高中数学 131二项式定理课后训练 新人教A版选修23.docx

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高中数学131二项式定理课后训练新人教A版选修23

2019-2020年高中数学1.3.1二项式定理课后训练新人教A版选修2-3

1.若展开式的第4项为含x3的项,则n等于（　　）

A.8B.9C.10D.11

解析:

展开式的通项是Tk+1=·xn-k··（-1）k·xn-2k,k∈{0,1,2,…,n},

因为当k+1=4时,n-2k=3,所以n=9.

答案:

B

2.化简多项式（2x+1）5-5（2x+1）4+10（2x+1）3-10（2x+1）2+5（2x+1）-1的结果是（　　）

A.（2x+2）5B.2x5C.（2x-1）5D.32x5

解析:

原式=[（2x+1）-1]5=（2x）5=32x5.

答案:

D

3.的展开式中含x的负整数指数幂的项数是（　　）

A.0B.2C.4D.6

解析:

展开式的通项是Tr+1=,由0≤r≤10,且为负整数,得r=4,6,8,10,即有4项含x的负整数指数幂.

答案:

C

4.对于二项式（n∈N*）,有以下四种判断:

①存在n∈N*,展开式中有常数项;②对任意n∈N*,展开式中没有常数项;③对任意n∈N*,展开式中没有x的一次项;④存在n∈N*,展开式中有x的一次项.

其中正确的是（　　）

A.①与③B.②与③

C.②与④D.①与④

解析:

二项式的展开式的通项为Tk+1=x4k-n,由通项公式可知,当n=4k（k∈N*）和n=4k-1（k∈N*）时,展开式中分别存在常数项和一次项.

答案:

D

5.（xx湖北高考）若二项式的展开式中的系数是84,则实数a等于（　　）

A.2B.C.1D.

解析:

二项式通项Tr+1=（2x）7-r（ax-1）r=27-rarx7-2r.

由题意知7-2r=-3,则r=5.

令22a5=84,解得a=1.

答案:

C

6.（a+x）5展开式中x2的系数为10,则实数a的值为　　　. 

解析:

二项展开式的通项是Tk+1=a5-kxk,所以T3=a3x2=10a3x2.所以10a3=10,解得a=1.

答案:

1

7.已知的展开式中x3的系数为,则常数a的值为　　　　. 

解析:

展开式的通项是Tr+1=a9-r·（-1）r·,令r-9=3,得r=8.

依题意,得（-1）8×2-4·a9-8=,解得a=4.

答案:

4

8.233除以9的余数是　　　. 

解析:

233=811=（9-1）11=×911-×910+×99-…+×9-,

除最后一项-1外,其余各项都能被9整除,故余数为9-1=8.

答案:

8

9.已知在的展开式中,第5项的系数与第3项的系数之比为56∶3,求展开式中的常数项.

解:

T5=）n-4·24x-8=16,T3=）n-2·22x-4=4.

由题意知,,

解得n=10.

Tk+1=）10-k·2kx-2k=2k,令5-=0,解得k=2,

∴展开式中的常数项为×22=180.

10.求的展开式中x2y2的系数.

解:

设的第r+1项中含有x2y2,则Tr+1=·（-1）r·,

因此8-r-=2,r-=2,即r=4.

故x2y2的系数为×（-1）4==70.

11.已知在的展开式中,第9项为常数项,求:

（1）n的值;

（2）展开式中x5的系数;

（3）含x的整数次幂的项的项数.

解:

已知二项展开式的通项

Tk+1==（-1）k.

（1）因为第9项为常数项,即当k=8时,2n-k=0,解得n=10.

（2）令2n-k=5,

得k=（2n-5）=6,

所以x5的系数为（-1）6×.

（3）要使2n-k为整数,即为整数,只需k为偶数,由于k=0,1,2,3,…,9,10,故符合要求的有6项,分别为展开式的第1,3,5,7,9,11项.

1.　　　　　　　　　　　　　　　　　　

在（1-x3）（1+x）10的展开式中,x5的系数是（　　）

A.-297B.-252C.297D.207

解析:

（1-x3）（1+x）10=（1+x）10-x3（1+x）10展开式中含x5的项的系数为=207.

答案:

D

2.1-2+4-8+…+（-2）n等于（　　）

A.1B.-1C.（-1）nD.3n

解析:

逆用二项式定理,将1看成公式中的a,-2看成公式中的b,可得原式=（1-2）n=（-1）n.

答案:

C

3.（xx湖南高考）的展开式中x2y3的系数是（　　）

A.-20B.-5C.5D.20

解析:

由已知,得

Tr+1=（-2y）r=（-2）rx5-ryr（0≤r≤5,r∈Z）,

令r=3,得T4=（-2）3x2y3=-20x2y3.

答案:

A

4.（xx四川高考）在x（1+x）6的展开式中,含x3项的系数为（　　）

A.30B.20C.15D.10

解析:

含x3的项是由（1+x）6展开式中含x2的项与x相乘得到的,又（1+x）6展开式中含x2的项的系数为=15,故含x3项的系数是15.

答案:

C

5.若（1+2x）6的展开式中的第2项大于它的相邻两项,则x的取值范围是　　　. 

解析:

由解得

答案:

6.设m为大于1且小于10的正整数,若的展开式中有不含x的项,满足这样条件的m有　　　个. 

解析:

的展开式的通项为

Tr+1=·（x3）m-r·=（-1）r··x3m-5r.

因为展开式中有不含x的项,

所以有3m-5r=0,

即3m=5r.

又1

且m∈N*,r∈N,

所以满足条件的m只有m=5.

答案:

1

7.（xx安徽高考）设a≠0,n是大于1的自然数,的展开式为a0+a1x+a2x2+…+anxn.若点Ai（i,ai）（i=0,1,2）的位置如图所示,则a=　　　　　. 

解析:

由题意得a1==3,

∴n=3a;

a2==4,

∴n2-n=8a2.

将n=3a代入n2-n=8a2得9a2-3a=8a2,即a2-3a=0,解得a=3或a=0（舍去）.

∴a=3.

答案:

3

8.已知的展开式中,第4项的二项式系数是倒数第2项的二项式系数的7倍,求展开式中x的一次项.

解:

依题意=7,整理可得（n-1）（n-2）=6×7,因为n>0,所以n=8.设展开式中含x的项是第k+1项,则Tk+1=）8-k=（-2）k.所以=1,解得k=2.故展开式中含x的项为第3项,即T3=（-2）2x=112x.

9.（xx山东高考改编）若的展开式中x3项的系数为20,求a2+b2的最小值.

解:

的展开式的通项为Tr+1=（ax2）6-r·a6-rbrx12-3r,令12-3r=3,得r=3,由a6-3b3=20得ab=1,所以a2+b2≥2ab=2,故a2+b2的最小值为2.

10.

（1）求（x2-x+1）（1+x）8展开式中x4项的系数;

（2）求（1-x）5（1-2x）6展开式中x3项的系数.

解:

（1）（1+x）8展开式中x2,x3,x4的系数分别为,（1+x）8与（x2-x+1）相乘后,

得x4项的系数为=42.

（2）（1-x）5的展开式中,x0,x1,x2,x3项的系数分别为,-,-,

（1-2x）6的展开式中,x0,x1,x2,x3项的系数依次为,（-2）,（-2）2,（-2）3,

因此,（1-x）5（1-2x）6的展开式中,x3项的系数是

·（-2）3·+（-）·（-2）2··（-2）·+（-）·=-590.

11.已知f（x）=（1+2x）m+（1+4x）n（m,n∈N*）的展开式中含x项的系数为36,求展开式中含x2项的系数的最小值.

解:

（1+2x）m+（1+4x）n展开式中含x的项为·2x+·4x=（2+4）x,

∴2+4=36,即m+2n=18.

（1+2x）m+（1+4x）n展开式中含x2的项的系数为t=22+42=2m2-2m+8n2-8n.

∵m+2n=18,

∴m=18-2n.

∴t=2（18-2n）2-2（18-2n）+8n2-8n

=16n2-148n+612=16,

∴当n=时,t取最小值,但n∈N*,

∴当n=5时,t即x2项的系数最小,最小值为272.

2019-2020年高中数学1.3.1二项式定理课时作业新人教A版选修2-3

一、选择题

1．在（x－）10的二项展开式中，x4的系数为（　　）

A．－120　B．120　　

C．－15　D．15

[答案]　C

[解析]　Tr＋1＝Cx10－r（－）r＝（－）r·Cx10－2r

令10－2r＝4，则r＝3.

∴x4的系数为（－）3C＝－15.

2．在（－）6的二项展开式中，x2的系数为（　　）

A．－B．

C．－D．

[答案]　C

[解析]　∵Tr＋1＝C（）6－r·（－）r

＝C（－1）r22r－6x3－r（r＝0,1,2，…，6），

令3－r＝2得r＝1.

∴x2的系数为C（－1）1·2－4＝－，故选C．

3．（xx·湖北理，3）已知（1＋x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（　　）

A．29B．210

C．211D．212

[答案]　A

[解析]　由题意可得，二项式的展开式满足Tr＋1＝Cxr，且有C＝C，因此n＝10.令x＝1，则（1＋x）n＝210，即展开式中所有项的二项式系数和为210；令x＝－1，则（1＋x）n＝0，即展开式中奇数项的二项式系数与偶数项的二项式系数之差为0，因此奇数项的二项式系数和为（210＋0）＝29.故本题正确答案为A．

4．（xx·湖南理，4）（x－2y）5的展开式中x2y3的系数是（　　）

A．－20B．－5

C．5D．20

[答案]　A

[解析]　展开式的通项公式为Tr＋1＝C（x）5－r·（－2y）r＝（）5－r·（－2）rCx5－ryr.

当r＝3时为T4＝（）2（－2）3Cx2y3＝－20x2y3，故选A．

5．（xx·辽宁理，7）使（3x＋）n（n∈N＋）的展开式中含有常数项的最小的n为（　　）

A．4　　　B．5　　

C．6　　　D．7

[答案]　B

[解析]　由二项式的通项公式得Tr＋1＝C3n－rxn－r，若展开式中含有常数项，则n－r＝0，即n＝r，所以n最小值为5.选B．

6．在（1－x3）（1＋x）10的展开式中x5的系数是（　　）

A．－297B．－252

C．297D．207

[答案]　D

[解析]　x5应是（1＋x）10中含x5项与含x2项．

∴其系数为C＋C（－1）＝207.

二、填空题

7．（xx·重庆理，12）5的展开式中x8的系数是________（用数字作答）．

[答案]　

[解析]　由二项式定理得Tr＋1＝C（x3）5－r（）r＝C（）rx15－

令15－＝8时，易得r＝2，故x8系数为C（）2＝.

8．（xx·景德镇市高二质检）设a＝sinxdx，则二项式（a－）6的展开式中的常数项等于________.

[答案]　－160

[解析]　a＝sinxdx＝（－cosx）|＝2，二项式（2－）6展开式的通项为Tr＋1＝C

（2）6－r·（－）r＝（－1）r·26－r·Cx3－r，令3－r＝0得，r＝3，∴常数项为（－1）3·23·C＝－160.

9．已知（1＋x）＋（1＋x）2＋…＋（1＋x）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn（n∈N*），若a0＋a1＋…＋an＝30，则n等于________.

[答案]　4

[解析]　令x＝1得a0＋a1＋…＋an＝2＋22＋…＋2n＝30得n＝4.

三、解答题

10．求二项式（a＋2b）4的展开式．

[解析]　根据二项式定理

（a＋b）n＝Can＋Can－1b＋…＋Ca