完整版小学奥数周期问题教师版.docx
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完整版小学奥数周期问题教师版
知识点说明
周期问题：
周期现象：
事物在运动变化过程中，某些特征有规律循环出现；周期：
我们把连续两次出现所经过的时间叫周期；解决有关周期性问题的关键是确定循环周期
分类：
1•图形中的周期问题；
2.数列中的周期问题；
3•年月日中的周期问题.
周期性问题的基本解题思路是：
首先要正确理解题意，从中找准变化的规律，利用这些规律作为解题
的依据；其次要确定解题的突破口。
主要方法有观察法、逆推法、经验法等。
主要问题有年月日、星期几问题等。
⑴观察、逆推等方法找规律，找出周期•确定周期后，用总量除以周期，如果正好有整数个周期，
结果就为周期里的最后一个；
例如：
1,2,1,2,1,2，…那么第18个数是多少？
这个数列的周期是2,1829，所以第18个数是2.
⑵如果比整数个周期多n个，那么为下个周期里的第n个；
例如：
1,2,3,1,2,3,1,2,3，…那么第16个数是多少？
这个数列的周期是3,16351，所以第16个数是1.
⑶如果不是从第一个开始循环，可以从总量里减掉不是循环的个数后，再继续算.
例如：
1,2,3,2,3,2,3，…那么第16个数是多少？
这个数列从第二个数开始循环，周期是2,（161）271，所以第16个数是2.
板块一、图形中的周期问题
例1】小兔和小松鼠做游戏，他们把黑、白两色小球按下面的规律排列：
••o”o”o…
你知道它们所排列的这些小球中，第90个是什么球？
第100个又是什么球呢？
解析】仔细观察图中球的排列，不难发现球的排列规律是：
2个黑球，1个白球；2个黑球，1个白球；……
也就是按“2个黑球，1个白球”的顺序循环出现，因此，这道题的周期为3（2个黑球，1个白
球）．再看看90、100里包含有几个这样的周期，若正好有整数个周期，结果为周期里的最后一个，若是有整数个周期多几个，结果就为下一个周期里的第几个．因为90330，正好有30个
周期，第90个是白球.100333-1，有33个周期还多1个，所以，第100个是黑球.
巩固】美美有黑珠、白珠共102个，她想把它们做成一个链子挂在自己的床头上，她是按下面的顺序
排列的：
o・ooo・ooo・ooo……
那么你知道这串珠子中，最后一个珠子应是什么颜色吗？
美美怕这种颜色的珠子数量不够，你能帮她算出这种颜色在这串珠子中共有多少个吗？
解析】观察可以发现，这串珠子是按“一白、一黑、二白”4个珠子组成一组，并且不断重复出现的．我们先算出102个珠子可以这样排列成多少组，还余多少．我们可以根据排列周期判断出最后一个
珠子的颜色，还可以求出有多少个这样的珠子•因为102425…2，所以最后一个珠子是第26
个周期中的第二个，即为黑色．在每一个周期中只有1个黑珠子，所以黑色珠子在这串珠子中共有25126（个）
【例2】小倩有一串彩色珠子，按红、黄、蓝、绿、白五种颜色排列.
⑴第73颗是什么颜色的？
⑵第10颗黄珠子是从头起第几颗？
⑶第8颗红珠子与第11颗红珠子之间（不包括这两颗红珠子）共有几颗珠子？
【解析】⑴这些珠子是按红、黄、蓝、绿、白的顺序排列，每一组有5颗.73514（组）••…3（颗），第73
颗是第15组的第3颗，所以是蓝色的.
⑵第10颗黄珠子前面有完整的9组，一共有5945（颗）珠子.第10颗黄珠子是第10组的第2颗，所以它是从头数的第47颗.列式：
59245247（颗）
⑶第8颗红珠子与第11颗红珠子之间一共有14颗珠子.第8颗红珠子与第11颗红珠子之间有
完整的两组（第9、10组），共l0颗珠子，第8颗红珠子后面还有4颗珠子，所以是14颗.列式：
52410414（颗）.
巩固】奥运会就要到了，京京特意做了一些“北京欢迎你”的条幅，这些条幅连起来就成了：
“北京欢
迎你北京欢迎你北京欢迎你”依次排列，第28个字是什么字？
【解析】这道题是按“北京欢迎你”的规律重复排列，即5个字为一个周期•因为2855-3,所以28
个字里含有5个周期还多3个字，即第28个字就是所列一个周期中的第3个字，所以第28个字是“欢”字．
巩固】节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯．也就是说，从第一盏白灯起，每一盏白灯后面都紧接着有3盏彩灯．那么第73盏灯是什么颜色的灯？
解析】从第一盏白灯开始，每隔三盏彩灯就又出现一盏白灯，不难看出白灯的编号依次是：
1，5，9，13，--，这些编号被4除所得的余数都是1．734181，即73被4除的余数是1，因此第73盏灯是白灯．
例3】节日的夜景真漂亮，街上的彩灯按照5盏红灯、再接4盏蓝灯、再接1盏黄灯，然后又是5盏红灯、4盏蓝灯、1盏黄灯、--这样排下去．问：
⑴第150盏灯是什么颜色？
⑵前200盏彩灯中有多少盏蓝灯？
解析】⑴街上的彩灯按照5盏红灯、再接4盏蓝灯、再接1盏黄灯，这样一个周期变化的，实际上一个周期就是54110（盏）灯．150（541）15，150盏灯刚好15个周期，所以第150盏应该是这个周期的最后一盏，是黄色的灯．
⑵如果是200盏灯，就是200（541）20的周期．每个周期都有4盏蓝灯，20480（盏）前200盏彩灯中有80盏蓝灯．
巩固】在一根绳子上依次穿2个红珠、2个白珠、5个黑珠，并按此方式反复，如果从头开始数，直到第50颗，那么其中白珠有多少颗？
解析】50（225）5-5．52212（个）．
巩固】小莉把平时积存下来的200枚硬币按3个1分，2个2分，1个5分的顺序排列起来．
⑴最后1枚是几分硬币
⑵这200枚硬币一共价值多少钱？
解析】⑴每个周期有3216枚硬币，要求最后一枚，用这个数除以6，根据余数来判断
200633--2，所以最后一枚是1分硬币
⑵每个周期中6枚硬币共价值13221512（分），用这个数乘以周期次数再加上余下的，
就可以得到一共价值多少了12332398（分），所以，这200枚硬币一共价值398分.
【巩固】桌子上摆了很多硬币，按一个一角，两个五角，三个一元的次序排列，一共19枚硬币•问：
最
后一个是多少钱的？
第十四个是多少钱的？
【解析】1963・T,1462…2,所以第19枚硬币是一角的，第14枚硬币是五角的.
【巩固】有249朵花，按5朵红花，9朵黄花，13朵绿花的顺序轮流排列，最后一朵是什么颜色的花？
这249朵花中，什么花最多，什么花最少？
最少的花比最多的花少几朵？
【解析】这些花按5红、9黄、13绿的顺序轮流排列，它的一个周期内有591327（朵）花.因为
249279……6,所以，这249朵花中含有9个周期还余下6朵花•按花的排列规律，这6朵
花中前5朵应是红花，最后一朵应是黄花•在这一个周期里，绿花最多，红花最少，所以在249
朵花中，自然也是绿花最多，红花最少.少几朵呢？
有两种解法：
（方法1）249（5913）9……6
红花有：
59550（朵）绿花有：
139117（朵）红花比绿花少：
1175067（朵）
（方法2）249（5913）9••…6,—个周期少的：
1358（朵），9872（朵），余下的6
朵中还有5朵红花，所以72567（朵）•
【例4】如图所示，每列上、下两个字（字母）组成一组，例如，第一组是“我，A”，第二组是“们，
我
们
爱
科
学
我
们
爱
科
学
我
A
B
C
D
E
F
G
A
B
C
D
⑴写出第62组是什么？
⑵如果“爱，C”代表1991年，那么“科，D”代表1992年……问2008年对应怎样的组？
【解析】
（1）要求第62组是什么数，我们要分别求出上、下两行是什么字（字母），上面一行是以“我
们爱科学”五个字为一个周期，下面一行则是以“ABCDEFG”七个字母为一个周期
62512••…2,6278……6，所以第62组是“们，F”
⑵2008是1991之后的第17组，现在上面一行按“科学我们爱”五个字为一个周期，下面一行则
按“DEFGABC”七个字母为一个周期：
2008199117（组），1753••…2
1772••…3，所以2008年对应的组为“学，F”.
【巩固】在图所示的表中，将每列上、下两个字组成一组，例如第一组为（新奥），第二组为（北林），
那么第50组是什么？
新北京新奥运新北京新奥运新北京新奥运……
奥林匹克运动会奥林匹克运动会奥林匹克运动会……
【解析】要知道第50组是哪两个数，我们首先要弄清楚第一行和第二行的第50个字分别应该是什么•第
一行“新北京新奥运”是6个字一个周期，5068…2,第50个字就是北•再看第二行“奥林
匹克运动会”是7个字一个周期，5077・T,第50个字就是奥.把第一行和第二行合在一起，第50组就是“北奥”.
【例5】如右图，是一片刚刚收割过的稻田，每个小正方形的边长是1米，A、B、C三点周围的阴影部
分是圆形的水洼。
一只小鸟飞来飞去，四处觅食，它最初停留在0号位，过了一会儿，它跃过
水洼，飞到关于A点对称的1号位；不久，它又飞到关于B点对称的2号位；接着，它飞到关
于C点对称的3号位，再飞到关于A点对称的4号位，……，如此继续，一直对称地飞下去。
由此推断，2004号位和0号位之间的距离是多少米？
【解析】0米。
根据题上给出的条件，动手画出，就可以了！
四次再次回到0号位置！
2004是4的倍数，
所以第2004号位和0号位之间的距离是0米。
板块二、数列中的周期问题
【例6】小和尚在地上写了一列数：
7,0,2,5,3,7,0,2,5,3…
你知道他写的第81个数是多少吗？
你能求出这81个数相加的和是多少吗？
【解析】⑴从排列上可以看出这组数按7,0,2,5,3依次重复排列，那么每个周期就有5个数.81个数
则是16个周期还多1个，第1个数是7,所以第81个数是7,81516-1
⑵每个周期各个数之和是：
7025317•再用每个周期各数之和乘以周期次数再加上余下
的各数，即可得到答案.17167279，所以，这81个数相加的和是279•
【巩固】根据下面一组数列的规律求出51是第几个数？
1、2、3、4、6、7、8、9、11、12、13、14、16、17……
【解析】观察题目可知数列个位数字每九个数一组，十位数字依次增加，0〜4共五个数，则可列式为：
5
X9+仁46，即51为第46个数。
【例7】⑴44……4（25个4）,积的个位数是几？
⑵24个2相乘，积末位数字是几？
【解析】⑴按照乘数的个数，积的末位数字的规律是：
4,6,4,6,4,6,……，奇数个4相乘得数的末
位数字是4,偶数个4相乘得数的末位数是6，所以25212…1,25个4相乘，积的末位数字
是4.
⑵按照乘数的个数，末位数字的规律是2,4,8,6,2,4,8,6,……,4个一组2446，所
以24个2相乘，积末位数字是6.
【巩固】紧接着1989后面写一串数字，写下的每一个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数.例如，
8972，在9后面写2,9218，在2后面写8……得到一串数字：
19892868…，问：
这串数字从1开始，往右数，第1999个数字是几？
这1999个数字的和是多少？
【解析】⑴根据题意，写出这列数的前面部分数字：
198********868842……“286884”这6个数字重复出
现，周期是6.
⑵第1999个数字是：
因为（19994）63323，所以，第1999个数字是6.
⑶这1999个数字的和是：
（1989）（286884）332（286）27119521611995
【例8】12个同学围成一圈做传手绢的游戏，如图.
⑴从1号同学开始，顺时针传I00次，手绢应在谁手中？
⑵从1号同学开始，逆时针传I00次，手绢又在谁手中？
⑶从1号同学开始，先顺时针传156次，然后从那个同学开始逆时针传143次，再顺时针传107
次，最后手绢在谁手中？
【解析】⑴因为一圈有12个同学，所以传一圈还回到原来同学手中，现在，从1号开始，顺时针传100次,
到5号同学手中.
号同学手中（如图）•
中.
【巩固】8个队员围成一圈做传球游戏，从⑴号开始，按顺时针方向向下一个人传球.在传球的同时，按
顺序报数•当报到72时，球在几号队员手上?
【解析】将8名队员看作一组，每组报8个数，72个数可以分成几组：
7289组，没有余数，球正好
在一组的最后一位队员手中，因此球应该在8号队员手上.
【巩固】如图，电子跳蚤每跳一步，可从一个圆圈跳到相邻的圆圈•现在，一只红跳蚤从标有数字•的圆圈按顺时针方向跳了1991步，落在一个圆圈里•一只黑跳蚤也从标有数字•的圆圈起跳，但它是沿着逆时针方向跳了1949步，落在另一个圆圈里•问：
这两个圆圈里数字的乘积是多少？
【解析】解答此类问题时，只要能发现旋转周期现象，并充分加以利用，就能较快找到解题的关键•本题
中，不难看出这是一个与周期性有关的问题，电子跳蚤每跳12步就回到了原来的位置，如此循
环，周期为12.
⑴因为199112165LL11，所以，红跳蚤跳了1991步后落到了标有数字11的圆圈.
⑵因为194912162LL5，所以，黑跳蚤跳了1949步后落到了标有数字7的圆圈.
⑶所求的乘积是11777.
【巩固】
【解析】
【巩固】
【解析】
如右图，把1〜8八个号码摆成一个圆圈，现有一个小球，第一天从1号开
始按顺时针方向前进329个位置，第二天接着按逆时针方向前进485个位置，
第三天又顺时针前进329个位置，第四天再逆时针前进485个位置……如此
继续下去，问至少经过几天，小球又回到原来的1号位置？
根据题意，小球按顺时针、逆时针、顺时针、逆时针……两天一个周期循环变
485-329=156（个）位置•156-
换方向•每一个周期中，小球实际上是按逆时针方向前进
8=19••…4，就是说，每个周期（2天）中，小球是逆旋转了19周后再逆时针前进4个位置.要使小球回到原来的1号位，至少应逆时针前进8个位置.8+4=2（个）周期，2X2=4（天），所以至少要用4天，小球才又回到原来“1”号位置.
如右图，有16把椅子摆成一个圆圈，依次编上从1到16的号码•现在有一人
从第1号椅子顺时针前进328个，再逆时针前进485个，又顺时针前进328个，再逆时针前进485个，又顺时针前进136个，这时他到了第几号椅子？
这个人顺时针前进了328+328+136=792个位置，由于792+16=49…8,所
以他走到9号位置•又这个人逆时针共退回485+485=970个位置，由于970+
16=60…10，因此这个人至U了第15（=9+16-10）号椅子•
【例9】甲、乙两人对一根3米长的木棍涂色。
首先，甲从木棍的端点开始涂黑色5厘米，间隔5厘米
不涂色，再涂5厘米黑色，这样交替做到底。
然后，乙从木棍同一端点开始留出6厘米不涂色，
然后涂6厘米黑色，再间隔6厘米不涂色，交替做到底，最后木棍上没有被涂黑色部分的总长度是多少？
O°O
°®°
2，因此60厘米一个周期：
（1+3+5+4+2）X300/60=75厘米.
【例10】右图中，任意三个连续的小圆圈内三个数的连乘积都是891，那么B代表多少？
【解析】根据“任意三个连续的小圆圈内三个数的连乘积都是891”，可知任意一个小圆
圈中的数和与它相隔2个小圆圈的小圆圈中的数是相同的•
工曰于是:
B=891十（9X9）=11.
【巩固】课外活动时，甲、乙、丙、丁四人排成一个圆圈依次报数•甲报“1”，乙报“2”，丙报“3”，
丁报“4”，这样每人报的数总比前一个人多1•问“34”是谁报的？
“71”是谁报的？
【解析】根据题意，甲从“1”开始报数，一共报了34次.因为是4个人在报数，所以报4次就要重复一
遍，也就是说是以4为一个周期重复的.34里面有8个周期还余2次，所以“34”应是重复8
遍以后第二个人报的，即乙报的.71417…3,所以“71”应是第三个人报的，即丙报的.
【例11】实验室里有一只特别的钟，一圈共有20个格•每过7分钟，指针跳一次，每跳一次就要跳过9
个格，今天早晨8点整的时候，指针恰好从0跳到9，问：
昨天晚上8点整的时候指针指着几？
【解析】昨晚8点至今早8点，共经历6012720（分钟），7207102L6，说明从今早8点整起，7分钟，7分钟…往回数，昨晚8点后，第1次指针跳是8点6分，直到今早7点53分，指针正好跳到“位,指针共跳了102次.
由于每次跳9格，所以共跳了9102918（格）.每20格一圈，9182045L18，因此从“位开始，往回倒45圈，还要倒回18格，正是昨晚8点时指针所指处：
20182，因此昨晚8点整时指针正指着2.
【巩固】有A、B、C三个蜂鸣器，每次持续鸣叫的时间比例是3:
4:
5•每个蜂鸣器每次鸣叫完后停8秒
钟又开始鸣叫•最初三个蜂鸣器同时开始鸣叫，14分钟后第二次同时开始鸣叫，此时B蜂鸣器
已是第43次鸣叫了•问：
最初同时开始鸣叫后的多少秒A与C第一次同时结束鸣叫？
【解析】14分钟即1460840秒，根据题意可知在840秒内B蜂鸣器已经鸣叫了42次，也停了42次，
那么B蜂鸣器每一次鸣叫加停止的时间为8404220秒，所以B蜂鸣器每次鸣叫持续的时间为：
20812秒，那么A蜂鸣器每次鸣叫持续9秒，C蜂鸣器每次鸣叫持续15秒，
则A、C两个蜂鸣器每次鸣叫加停止的时间分别为9817秒和15823秒，
由于17,23391，所以经过391秒之后A与C要第二次同时开始鸣叫，由于在此时A与C都停止
鸣叫了8秒，所以A与C第一次同时结束鸣叫是在最初开始鸣叫之后的第3918383秒.
【例12】有一个111位数，各位数字都是1，这个数除以6，余数是几？
商的末位数字是几？
【解析】我们可以用列表的方法寻求周期.
被除数中“的个数
1
2
3
4
5
6
7
除以6后余数的末位数字
1
5
3
1
5
3
1
除以6后商的末位数字
0
1
8
5
1
8
5
通过表格我们可以发现，余数出现的周期为3（1,5,3）;第1个“上相对应的商为“Q”从第
二个“开始，商的末位数字的周期为3（1,8,5）
因为111337，所以这个数除以6后余数的末位数字是3;
因为（1111）336…2,所以这个数除以6后商的末位数字是8.
【巩固】有一个1111位数，各位数字都是1,这个数除以6,余数是几？
商的末位数字是几？
【解析】余数出现的周期为3（1,5,3）;第1个“1”上相对应的商为“0”，从第二个“1”开始，商的末位数字的周期为3（1,8,5），因为11113370・T，所以这个数除以6后余数的末位数字是1;因为（11111）3370，所以这个数除以6后商的末尾数字是5.
【例13】求281282929的个位数字.
128429
【解析】由128十4=32知，28的个位数与8的个位数相同，等于6。
由29十2=14……1知，29的个位数与91的个位数相同，等于9.因为6V9，在减法中需向十位借位，所以所求个位数字为16
—9=7.
【巩固】算式（367367762762）123123的得数的尾数是几？
【解析】这是一道很经典的题目，分别找规律，我们只看个位数就够了：
7:
7,9,3,1……,367/4=91…3，个位数是3;
2:
2,4,8,6……,762/4=190…2，个位数是4;
3:
3,9,7,1……,123/4=30…3，个位数是7;
因此个位数：
（3+4）X7=49.
板块三、日期中的周期问题
【例14】阳历1978年1月1日是星期日，阳历2000年1月1日是星期几？
解析】每四年有一个闰年，闰年的年份被4整除，所以从1978年至1999年共有17个平年，5个闰年，由此可以算出总天数，用总天数除以7，余1是星期一，余2是星期二，依次类推
3651736658035（天），803571147（星期）……6（天），所以，阳历2000年1月1日是星期六．
巩固】1999年的元旦是星期五，那么据此你知道2005年的元旦是星期几吗？
【解析】00、04是闰年，01、02、03、05是平年，一共度过了：
365X6+2=2192（天），2192-7=313…
1，
2005年的元旦是星期六
巩固】小童的生日是6月27日，这一年的6月1日是星期六，小童的生日是星期几呢？
解析】从日历上可以看到，每个星期有7天，就是以7天为一个周期不断地重复．6月1日是星期六，那么再过7天，即6月8日，还是星期六；如果再过14天，即6月15日，还是星期六，所以要知道6月27日是星期几，首先要求出6月27日是6月1日后的第几天，27126（天）；因为
每个星期都是7天，也就是周期为乙所以2673（星期）…5（天）•这样，从6月1日开始
经过3个星期，最后一天是星期六，从这最后一天再过5天就是星期四．
巩固】今天是星期三，那么从明天起第365天是星期几？
解析】题中所说的第365天，不包括今天在内，是说“从今天之后的第365天”．
365752（星期）…1（天），所以，从明天起，至燼365天是星期三.
巩固】2002年的6月1日是星期六，那么这一年的10月1日是星期几呢？
解析】我们只要算出6月1日至10月1日要经过多少天，然后按照7天为一个周期，运用周期变化规律解答．由于6月1日与10月1日这两个日子不在同一个月里，就要考虑
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