高考数学《三维设计》高考总复习一轮资料Word学案第八章立体几何.docx

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高考数学《三维设计》高考总复习一轮资料Word学案第八章立体几何

第八章立体几何

全国卷年考情图解

高考命题规律把握

1.本章内容在高考中一般为2道小题,1道解答题,分值约占22分．

2.高考基础小题主要考查几何体的三视图的识别,几何体表面积、体积的求解及线、面角问题．

3.高考综合性较强的小题考查与球有关的切、接问题．

4.解答题一般有两问:

第一问考查空间平行与垂直关系的证明,考查转化与化归的数学思想；第二问以几何体的表面积、体积的求解或几何体高的求解为主,综合考查基本的逻辑推理和计算能力.

第一节

空间几何体的结构特征、三视图和直观图

一、基础知识批注——理解深一点

多面体是一个

“封闭”的几何体．

名称

棱柱

棱锥

棱台

图形

底面

互相平行且相等

多边形

互相平行且相似

侧棱

互相平行且相等

相交于一点,但不一定相等

延长线交于一点

侧面形状

平行四边形

三角形

梯形

①特殊的四棱柱

上述四棱柱有以下集合关系:

{正方体}{正四棱柱}{长方体}{直平行六面体}{平行六面体}{四棱柱}．

②多面体的关系:

（2）旋转体的结构特征

名称

圆柱

圆锥

圆台

球▲

图形

母线

互相平行且相等,垂直于底面

长度相等且相交于一点

延长线交于一点

轴截面

全等的矩形

全等的等腰三角形

全等的等腰梯形

圆

侧面展开图

矩形

扇形

扇环

▲球的截面的性质

（1）球的任何截面是圆面；

（2）球心和截面（不过球心）圆心的连线垂直于截面；

（3）球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系为r＝.

2．直观图

（1）画法:

常用斜二测画法．

（2）规则:

①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中,x′轴、y′轴的夹角为45°（或135°）,z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．

②原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．

3．三视图

三视图的长度特征

“长对正、高平齐、宽相等”,即正俯同长、正侧同高、俯侧同宽．

几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图,分别是从几何体的正前方、正左方和正上方观察几何体画出的轮廓线.

二、常用结论汇总——规律多一点

1．常见旋转体的三视图

（1）球的三视图都是半径相等的圆．

（2）底面与水平面平行放置的圆锥的正视图和侧视图为全等的等腰三角形．

（3）底面与水平面平行放置的圆台的正视图和侧视图为全等的等腰梯形．

（4）底面与水平面平行放置的圆柱的正视图和侧视图为全等的矩形．

2．斜二测画法中的“三变”与“三不变”

“三变”

“三不变”

三、基础小题强化——功底牢一点

（1）有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．（　　）

（2）有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥．（　　）

（3）棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得的平面与底面之间的部分．（　　）

（4）夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱．（　　）

（5）上下底面是两个平行的圆面的旋转体是圆台．（　　）

答案:

（1）×　

（2）×　（3）√　（4）×　（5）×

（二）选一选

1．用一个平行于水平面的平面去截球,得到如图所示的几何体,则它的俯视图是

（　　）

解析:

选B　俯视图中显然应有一个被遮挡的圆,所以内圆是虚线,故选B.

2.若一个三棱柱的三视图如图所示,其俯视图为正三角形,则这个三棱柱的高和底面边长分别为（　　）

A．2,2　　　　　　

B．2,2

C．4,2

D．2,4

解析:

选D　由三视图可知,正三棱柱的高为2,底面正三角形的高为2,故底面边长为4,故选D.

3.

如图所示,在三棱台A′B′C′ABC中,沿A′BC截去三棱锥A′ABC,则剩余的部分是（　　）

A．三棱锥B．四棱锥

C．三棱柱D．组合体

解析:

选B　如图所示,在三棱台A′B′C′ABC中,沿A′BC截去三棱锥A′ABC,剩余部分是四棱锥A′BCC′B′.

（三）填一填

4.如图是水平放置的正方形ABCO,在直角坐标系xOy中,点B的坐标为（2,2）,则由斜二测画法画出的正方形的直观图中,顶点B′到x′轴的距离为________．

解析:

根据斜二测画法规则画出直观图,如图所示．

作B′E⊥x′轴于点E,在Rt△B′C′E中,B′C′＝1,

∠B′C′E＝45°,则B′E＝.

答案:

5．利用斜二测画法得到的

①三角形的直观图一定是三角形；

②等腰梯形的直观图可以是平行四边形；

③菱形的直观图一定是菱形．

以上结论正确的个数是________．

解析:

由斜二测画法的规则可知①正确；②错误,等腰梯形的直观图不可能是平行四边形；而菱形的直观图也不一定是菱形,③也错误,故结论正确的个数为1.

答案:

1

[典例]　下列结论正确的是（　　）

A．侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥

B．六条棱长均相等的四面体是正四面体

C．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱

D．用一个平面去截圆锥,底面与截面之间的部分叫圆台

[解析]　底面是等边三角形,且各侧面三角形全等,这样的三棱锥才是正三棱锥,所以A错；斜四棱柱也有可能两个侧面是矩形,所以C错；截面平行于底面时,底面与截面之间的部分才叫圆台,所以D错．

[答案]　B

[解题技法]　空间几何体概念辨析题的常用方法

定义法

紧扣定义,由已知构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,根据定义进行判定

反例法

通过反例对结构特征进行辨析,即要说明一个结论是错误的,只要举出一个反例即可

[题组训练]

1．下列结论中错误的是（　　）

A．由五个面围成的多面体只能是三棱柱

B．正棱台的对角面一定是等腰梯形

C．圆柱侧面上的直线段都是圆柱的母线

D．各个面都是正方形的四棱柱一定是正方体

解析:

选A　由五个面围成的多面体也可以是四棱锥,所以A选项错误．B、C、D说法均正确．

2．下列命题正确的是（　　）

A．两个面平行,其余各面都是梯形的多面体是棱台

B．两个面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台

C．直角梯形以一条直角腰所在的直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体是圆台

D．用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形

解析:

选C　如图所示,可排除A、B选项．只要有截面与圆柱的母线平行或垂直,截得的截面才为矩形或圆,否则为椭圆或椭圆的一部分．

[典例]　已知等腰梯形ABCD,CD＝1,AD＝CB＝,AB＝3,以AB所在直线为x轴,则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为________．

[解析]　法一:

如图,取AB的中点O为坐标原点,建立平面直角坐标系,y轴交DC于点E,O,E在斜二测画法中的对应点为O′,E′,过E′作E′F′⊥x′轴,垂足为F′,

因为OE＝＝1,

所以O′E′＝,E′F′＝.

所以直观图A′B′C′D′的面积为

S′＝×（1＋3）×＝.

法二:

由题中数据得等腰梯形ABCD的面积S＝×（1＋3）×1＝2.

由S直观图＝S原图形的关系,得S直观图＝×2＝.

[答案]　

[解题技法]　原图形与直观图面积的关系

按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系:

（1）S直观图＝S原图形；

（2）S原图形＝2S直观图．

[题组训练]

1.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形,则原来的图形是（　　）

解析:

选A　由直观图可知,在直观图中多边形为正方形,对角线长为,所以原图形为平行四边形,位于y轴上的对角线长为2.故选A.

2．已知正三角形ABC的边长为2,那么△ABC的直观图△A′B′C′的面积为________．

解析:

如图,图①、图②分别表示△ABC的实际图形和直观图．

从图②可知,A′B′＝AB＝2,

O′C′＝OC＝,C′D′＝O′C′sin45°＝×＝.

所以S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝×2×＝.

答案:

考法

（一）　由几何体识别三视图

[典例]　（2019·长沙模拟）如图是一个正方体,A,B,C为三个顶点,D是棱的中点,则三棱锥ABCD的正视图、俯视图是（注:

选项中的上图为正视图,下图为俯视图）（　　）

[解析]　正视图和俯视图中棱AD和BD均看不见,故为虚线,易知选A.

[答案]　A

[解题技法]　识别三视图的步骤

（1）弄清几何体的结构特征及具体形状、明确几何体的摆放位置；

（2）根据三视图的有关定义和规则先确定正视图,再确定俯视图,最后确定侧视图；

（3）被遮住的轮廓线应为虚线,若相邻两个物体的表面相交,表面的交线是它们的分界线；对于简单的组合体,要注意它们的组合方式,特别是它们的交线位置．

考法

（二）　由三视图判断几何体特征

[典例]　

（1）（2018·全国卷Ⅰ）某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图所示．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为（　　）

A．2　　　　　　　　B．2

C．3D．2

（2）（2019·武汉调研）已知某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的四个侧面中最小的面积为________．

[解析]　

（1）先画出圆柱的直观图,根据题图的三视图可知点M,N的位置如图①所示．

圆柱的侧面展开图及M,N的位置（N为OP的四等分点）如图②所示,连接MN,则图中MN即为M到N的最短路径．ON＝×16＝4,OM＝2,

∴MN＝＝＝2.

（2）由三视图知,该几何体是在长、宽、高分别为2,1,1的长方体中,截去一个三棱柱AA1D1BB1C1和一个三棱锥CBC1D后剩下的几何体,即如图所示的四棱锥DABC1D1,其中侧面ADD1的面积最小,其值为.

[答案]　

（1）B　

（2）

［解题技法］

1．由三视图确定几何体的3步骤

2．三视图还原长方体口诀

三视图,要还原,关键在于找顶点；

长方体,三向切,三图相交顶点得；

查视图,再检验,实线虚线细甄辨．

考法（三）　由三视图中的部分视图确定剩余视图

[典例]　（2018·唐山五校联考）如图是一个空间几何体的正视图和俯视图,则它的侧视图为（　　）

[解析]　由正视图和俯视图可知,该几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的,结合正视图的宽及俯视图的直径可知侧视图应为A,故选A.

[答案]　A

[解题技法]

由几何体的部分视图确定剩余视图的方法

解决此类问题,可先根据已知的一部分视图,还原、推测直观图的可能形式,然后再找其剩下部分视图的可能形式．当然作为选择题,也可将选项逐项代入检验．

[题组训练]

1．如图1所示,是一个棱长为2的正方体被削去一个角后所得到的几何体,其中DD1＝1,AB＝BC＝AA1＝2,若此几何体的俯视图如图2所示,则可以作为其正视图的是（　　）

解析:

选C　根据该几何体的直观图和俯视图知,其正视图的长应为底面正方形的对角线长,宽应为正方体的棱长,故排除B、D；而在三视图中看不见的棱用虚线表示,故排除A.故选C.

2.

（2017·全国卷Ⅰ）某多面体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为（　　）

A．10B．12

C．14D．16

解析:

选B　由三视图可知该多面体是一个组合体,下面是一个底面是等腰直角三角形的直三棱柱,上面是一个底面是等腰直角三角形的三棱锥,等腰直角三角形的腰长为2,直三棱柱的高为2,三棱锥的高为2,易知该多面体有2个面是梯形,这些梯形的面积之和为×2＝12,故选B.

1．对于用“斜二测画法”画平面图形的直观图,下列说法正确的是（　　）

A．等腰三角形的直观图仍为等腰三角形

B．梯形的直观图可能不是梯形

C．正方形的直观图为平行四边形

D．正三角形的直观图一定为等腰三角形

解析:

选C　根据“斜二测画法”的定义可得正方形的直观图为平行四边形．

2．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不可以是（　　）

A．球　　　　　　　　　　B．三棱锥

C．正方体D．圆柱

解析:

选D　球、正方体的三视图的形状都相同,大小都相等,首先排除选项A和C.对于三棱锥,考虑特殊情况,如三棱锥COAB,当三条棱OA,OB,OC两两垂直,且OA＝OB＝OC时,正视图方向为AO方向,其三视图的形状都相同,大小都相等,故排除选项B.选项D,不论圆柱如何放置,其三视图的形状都不可能完全相同．

3．（2019·福州模拟）

一水平放置的平面图形,用斜二测画法画出它的直观图如图所示,此直观图恰好是一个边长为2的正方形,则原平面图形的面积为（　　）

A．2B．2

C．4D．8

解析:

选D　由斜二测画法可知,原平面图形是一个平行四边形,且平行四边形的一组对边长为2,在斜二测画法画出的直观图中,∠B′O′A′＝45°且O′B′＝2,那么在原图形中,∠BOA＝90°且OB＝4.因此,原平面图形的面积为2×4＝8,故选D.

4．给出下列几个命题:

①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线；②底面为正多边形,且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；③棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是（　　）

A．0B．1

C．2D．3

解析:

选B　①错误,只有这两点的连线平行于轴时才是母线；②正确；③错误,棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形,各侧棱延长线交于一点,但是侧棱长不一定相等．

5．若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是（　　）

解析:

选D　由三视图知该几何体的上半部分是一个三棱柱,下半部分是一个四棱柱．故选D.

6．用若干块相同的小正方体搭成一个几何体,该几何体的三视图如图所示,则搭成该几何体需要的小正方体的块数是（　　）

A．8B．7

C．6D．5

解析:

选C　画出直观图可知,共需要6块．

7．（2018·南宁二中、柳州高中联考）如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的正视图和侧视图,且该几何体的体积为,则该几何体的俯视图可以是（　　）

解析:

选C　若俯视图为选项C中的图形,则该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥PABCD,如图所示,该四棱锥的体积V＝×（2×2）×2＝,符合题意．若俯视图为其他选项中的图形,则根据三视图易判断对应的几何体不存在,故选C.

8.如图,在底面边长为1,高为2的正四棱柱ABCDA1B1C1D1（底面ABCD是正方形,侧棱AA1⊥底面ABCD）中,点P是正方形A1B1C1D1内一点,则三棱锥PBCD的正视图与俯视图的面积之和的最小值为（　　）

A.B．1

C．2D.

解析:

选A　由题图易知,三棱锥PBCD的正视图面积为×1×2＝1.当顶点P的投影在△BCD内部或其边上时,俯视图的面积最小,为S△BCD＝×1×1＝.所以三棱锥PBCD的正视图与俯视图的面积之和的最小值为1＋＝.故选A.

9．设有以下四个命题:

①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；

②底面是矩形的平行六面体是长方体；

③直四棱柱是直平行六面体；

④棱台的相对侧棱延长后必交于一点．

其中真命题的序号是________．

解析:

命题①符合平行六面体的定义,故命题①是正确的；底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直,故命题②是错误的；因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形,故命题③是错误的；命题④由棱台的定义知是正确的．

答案:

①④

10．一个圆台上、下底面的半径分别为3cm和8cm,若两底面圆心的连线长为12cm,则这个圆台的母线长为________cm.

解析:

如图,过点A作AC⊥OB,交OB于点C.

在Rt△ABC中,AC＝12（cm）,BC＝8－3＝5（cm）．

∴AB＝＝13（cm）．

答案:

13

11．已知某几何体的三视图如图所示,正视图和侧视图都是矩形,俯视图是正方形,在该几何体上任意选择4个顶点,以这4个点为顶点的几何体的形状给出下列命题:

①矩形；②有三个面为直角三角形,有一个面为等腰三角形的四面体；③两个面都是等腰直角三角形的四面体．

其中正确命题的序号是________．

解析:

由三视图可知,该几何体是正四棱柱,作出其直观图为如图所示的四棱柱ABCDA1B1C1D1,当选择的4个点是B1,B,C,C1时,可知①正确；当选择的4个点是B,A,B1,C时,可知②正确；易知③不正确．

答案:

①②

12.如图,三棱锥ABCD中,AB⊥平面BCD,BC⊥CD,若AB＝BC＝CD＝2,则该三棱锥的侧视图（投影线平行于BD）的面积为________．

解析:

因为AB⊥平面BCD,投影线平行于BD,

所以三棱锥ABCD的侧视图是一个以△BCD的BD边上的高为底,棱锥的高为高的三角形,

因为BC⊥CD,AB＝BC＝CD＝2,

所以△BCD中BD边上的高为,

故该三棱锥的侧视图的面积S＝××2＝.

答案:

第二节

空间几何体的表面积与体积

一、基础知识批注——理解深一点

1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱

圆锥

圆台

侧面展开图

侧面积公式

S圆柱侧＝2πrl

S圆锥侧＝πrl

S圆台侧＝π（r＋r′）l

①几何体的侧面积是指（各个）侧面面积之和,而表面积是侧面积与所有底面面积之和.

②圆台、圆柱、圆锥的转化

当圆台的上底面半径与下底面半径相等时,得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时,得到圆锥,由此可得:

2．空间几何体的表面积与体积公式

名称

几何体　　

表面积

体积

柱体（棱柱和圆柱）

S表面积＝S侧＋2S底

V＝Sh

锥体（棱锥和圆锥）

S表面积＝S侧＋S底

V＝Sh

台体（棱台和圆台）

S表面积＝S侧＋S上＋S下

V＝（S上＋S下＋）h

球

S＝4πR2

V＝πR3

二、常用结论汇总——规律多一点

几个与球有关的切、接常用结论

（1）正方体的棱长为a,球的半径为R,

①若球为正方体的外接球,则2R＝a；

②若球为正方体的内切球,则2R＝a；

③若球与正方体的各棱相切,则2R＝a.

（2）若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2R＝.

（3）正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.

三、基础小题强化——功底牢一点

（1）圆柱的一个底面积为S,侧面展开图是一个正方形,那么这个圆柱的侧面积是2πS.（　　）

（2）锥体的体积等于底面面积与高之积．（　　）

（3）台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．（　　）

（4）球的体积之比等于半径之比的平方．（　　）

答案:

（1）×　

（2）×　（3）√　（4）×

（二）选一选

1．一个球的表面积是16π,那么这个球的体积为（　　）

A.π　　　　　　　　　B.π

C．16πD．24π

解析:

选B　设球的半径为R,则由4πR2＝16π,解得R＝2,所以这个球的体积为πR3＝π.

2．正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2,侧棱长为,D为BC中点,则三棱锥AB1DC1的体积为（　　）

A．3B.

C．1D.

解析:

选C　由题意可知AD⊥BC,由面面垂直的性质定理可得AD⊥平面DB1C1,又AD＝2·sin60°＝,所以VAB1DC1＝AD·S△B1DC1＝×××2×＝1,故选C.

3．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为（　　）

A．20πB．24π

C．28πD．32π

解析:

选C　设圆柱底面圆半径为r,周长为c,圆锥母线长为l,圆柱高为h.由图得r＝2,c＝2πr＝4π,h＝4,由勾股定理得:

l＝＝4,S表＝πr2＋ch＋cl＝4π＋16π＋8π＝28π.

（三）填一填

4．某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为________．

解析:

由三视图可知,该几何体是一个直三棱柱,其底面为侧视图,该侧视图是底边长为2,高为的三角形,正视图的长为三棱柱的高,故h＝3,所以该几何体的体积V＝S·h＝×3＝3.

答案:

3

5．一个六棱锥的体积为2,其底面是边长为2的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积为________．

解析:

设六棱锥的高为h,斜高为h′,则由体积V＝××h＝2,得h＝1,h′＝＝2.

所以侧面积为×2×h′×6＝12.

答案:

12

[典例]　

（1）（2018·全国卷Ⅰ）已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为（　　）

A．12π　　　　　　　　B．12π

C．8πD．10π

（2）（2019·沈阳质检）某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的侧面积是（　　）

A．4＋4B．4＋2

C．8＋4D.

[解析]　

（1）设圆柱的轴截面的边长为x,

则x2＝8,得x＝2,

∴S圆柱表＝2S底＋S侧＝2×π×（）2＋2π××2

＝12π.故选B.

（2）由三视图可知该几何体是一个四棱锥,记为四棱锥PABCD,如图所示,其中PA⊥底面ABCD,四边形ABCD是正方形,且PA＝2,AB＝2,PB＝2,所以该四棱锥的侧面积S是四个直角三角形的面积和,即S＝2×＝4＋4,故选A.

[答案]　

（1）B　

（2）A

[解题技法]　求解几何体表面积的类型及求法

求多面体的表面积

只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形,利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积

求旋转体的表面积

可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手,将其展开后求表面积,但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系

求不规则

几何体的

表面积时

通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体,先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积,再通过求和或作差,求出所给几何体的表面积

[题组训练]

1．（2019·武汉部分学校调研）一个几何体的三视图如图所示,则它的表面积为（　　）

A．28B．24＋2

C．20＋4D．20＋2

解析:

选B　如图,三视图所对应的几何体是长、宽、高分别为2,2,3的长方体去掉一个三棱柱后的棱柱ABIEDCMH,则该几何体的表面积S＝（2×2）×5＋×2＋2×1＋2×＝24＋2.故选B.

2．（2018·郑州第二次质量预测）某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是（　　）

A．20＋πB．24＋（－1）π

C．24＋（2－）πD．20＋（＋1）π

解析:

选B　由三视图知,该几何体是由一个棱长为2的正方体挖去一个底面半径为1、高为1的圆锥后所剩余的部分,所以该几何体的表面积S＝6×22－π×12＋π×1×＝24＋（－1）π,故选B.

求空间几何体的体积常用的方法有直接法、割补法、等体积法

[典例]　

（1）（2019·开封高三定位考试）某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为扇形,则该几何体的体积为（　　）

A．4π