高考物理一轮复习真题模型再现3 带电粒子在匀强磁场中的运动模型.docx
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高考物理一轮复习真题模型再现3带电粒子在匀强磁场中的运动模型
真题模型再现（三）——带电粒子在匀强磁场中的运动模型
来源
图例
考向
模型核心归纳
2015·新课标全国卷Ⅱ第19题
两个速率相同的电子分别在两个匀强磁场区域做圆周运动
圆周运动规律、牛顿第二定律、洛伦兹力公式
带电粒子在匀强磁场中的运动模型是高考的热点模型之一。
1.常考的模型
（1）带电粒子在无界匀强磁场中的运动
（2）带电粒子在半无界匀强磁场中的运动
（3）带电粒子在半圆形或圆形匀强磁场中的运动
（4）带电粒子在正方形或三角形匀强磁场中的运动
（5）带电粒子在两个不同磁场中的运动
2.模型解法
“4点、6线、3角”巧解带电粒子在匀强磁场中的运动
（1）“4点”：
入射点B、出射点C、轨迹圆心A、入射速度直线与出射速度直线的交点O。
（2）“6线”：
圆弧两端点所在的轨迹半径r，入射速度直线OB和出射速度直线OC，入射点与出射点的连线BC，圆心与两条速度直线交点的连线AO。
（3）“3角”：
速度偏转角∠COD、圆心角∠BAC，弦切角∠OBC，其中偏转角等于圆心角，也等于弦切角的两倍。
2016·新课标全国卷Ⅰ第15题
动能定理、牛顿第二定律、洛伦兹力公式
2016·新课标全国卷Ⅱ第18题
圆周运动、几何知识、周期公式
2016·新课标全国卷Ⅲ第18题
圆周运动、几何知识、对称特点、洛伦兹力公式
2017·全国卷Ⅱ第18题
洛伦兹力、有界磁场中的临界问题的求法、几何知识
2017·全国卷Ⅲ第24题
洛伦兹力、周期公式、几何知识的应用
【预测1】（2017·木渎中学）如图11所示是半径为R的圆柱形匀强磁场区域的横截面（纸面），磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外。
一电荷量为q、质量为m的带正电离子（不计重力）沿平行于直径ab的方向射入磁场区域，入射点P与ab的距离为。
若离子做圆周运动的半径也为R，则粒子在磁场中运动的时间为（ ）
图11
A.B.
C.D.
解析 如图所示，粒子做圆周运动的圆心O1必在过入射点垂直于入射速度方向的直线PO1上，由于粒子的轨道半径为r＝R，又入射点P与ab的距离为。
故圆弧PN对应圆心角为120°，由qvB＝m，周期T＝＝，所以粒子在磁场中运动的时间为t＝T＝，故D正确，A、B、C错误。
答案 D
【预测2】如图12所示矩形虚线框区域内有一垂直于纸面向里的匀强磁场，一束电子以不同的速率从O点垂直于磁场方向且垂直边界线沿图中方向射入磁场后，分别从a、b、c、d四点射出磁场，比较它们在磁场中的运动时间ta、tb、tc、td，其大小关系是（ ）
图12
A.taC.ta＝tbtc>td
解析 电子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期为T＝，四个电子m、q相同，B也相同，则它们做圆周运动的周期相同。
画出电子运动的轨迹如图甲、乙所示。
从图甲可看出，从a、b两点射出的电子轨迹所对的圆心角都是π，则ta＝tb＝T，从图乙可看出，从d射出的电子轨迹所对的圆心角∠OO2d<∠OO1c<π，根据圆周运动的时间t＝T可知，T相同时，圆心角α越大，时间t越长，所以>tc>td，ta＝tb>tc>td。
答案 D
【预测3】（2017·重庆适应性模拟）如图13所示，图中坐标原点O（0，0）处有一带电粒子源，沿xOy平面向y≥0，x≥0的区域内的各个方向发射粒子。
粒子的速率均为v，质量均为m，电荷量均为＋q。
有人设计了方向垂直于xOy平面向里、磁感应强度为B的匀强磁场区域，使上述所有带电粒子从该区域的边界射出时均能沿y轴负方向运动，不考虑粒子间相互作用，不计粒子重力。
试求：
图13
（1）粒子与x轴相交的坐标范围；
（2）粒子与y轴相交的坐标范围；
（3）该匀强磁场区域的最小面积。
解析 设粒子做匀速圆周运动的半径为R，
由qvB＝m，得R＝，
如图所示，粒子与x轴相交的坐标范围为－≤x≤0。
（2）如图所示，粒子与y轴相交的坐标范围为0≤y≤。
（3）由题可知，匀强磁场的最小范围如图中的阴影区域所示。
第一象限区域一个半径为R的半圆面积为S1＝，
第二象限区域四分之一圆的半径为2R，
其面积为S2＝＝πR2，
第二象限区域一个半径为R的半圆面积为S3＝，
则阴影部分面积为S＝S1＋（S2－S3）＝πR2。
答案
（1）－≤x≤0
（2）0≤y≤ （3）πR2
归纳总结
1.处理带电粒子在有界磁场中运动的临界问题的技巧
（1）从关键词语找突破口：
审题时一定要抓住题干中的关键字眼，如“恰好”、“最大”、“最高”、“至少”等词语，挖掘其隐含的信息。
（2）数学方法与物理方法相结合：
借助半径R和速度大小v（或磁感应强度大小B）之间的关系进行动态轨迹分析，确定轨迹圆和有界磁场边界之间的关系，找出临界点，然后利用数学方法求极值。
2.磁场区域最小面积的求解方法
在粒子运动过程分析（正确画出运动轨迹示意图）的基础上借助几何关系先确定最小区域示意图，再利用几何关系求有界磁场区域的最小面积。
注意对于圆形磁场区域：
①粒子射入、射出磁场边界时的速度的垂线的交点即轨迹圆圆心；②所求最小圆形磁场区域的直径等于粒子运动轨迹的弦长。
课时跟踪训练
一、选择题（1～4题为单项选择题，5～7题为多项选择题）
1.如图1所示，垂直纸面向里的匀强磁场足够大，两个不计重力的带电粒子同时从A点在纸面内沿相反方向垂直虚线MN运动，经相同时间两粒子又同时穿过MN，则下列说法正确的是（ ）
图1
A.两粒子的电荷量一定相等，电性可能不同
B.两粒子的比荷一定相等，电性可能不同
C.两粒子的动能一定相等，电性也一定相同
D.两粒子的速率、电荷量、比荷均不等，电性相同
解析 因两粒子是从垂直MN开始运动的，再次穿过MN时速度方向一定垂直MN，两粒子均运动了半个周期，即两粒子在磁场中运动周期相等，由T＝知两粒子的比荷一定相等，但质量、电荷量不一定相等，选项A、D错误；因不知粒子的偏转方向，所以粒子电性无法确定，选项B正确；因粒子运动的周期与速度无关，所以粒子的动能也不能确定，选项C错误。
答案 B
2.（2017·盐城模拟）如图2所示，在同一竖直平面内，有两个光滑绝缘的圆形轨道和倾斜轨道相切于B点，将整个装置置于垂直轨道平面向外的匀强磁场中，有一带正电小球从A处由静止释放沿轨道运动，并恰能通过圆形轨道的最高点C。
现若撤去磁场，使球仍能恰好通过C点，则释放高度H′与原释放高度H的关系是（ ）
图2
A.H′C.H′>HD.不能确定
解析 有磁场时，对小球在最高点有：
mg－qBv1＝m，下落过程由动能定理得mg（H－2R）＝mv；无磁场时，对小球在最高点有：
mg＝m，下落过程由动能定理得mg（H′－2R）＝mv，解得H′>H，故C正确，A、B、D错误。
答案 C
3.如图3，左侧为加速电场，右侧为偏转电场，加速电场的加速电压是偏转电场电压的k倍。
有一初速度为零的电荷经加速电场加速后，从偏转电场两板正中间垂直电场方向射入，且正好能从极板下边缘穿出电场，不计电荷的重力，则偏转电场长宽之比的值为（ ）
图3
A.B.
C.D.
解析 设加速电压为U1，偏转电压为U2，因为qU1＝mv，电荷离开加速电场时的速度v0＝；在偏转电场中＝t2，解得t＝d，水平距离l＝v0t＝·d＝d＝d，所以＝。
答案 B
4.如图4所示，截面为正方形的空腔abcd中有一匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。
若有一束具有不同速率的电子由小孔a沿ab方向射入磁场，打在腔壁上的电子都被腔壁吸收，则（ ）
图4
A.由小孔c和小孔d射出的电子的速率之比为1∶2
B.由小孔c和小孔d射出的电子的速率之比为2∶1
C.由小孔c和d射出的电子在磁场中运动的时间之比为2∶1
D.由小孔c和d射出的电子在磁场中运动的时间之比为4∶1
解析 设正方形空腔abcd的边长为L，根据r＝，可知L＝，＝，则＝2∶1，故选项A错误，选项B正确；根据T＝，可知tc＝＝，td＝＝，＝1∶2，故选项C、D错误。
答案 B
5.（2017·天津河西区三模）如图5所示，带正电的A球固定，质量为m、电荷量为＋q的粒子B从a处以速度v0射向A，虚线abc是B运动的一段轨迹，b点距离A最近。
粒子经过b点时速度为v，重力忽略不计。
则下列说法正确的是（ ）
图5
A.粒子从a运动到b的过程中动能不断增大
B.粒子从b运动到c的过程中加速度不断减小
C.可求出A产生的电场中a、b两点间的电势差
D.可求出A产生的电场中b点的电场强度
解析 由题图知，带电粒子受到A处正电荷的排斥力作用，粒子从a运动到b的过程中库仑力做负功，其动能不断减小，故选项A错误；粒子从b运动到c的过程中粒子离正电荷越来越远，所受的库仑力减小，加速度减小，故选项B正确；根据动能定理qUab＝mv2－mv，能求出a、b两点间的电势差Uab，故选项C正确；a、b间不是匀强电场，不能根据公式U＝Ed求出b点的电场强度，故选项D错误。
答案 BC
6.（2017·河南洛阳名校联考）如图6所示，高为h的光滑绝缘曲面处于匀强电场中，匀强电场的方向平行于竖直平面，一带电荷量为＋q、质量为m的小球，以初速度v0从曲面底端的A点开始沿曲面表面上滑，到达曲面顶端B点的速度大小仍为v0，则（ ）
图6
A.电场力对小球做功为mgh＋mv
B.A、B两点的电势差为
C.电场强度的最小值为
D.小球在B点的电势能小于在A点的电势能
解析 小球上滑过程中，由动能定理有W电－mgh＝0，所以W电＝mgh，选项A错误；由W电＝qU可得A、B两点的电势差为U＝，选项B正确；由U＝Ed得E＝，若电场线沿AB时，d>h，则E<＝，选项C错误；由于电场力做正功，小球的电势能减小，则小球在B点的电势能小于在A点的电势能，选项D正确。
答案 BD
7.（2017·南平检测）在一个边界为等边三角形的区域内，存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，在磁场边界上的P点处有一个粒子源，发出比荷相同的三个粒子a、b、c（不计重力）沿同一方向进入磁场，三个粒子通过磁场的轨迹如图7所示，用ta、tb、tc分别表示a、b、c通过磁场的时间；用ra、rb、rc分别表示a、b、c在磁场中的运动半径，则下列判断正确的是（ ）
图7
A.ta＝tb>tcB.tc>tb>ta
C.rc>rb>raD.rb>ra>rc
解析 粒子在磁场中做匀速圆周运动，由图示情景可知：
粒子轨道半径rc>rb>ra，粒子转过的圆心角θa＝θb>θc，粒子在磁场中做圆周运动的周期T＝，由于粒子的比荷相同、B相同，则粒子周期相同，粒子在磁场中的运动时间t＝T，由于θa＝θb>θc，T相同，则ta＝tb>tc，故A、C正确，B、D错误。
答案 AC
二、非选择题
8.（2017·山西省重点中学高三5月联合考试）如图8所示为一多级加速器模型，一质量为m＝1.0×10－3kg、电荷量为q＝8.0×10－5C的带正电小球（可视为质点）通过1、2级无初速度地进入第3级加速电场，之后沿位于轴心的光滑浅槽，经过多级加速后从A点水平抛出，恰好能从MN板的中心小孔B垂直金属板进入两板间，A点在MN板左端M点正上方，倾斜平行金属板MN、PQ的长度均为L＝1.0m，金属板与水平方向的夹角为θ＝37°，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，重力加速度g＝10m/s2。
图8
（1）求A点到M点的高度以及多级加速电场的总电压U；
（2）若该平行金属板间有图示方向的匀强电场，且电场强度大小E＝100V/m，要使带电小球不打在PQ
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