高中数学解不等式方法+练习题doc.docx
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高中数学解不等式方法+练习题doc
解不等式
高考要求
要求层次重难点
不等式
一元二次不等式C解一元二次不等式
例题精讲
板块一：
解一元二次不等式
（一）
知识容
1．含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫做一元二次不等式．
一元二次不等式的解集，一元二次方程的根及二次函数图象之间的关系如下表（以
a0为例）：
判别式
0
0
0
b24ac
二次函数
yax2bxc（a0）的图象
有两相异实根
一元二次方程
x1
x2
有两相等实根
2
bx
c
0
b
b
4ac
b
ax
2
x1
没有实根
（a
0）
的根
2a
x2
2a
（x1
x2）
ax
2
bx
c
0
xx
x1
xx
R，且
b
实数集R
一元二次不
（a
0）
或x
x2
x
2a
等式的解集
ax2
bx
c
0
xx1
x
x2
（a
0）
有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决．其方法大致有：
①用一元二次方程根的判别式，②参数大于最大值或小于最小值，③变更主元利用函数与方程的思想求解．
（二）主要方法
1．解一元二次不等式通常先将不等式化为
ax2
bxc0
或
ax2
bx
c
0（a
0）
的形式，然后求
出对应方程的根（若有根的话），再写出不等式的解：
大于
0时两根之外，小于
0
时两根之间；
2．分式不等式主要是转化为等价的一元一次、一元二次或者高次不等式来处理；
3．高次不等式主要利用“序轴标根法”解．
（三）典例分析：
1.二次不等式与分式不等式求解
【例1】不等式x
1
1的解集是
．
x
2
【变式】不等式x2
2x3≤0
的解集为（
）
A．{x|x≥3或x≤1}
B．{x|1≤x≤3}
C．{x|
3≤x≤1}
D．{x|x≤3或x≥1}
【变式】不等式x
5
≥2的解集是（
）
（x
1）2
A．3，1
B．
1，3
C．
11
13
D
．
11
U
13
2
2
，U
，
，
，
2
2
2.含绝对值的不等式问题
【例2】已知nN
，则不等式
2n
0.01的解集为（
）
n
2
1
A．n|n≥199，n
N
B．n|n≥200，n
N
C．n|n≥201，n
N
D．n|n≥202，n
N
【例3】不等式x
1
1的解集为（
）
x
1
A．x|0x1Ux|x1
B．x|0x1
C．x|1x0
D．x|x0
【变式】关于x的不等式x1x2≤a2a1的解集为空集，则实数a的取值围是_．
【例4】若不等式
x
1
≥
a
21对一切非零实数
x均成立，则实数
a的最大值是
_________．
x
【例5】若不等式3xb4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b的取值围为．
3.含参数不等式问题
【例6】若关于x的不等式2x2
8x
4a
0在1
x4有解，则实数a的取值围是（
）
A．a4
B．a4
C．a12
D．a12
【变式】⑴已知a
0，则不等式x2
2ax
3a2
0
的解集为
.
⑵若不等式8x97和不等式ax
2
20的解集相同，则ab______．
bx
【例7】若不等式ax2
x
20
的解集为R，则a的围是（
）
A．a0
B
．a
1
C
．
1
D
．a0
8
a
8
【例8】若关于x的不等式ax
b
0的解集是（
，1），则关于x的不等式ax
b
0的解集为（
）
x
2
A．
，1U2，
B．（1，2）
C．（1，2）
D．
，1U2，
【例9】0
b
1
a，若关于x的不等式（x
b）2
（ax）2的解集中的整数恰有3
个，则（
）
A．1a0
B．0a1
C．1a3
D．3a6
【例10】⑴要使满足关于x的不等式2x2
9x
a0（解集非空）的每一个x至少满足不等式
x2
4x
30
和x2
6x
80中的一个，则实数a的取值围是
；
⑵已知不等式
ax2
bx
c
0的解集是x|
x
，其中
1，则不等式
aax2
bx
c
cx2
bx
a
0的解集是
．
4.解不等式与分类讨论
【例11】设mR，解关于x的不等式m2x2
2mx30．
【变式】解关于x的不等式m3x1x10（mR）．
【点评】解含参数的不等式,进行讨论时要注意对所含字母的分类要做到不重不漏.
【例12】求不等式ax
2
的解集．
2（a1）x40
【例13】解关于x的不等式a（x
1）
1（a1）
x
2
【变式】解关于x的不等式x2（aa2）xa30．
【例14】解不等式m1x2
4x1≤0.
【点评】对于二次项系数也含有参数的一元二次不等式，首先应判定二次项系数是否为零，分别加以
讨论，然后在二次项系数不为零的条件下，求出判别式0的零点，分类进行讨论.
5.与二次方程或可化为二次方程的解的问题结合，
【例15】关于x的方程ax22x10至少有一个正的实根，则a的取值围是（）
A．a≥0B．1≤a≤0C．a0或1a0D．a≥1
【例16】已知关于x的方程（m
3）x2
4mx2m
10的两根异号，且负根的绝对值比正根大，那么实
数m的取值围是（
）
A．3m0B
．0m3
C．m3或m0
D．m0或m3
【例17】有如下几个命题：
①如果x1，x2是方程ax2
bx
c0的两个实根且
x1x2，那么不等式ax2
bxc0的解集
为{x|x1x
x2}；
②当
b2
4ac0
时，二次不等式ax2
bxc0
的解集为
；
③x
a≤0与不等式（x
a）（x
b）≤0的解集相同；
x
b
④x2
2x
3与x2
2x3（x1）的解集相同．
x
1
其中正确命题的个数是（
）
A．3
B
．2
C．1
D
．0
【例18】若关于x的方程9x（4a）3x40有解，数a的取值围.
【例19】已知a
R，若关于x的方程x2
xa
1
a0有实根，则a的取值围是
．
4
6.恒成立问题
【例20】若不等式（a2）x22（a2）x40对xR恒成立，则a的取值围是______．
【变式】
f（x）ax2
A．a≤0
ax1在R上恒满足
B．a4
f（x）0，则a的取值围是（
C．4a0D．
）4
a≤0
【变式】若对于xR，不等式mx22mx30恒成立，数m的取值围．
【点评】对于有关二次不等式ax2
bxc0（或
0）的问题，可设函数f（x）ax2
bx
c，由a的符
号确定其抛物线的开口方向，再根据图象与
x轴的交点，由判别式进行解决．
【例21】⑴不等式x2
ax
1≥0对一切x
0，1
成立，则a的最小值为（
）
2
A．0
B
．2
C
．
5
D
．3
2
⑵不等式|x
3|
|x1|≤a2
3a
对任意实数x恒成立，则实数a的取值围为（
）
A．
，1U4，
B．
，2U5，
C．[1，2]
D．，1U2，
【变式】对任意a[1，1]，函数f（x）x2（a4）x42a的值恒大于零，则x的取值围为_________．
【例22】若不等式
lg2ax
在x
[1,2]时恒成立，试求
a的取值围．
lg（a
1
x）
【点评】将参数a从不等式
lg2ax
中分离出来是解决问题的关键．
lg（a
1
x）
【例23】若x，1，13xaa29x0恒成立，数a的取值围.
【例24】设fxx22ax2，当x1，时，都有fx≥a恒成立，求a的取值围.
4a1
2a
a
1
2
【例25】设对所有实数
x，不等式x2
2xlog2
0
恒成立，求a的取值围.
log2
log2
2
a
a1
4a
【例26】已知不等式ax24x1≥2x2a对任意实数恒成立，数a的取值围．
【例27】已知关于x的不等式x2xt0对xR恒成立，则t的取值围是．
【例28】如果|x1|
|x9|a对任意实数
x恒成立，则a的取值围是（
）
A．{a|a8}
B．{a|a8}
C．{a|a≥8}D．{a|a≤8}
【例29】在R上定义运算
：
xyx（1
y）．若不等式（x
a）（x
a）1对任意实数
x成立，
则（
）
A．1a1
B．0a2
C．
1
3
D．
3
1
2
a
a
2
2
2
【例30】设不等式x22axa2≤0的解集为M，如果M[1,4]，数a的取值围．
【点评】若将本题改为：
[1,4]
M，求a的取值围，则本题等价于：
当x
[1,4]时，x2
2ax
a
2≤0
恒成立，求a的取值围．
可以通过讨论对应二次函数的对称轴，或者在不等式中将
a解出，通过求出对应的代数式的
取值围解决此问题．
仅用第二种方法略解如下：
x2
2ax
a
2
（1
2x）a
x2
2≤0
，故（2x
1）a≥x2
2，
∵x
[1,4]，∴
2x
1≥1
0，从而要满足题意，只需
a≥x2
2，对x
[1,4]恒成立即可．
2x
1
故要求x2
2
在x
[1,4]时的最大值，令t
2x1[1,7]，
2x
1
1
2
则
x2
2
4（t1）
2
t2
2t911
9
2x1
t
4t
（t
），
24
t
由对勾函数的单调性知：
上式在
t
1或t
7时取到最大值．
比较知：
当t
1时，上式有最大值
3
，
故当a≥3时，有x2
2ax
a
2≤0
对x
[1,4]恒成立．
即a的取值围为[3,
）．
板块二：
解不等式综合问题
（一）典例分析：
1.利用函数单调性解不等式
【例31】解不等式：
logx1（6xx2）2．
【变式】解关于x的不等式：
logx3（x2
3x4）0．
2.解不等式与函数综合问题
【例32】已知函数f（x）x3
ax2
b（a，bR）
⑴若函数f（x）图象上任意一点处的切线的斜率小于
1，求证：
3a3；
⑵若x0，1，函数y
f（x）图象上任意一点处的切线的斜率为
k，试讨论k≤1的充要条件．
【备注】为了缩小讨论围，本题可以一开始将x1代入3x22ax≤1中，解得1≤a≤2，再进行讨
论．本题讨论过程中的充要条件的得出结合二次函数的图象会比较容易理解，配图略．
【例33】⑴求函数f（x）
12x3x2
lg（15x2
2x
1）的定义域．
⑵（省上杭二中
08－09学年单元质量检查必修
5数学试题）
如果关于x的不等式2kx2
kx
3
0对一切实数x都成立，则k的取值围是
．
8
⑶（省上杭二中
08－09学年单元质量检查必修
5数学试题）
设f（x）3ax
2a1，若存在x0
（
1,1）
，使
f（x0）0，则实数a的取值围是（
）
1
B．a1或a
1
C
1
A．1a
5
．a1D．a
5
5
【例34】已知函数f（x）x1g（x21x），若不等式f（m3x）f（3x9x2）0对任意xR恒成立，
数m的取值围．
【例35】已知不等式
1
1
L
1
1
logaa1
2对于一切大于
1的自然数n都成立，试数a
n
1
n
2
2n
12
3
的取值围.
【例36】已知二次函数f（x）ax2x，如果x[0,1]时|f（x）|≤1，数a的取值围．
【点评】在闭区间[0,1]上使|f（x）|≤1分离出a，然后讨论关于1的二次函数在[1,）上的单调性．
x
【例37】设二次函数fxax2
bxca，b，cR，a0满足条件：
⑴当xR时，fx4
f2x，且fx≥x；
2
⑵当x
0，2时，fx≤x1
2
⑶fx在R上的最小值为0.
求最大的mm1，使得存在tR，只要x1，m，就有fxt≤x.
【点评】本题所用方法为先根据已知条件求出m小于某个数，再验证m是否可取到此值，若能取到，则此值为m的最大值．
【例38】设a为实数，函数fx2x2xaxa．
⑴若f0≥1，求a的取值围；
⑵求fx的最小值．
【变式】设函数hx
fx，x
a，
，直接写出（不需给出演算步骤）不等式
hx≥1的解集．
．．．．
【备注】本题是卷的文理科必做题的最后一题，文理不分卷，但根据学生的不同有些学生另有选做题，包括选考容与排列组合、空间向量等．
本题⑶问相当有难度，思路分析如下：
h（x）
3x2
2axa2（xa），h（x）≥1
3x2
2ax
a2
1≥0．
对应的一元二次方程
3x2
2ax
a2
1
0的判别式
4（3
2a2），
①当
≤0
，即a
，
6
U
6
时，不等式的解集为
（a，
）；
2
，
2
②当
0，即a
6，6
时，记小根x1
a
3
2a2
，大根x2
a32a2
，
2
2
3
3
当a≥x2，即a≥
2时，不等式的解集为
（a，
）；
2
当x1
≤a
x2，即
2≤a
2时，不等式的解集为
[x2，
）；
2
2
当a
x1，即a
2时，不等式的解集为
（a，x1]U[x2，
）．
2
综上可得答案．
【例39】已知集合D
x1，x2
|x1
0，x2
0，x1
x2
k（其中k为正常数）.
⑴设ux1x2，求u的取值围；
1
1
≤k
2
2
⑵求证：
当k≥1
时不等式
x1
x2
对任意x1，x2
D恒成立；
x1
x2
2
k
1
1
≥k
2
2
⑶求使不等式
x1
x2
对任意
x1，x2
D恒成立的k2的围.
x1
x2
2
k
【例40】如果f（x）在某个区间I满足：
对任意的x1，x2I，都有
1
[f（x1）f（x2）]≥f
x1x2，则称f（x）
2
2
在I上为下凸函数；已知函数f（x）
1
alnx．
x
⑴证明：
当a0时，f（x）在（0，
）上为下凸函数；
⑵若f（x）为f（x）的
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