考）命题“存在x∈R,1＜f（x）≤2”的否定形式是（　　）

A．任意x∈R,1＜f（x）≤2

B．存在x∈R,1＜f（x）≤2

C．存在x∈R，f（x）≤1或f（x）＞2

D．任意x∈R，f（x）≤1或f（x）＞2

答案　D

解析　特称命题的否定是全称命题，原命题的否定形式为“任意x∈R，f（x）≤1或f（x）＞2”．

思维升华

（1）判定全称命题“任意x∈M，p（x）”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p（x）成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x，使p（x）成立．

（2）对全（特）称命题进行否定的方法

①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词；

②对原命题的结论进行否定．

跟踪训练

（1）下列命题是假命题的是（　　）

A．存在α，β∈R，使cos（α＋β）＝cosα＋cosβ

B．任意φ∈R，函数f（x）＝sin（2x＋φ）都不是偶函数

C．存在x∈R，使x3＋ax2＋bx＋c＝0（a，b，c∈R且为常数）

D．任意a>0，函数f（x）＝ln2x＋lnx－a有零点

答案　B

解析　取α＝，β＝－，cos（α＋β）＝cosα＋cosβ，

A正确；

取φ＝，函数f（x）＝sin＝cos2x是偶函数，B错误；

对于三次函数y＝f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，当x→－∞时，y→－∞，当x→＋∞时，y→＋∞，又f（x）在R上为连续函数，故存在x∈R，使x3＋ax2＋bx＋c＝0，C正确；

当f（x）＝0时，ln2x＋lnx－a＝0，则有a＝ln2x＋lnx＝2－≥－，所以任意a>0，函数f（x）＝ln2x＋lnx－a有零点，D正确，综上可知，选B.

（2）（2017·福州质检）已知命题p：

“存在x∈R，ex－x－1≤0”，则綈p为（　　）

A．存在x∈R，ex－x－1≥0

B．存在x∈R，ex－x－1>0

C．任意x∈R，ex－x－1>0

D．任意x∈R，ex－x－1≥0

答案　C

解析　根据全称命题与特称命题的否定关系，可得綈p为“任意x∈R，ex－x－1>0”，故选C.

题型三　含参命题中参数的取值范围

典例

（1）已知命题p：

关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：

关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞）上是增函数，若p且q是真命题，则实数a的取值范围是________________．

答案　[－12，－4]∪[4，＋∞）

解析　若命题p是真命题，则Δ＝a2－16≥0，

即a≤－4或a≥4；若命题q是真命题，

则－≤3，即a≥－12.

∵p且q是真命题，∴p，q均为真，

∴a的取值范围是[－12，－4]∪[4，＋∞）．

（2）已知f（x）＝ln（x2＋1），g（x）＝x－m，若对任意x1∈[0,3]，存在x2∈[1,2]，使得f（x1）≥g（x2），则实数m的取值范围是________________．

答案　

解析　当x∈[0,3]时，f（x）min＝f（0）＝0，当x∈[1,2]时，

g（x）min＝g

（2）＝－m，由f（x）min≥g（x）min，

得0≥－m，所以m≥.

引申探究

本例

（2）中，若将“存在x2∈[1,2]”改为“任意x2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是________________．

答案　

解析　当x∈[1,2]时，g（x）max＝g

（1）＝－m，

由f（x）min≥g（x）max，得0≥－m，

∴m≥.

思维升华

（1）已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假，利用集合的运算求解参数的取值范围．

（2）对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域（或最值）解决．

跟踪训练

（1）已知命题“存在x∈R，使2x2＋（a－1）x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围是（　　）

A．（－∞，－1）B．（－1,3）

C．（－3，＋∞）D．（－3,1）

答案　B

解析　原命题的否定为任意x∈R,2x2＋（a－1）x＋＞0，由题意知，其为真命题，即Δ＝（a－1）2－4×2×＜0，则－2＜a－1＜2，即－1＜a＜3.

（2）（2017·洛阳模拟）已知p：

任意x∈，2x

函数f（x）＝4x＋2x＋1＋m－1存在零点，若“p且q”为真命题，则实数m的取值范围是__________．

答案　

解析　由2x，

又x∈时，max＝，

故当p为真时，m>；

函数f（x）＝4x＋2x＋1＋m－1＝（2x＋1）2＋m－2，

令f（x）＝0，得2x＝－1，

若f（x）存在零点，

则－1>0，解