全等三角形地讲义整理讲义1.docx
《全等三角形地讲义整理讲义1.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《全等三角形地讲义整理讲义1.docx（42页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
全等三角形地讲义整理讲义1
挚诚博大教育数学讲义
全等三角形
专题一全等三角形的性质
【知识点1】能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
（两个三角形全等是指两个三角形的大小和形状完全一样，与他们的
位置没有关系。
）
【知识点2】两个三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点；重
合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角。
【例题1】如图，已知图中的两个三角形全等，填空：
A
（1）AB与是对应边，BC与是对应边，
CA与是对应边；
BC
（2）∠A与是对应角，∠ABC与是对应角，
D
∠BAC与是对应角
【方法总结】在两个全等三角形中找对应边和对应角的方法。
（1）有公共边的，公共边一定是对应边；
（2）有公共角的，公共角一
定是对应角；（3）有对顶角的，对顶角是对应角；（4）在两个全等三角
形中，最长的边对最长的边，最短的边对最短的边，最大的角对最大
的角，最小的角对最小的角。
A
【练习1】如图，图中有两对三角形全等，填空：
D
E
O
（1）△BOD≌；
（2）△ACD≌.
BC
【知识点3】全等三角形的对应边相等，对应角相等。
（由定义还可知道，全等三角形的周长相等，面积相等，对应边上的
中线和高相等，对应角的角平分线相等）
【例题2】（海南省中考卷第5题）已知图2中的两个三角形全等，则∠度
１
挚诚博大教育数学讲义
数是（）
A.72°B.60°C.58°D.50°
【例题3】（清远）如图，若△ABC≌△A1B1C1，且A110°，B40°，则
C=．
1
AA1
BCB1C1
【练习2】如图，△ACB≌△ACB，BCB=30°，
A
A
B
则ACA的度数为（）
A20°B．30°C．35°D．40°
B
C
【练习3】如图，△ABD绕着点B沿顺时针方向旋转90°到△EBC，
且∠ABD=90°。
（1）△ABD和△EBC是否全等？
如果全等，请指出对应边与对应角。
（2）若AB=3cm,BC=5cm你,能求出DE的长吗？
（3）直线AD和直线CE有怎样的位置关系？
请说明理由。
专题二全等三角形的判定
【知识点1】SSS：
三边对应相等的两个三角形全等。
简写为“边边边”或“SSS".
【例题1】如图，AB=AD，BC=CD求证：
∠BAC=∠DAC。
２
挚诚博大教育数学讲义
【练习1】已知：
如图，A、C、F、D在同一直线上，AF＝DC，AB＝DE，
BC＝EF，求证：
△ABC≌△DEF．
A
C
E
B
F
D
【知识点2】SAS:
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形
全等，
简写为“边角边”或“SAS".
【例题2】已知：
如图，AC和BD相交于点O，OA=OC，OB=OD．
求证：
DC∥AB．
【练习2】已知：
如图，AE∥BF，AB=CD，AE=BF.
求证：
△AEC≌△BFD
【练习3】如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝CD，BC＝DE，
求证：
AC⊥CE．若将CD沿CB方向平移得到图
（2）（3）（4）（5）的情形，
其余条件不变，结论AC1⊥C2E还成立吗？
请说明理由．
３
挚诚博大教育数学讲义
【知识点3】ASA：
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全
等，
（可以简写为“角边角”或“ASA”）
【例题3】已知：
如图，∠AOD=∠BOC，∠A=∠C，O是AC的中点。
求证：
△AOB≌△COD．
【练习4】1、如图，在四边形ABCD中，E是AC上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，
D求证:
∠5=∠6．
A
1
2
E
5
6
3
4
C
B
2、如图，点E在△ABC的外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，若∠1=∠2=∠3，
AC=AE，求证：
AB=AD。
3、如图，已知：
△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B，C向过A的直线作
垂线，垂足为E，F。
４
挚诚博大教育数学讲义
（1）证明：
过A的直线与斜边BC不相交时，则有EF=BE+C，F如图1。
（2）如图2，过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，你能得到什么
结论？
请给出证明。
【知识点4】AAS:
两个角和其中一个角的对边对应相等的两
个三角形全等，（可以简写为“角角边”或“AAS”）
这一结论很容易由ASA推得：
因为三角形的内角和等于180°，因此有两个角分别对应
相等，那么第三个角必对应相等，于是由“角边角”，便可证得这两个三角形全等．
所以两个三角形如果具备两个角和一条边对应相等，就可以判断其相等。
【例题4】1、下列说法中：
①如果两个三角形可以依据“AAS”来判定全等，那么一定
也可以依据“ASA”来判定它们全等；②如果两个三角形都和第三个三角形不全等，那么这
两个三角形也一定不全等；③要判断两个三角形全等，给出的条件中至少要有一对边对应相
等．正确的是（）
A．①和②B．②和③C．①和③D．①②③
2、已知：
如图，AB=AC，BDAC，CEAB，垂足分别为D、E，BD、CE相交
于点F，求证：
BE=CD．
C
D
F
E
BA
【练习6】1、如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，
DF⊥AC于F，△ABC面积是28
2
cm，AB＝20cm，AC＝8cm，求DE的长．
A
E
F
BDC
５
挚诚博大教育数学讲义
2、△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，
交AB于点E，交AD于点F，求证：
∠ADC＝∠BDE．
C
D
F
AB
E
图9
【知识点5】HL:
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角
形全等，
（可以简写为“斜边，直角边”或“HL”）
【例题5】
（1）证明两个直角三角形全等的方法有
（2）根据下列已知条件，能惟一画出三角形ABC的是（）
A．AB＝3，BC＝4，AC＝8；B.AB＝4，BC＝3，∠A＝30；
C.∠A＝60，∠B＝45，AB＝4；D.∠C＝90，AB＝6
（3）已知：
如图△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，BD、CE交于O点，且BD=CE
求证：
OB=OC.
（4）如图，∠ACB=90°，AC=BC，D为AB上一点，AE⊥CD于E，BF⊥DC交CD的
延长线于F．求证：
BF=CE．
【练习2】1、对于下列各组条件，不能判定△ABC≌△ABC的一组是（）
（A）∠A=∠A′，∠B=∠B′，AB=A′B′
（B）∠A=∠A′，AB=A′B′，AC=A′C′
（C）∠A=∠A′，AB=A′B′，BC=B′C′（D）AB=A′B′，AC=A′C′，BC=B′C′
（2）
６
挚诚博大教育数学讲义
专题三角的平分线的性质
【知识点1】角的平分线：
把一个角分成两个相等的角的射
线叫做角的平分线
【例题1】1、已知∠BAC，作∠BAC的平分线。
（尺规作图）
2、直角三角形两锐角的角平分线所交成的角的度数是（）
A．45°B．135°C．45°或135°D．都不对
【知识点2】角的平分线的性质定理：
角平分线上的点到角两边的距离
相等。
【例题2】1、△ABC中，∠A＋∠B＝∠C，∠A的平分线交BC于点D，若CD＝8cm，
则点D到AB的距离为＿＿＿＿cm．
７
挚诚博大教育数学讲义
2、如左下图，在△ABC中，∠ACB=90°,BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3
cm，那么AE+DE等于
A.2cmB.3cmC.4
cmD.5cm
2、如右上图，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于点D，则①△ABE≌△ACF
②△BDF≌△CDE③D在∠BAC的平分线上，以上结论中，正确的是
A.只有①B.只有②
C.只有①和②D.①，②与③
3、如图，已知△ABC中，E是AB延长线上的一点，AE=AC，AD平分∠A，BD=BE。
求证：
∠ABC=2∠C。
【知识点3】角平分线的判定
方法1：
（角平分线的定义）把一个角分成两个相等的角的射线叫做
角平分线。
方法2：
（角平分线的判定定理）到角两边的距离相等的点在角的平
分线上。
（此命题与角的性质定理的已知和结论都不同）
【例题3】1、如图中，E是AB延长线上一点，AC⊥BC、AD⊥BD、AC=AD，求
证：
∠DEA=∠CEA。
2、如图，A、B、C三点在同一直线上，分别以AB、BC为边在直线的同旁作等
边三角形ABD、BCE，连结AE交BD于M，连结CD交BE于N，连结MN，求
证：
△BMN是等边三角形。
８
挚诚博大教育数学讲义
3、已知：
如图，AO平分∠EAD和∠EOD；求证：
①△AOE≌△AOD②EB=DC
4、如图，已知BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且交BE于E．求证：
AE平分∠FAC.
F
A
E
BD
C
第二章轴对称
专题一：
轴对称
【基础练习】
1.（2010?
日照）已知上面四个汽车标志图案，其中是轴对称图形的图案是______________。
（只需填入
图案代号）．
2.（2008?
贵阳）如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为_____________cm
2．
3.下列轴对称图形中，只有两条对称轴的图形是（）
A．B．C．D．
９
挚诚博大教育数学讲义
4.下图均为7×6的正方形网格，点A、B、C在格点上．在图中确定格点D，并画出以A、B、C、D为顶点的
四边形，使其为轴对称图形．（要求：
分别在图①、图②、图③中画出三个互不相同的图形）
5.（2009?
河南）如图，△ABC与△A′B′关C′于直线l对称，则∠B的度数为（）
轴对称的性质：
专题二：
线段的垂直平分线
【基础练习】
1.（2010?
无锡）如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A=30°，∠ACB=80°，则∠BCE=_____
度
（1题）（2题）（4题）（5
题）
2.（2010?
黄石）如图，等腰三角形ABC中，已知AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分
线交AC于D，则∠CBD的度数为___________
3.（2009?
黄冈）在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得
到锐角为50°，则∠B等于____
4.（2009?
泉州）如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边
AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段
DE的长为___________
5.（2010?
三明）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°．AB的垂直平分线DE
交AB于点D，交BC于点E，则下列结论不正确的是（）
A、AE=BEB、AC=BEC、CE=DED、∠CAE=∠B
１０
挚诚博大教育数学讲义
6.（2010?
巴中）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，
要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（）
A、△ABC的三条中线的交点B、△ABC三边的中垂线的交点
C、△ABC三条角平分线的交点D、△ABC三条高所在直线的交点
【知识点】1.线段的垂直平分线的作法：
AB
2.线段的垂直平分线的性质与判定：
_____________________________________________________
____
【复习检测】1.（2010?
娄底）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、
BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．
求证：
（1）FC=AD；
（2）AB=BC+AD．
A
N
M
BC
D
2.如图，AD为△ABC的角平分线，AD的垂直平分线分别交AB、AC于N、M两点，
求证：
ND∥AC。
专题三：
等腰三角形
【基础练习】
1.（2010?
无锡）下列性质中，等腰三角形具有而直角三角形不一定具有的是（）
A、两边之和大于第三边B、有一个角的平分线垂直于这个角的对边
C、有两个锐角的和等于90°D、内角和等于180°
2.（2007?
重庆）已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：
4，则这个等腰三角形顶角
１１
挚诚博大教育数学讲义
的度数为（）
A、20°或100°B、120°C、20°或120°D、36°
3.等腰三角形的一个内角是50°，则另外两个角的度数分别是
__________________________
4.已知等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为
______________________________
5.（2010?
深圳）如图所示，△ABC中，AC=AD=BD，∠DAC=80°，则∠B的度数是（）
A、40°B、35°C、25°D、20°
[能力提升]
6.（2010?
株洲）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，
如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（）
A、6B、7C、8D、9
.
7（2010?
鞍山）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=2BC，在直线BC或AC上取一
点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有（）
A、4个B、5个C、6个D、7个
8.（2010?
安徽）如图，AD是△ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出△
ABC是等腰三角形的是
________________．（把所有正确答案的序号都填写在横线上）
①∠BAD=∠ACD；②∠BAD=∠CAD；③AB+BD=AC+CD；④AB-BD=AC-CD．
9.（2010?
常州）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，BD=CE，∠DBC=
∠ECB．
求证：
AB=AC
∠，CD⊥AB与D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC
ABC
10.已知，如图，△ABC中，=45
o
于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G。
（1）求证：
BF=AC
（2）求证：
1
CEBF
2
１２
挚诚博大教育数学讲义
（3）CE与BG的大小关系如何？
试证明你的结论。
【知识点】
AA
D
E
F
GBC
BC
H
1．如图：
等腰三角形的性质：
_________________________________________
等腰三角形的判定：
_______________________________________________
2．等腰三角形的三线合一：
__________________________________________________________
整式的乘除与因式分解
整式的乘除及因式分解备课资料2011.11.07
一、整式内容的特点：
内容简洁、脉络清晰、操作性强
①同底数幂的分层练习
同底数幂的计算法则：
练习一：
52
2
2
ma3a2
5
55
2x
5
x（
）2
42
3
2
mx3m
x
1
练习三：
1、
3xax2a1x，求a．
31
x
１３
挚诚博大教育数学讲义
m
，2n16，求2mn．2、24
3，x5n，用含有m、n的代数式表示x14．
3、xm
练习四：
1、
n且m2n1，求mn．
1a2a7
m
a
2、计算
21-（-）
n+
（-x）x
2n
3、计算
（y-x）xy2n+1-（-）2n
2n+1-（-）2n
②幂的乘方分层练习计算法则：
2
例1：
（1）（10
3）5
（2）[（3]4（3）[（－6）3]4
）
3（4）（x
2）5（5）－（a2）7（6）－（as）3
（7）（x3）4·x2（8）2（x2）n－（xn）2（9）[（x2）3]7
例2
24334442323
1.
（3a）（a）－（－a）（a）（－2a）（－a）（a）
3232．若（x2）m=x8，则m=______
1.计算2×4×8
3）m]2=x12，则m=_______4若xm·x2m=2，求x9m的值。
3若[（x
5若a
2n=3，求（a3n）4的值。
③积的乘方分层练习计算法则;
例1计算：
（1）
32
（－3x）
（2）（－5ab）
（3）
22324
（）（4）
xy（－2xyz）
例2计算：
（1）
342442
aaa+（a）（－a）
（2）
3233327
2（x）x－（3x）（5x）x
（3）
n3n226n
（ab）（ab）
C．并能正确、灵活地运用三个幂的运算性质解决相关的计算和化简问题
1.
2
2011（1.5）2012（-1）2011
（）××
3
2.
1
20092009
（）8
8
１４
挚诚博大教育数学讲义
5.若
A2BC．则A、B、C按大小排序为3333,32222,5
3333,32222,5
1111
6.若
8
a7，
7
b8，则
56
56（用a、b的代数式表示）；
xy
7.已知2x5y30，求432
的值；
第二部分：
单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式.（2课时）
一、单项式乘以单项式：
单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.为了防止出现系数与
指数的混淆，同底数幂的乘法性质与幂的乘方性质的混淆等错误，同学们在初
学本节解题时，应该按法则把计算步骤写全，逐步进行计算
1．计算下列各题：
132232
y
（2）a）（4ab）（ab）
xy
2
（1）4
（2）（
2
1
（（4）
10
5）2（910）
33
（
（3）
3
1
n）
1n23n2
2xy）（xy
8
2
2．判断下列运算是否正确，错误的指出错的原因并给予改正。
１５
挚诚博大教育数学讲义
（1）
7918
714
9yyy
（2）
3aaa2236
2236
6
（3）
2xxx（4）34588
34588
（aaa2）（43）2168
2）（43）2168
3．已知代数式
11
23235）（222）4
（，
2abc）（ab）（acabc
22
求当
23
a,b3.5,c时这个代数式的值。
37
二、单项式乘以多项式
n
m
a
以数形结合的思想引入：
m
m（a+n）=ma+mn
单项式与多项式相乘法则：
就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得
的积相加.
【说明】
（1）单项式与多项式相乘，其实质就是乘法分配律的应用.
（2）在应用乘法分配律时，要注意单项式分别与多项式的每一项相
乘
（3）每一项带着前面的符号乘
下列三个计算中，哪个正确？
哪个不正确？
错在什么地方？
（1）3a（b-c+a）=3ab-c+a
（2）-2x（x
2-3x+2）=-2x3-6x2+4x
（3）2m（m
2-mn+1）=2m3-2m2n+2m
1
322342
1化简计算.
（1）（xy2xy5xy6y）xy
2
1
222
2
（2）5xxyyxyxxy
3
１６
挚诚博大教育数学讲义
11
2a2b3ab
2.先化简，再求值：
ab3b2abb3,,1.
22
3.解下列方程：
2x3x65xx2xx18
4.当x=2时，代数式ax
3+bx-7的值为5，则x=-2时，这个代数式的值为.
232
5.设m+m-1=0，求m+2m+2004的值.
6.要使x（x
2+a）+3x-2b=x3+5x+4成立，则a,b的值分别为多少？
7.若n为自然数，试说明n（2n+1）-2n（n-1）的值一定是3的倍数.
三、多项式乘以多项式：
以数形结合的思想引入：
（m+b）（n+a）=mn+ma+bn+ba
n
n
bm
a
a
mb
多项式与多项式相乘法则：
先用一个多项式的每一项乘另一个
升级会员 