著名机构五升六数学奥数讲义等差数列.docx
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著名机构五升六数学奥数讲义等差数列
等差数列
学生姓名
年级
学科
授课教师
日期
时段
核心内容
等差数列
课型
一对一/一对N
教学目标
认识等差数列,认识首项、通项、项数、公差和相应公式,求和公式
重、难点
等差数列的解答
课首沟通
和学生交谈。
了解学生是否接触过等差数列。
引起学生好奇心,增强学习兴趣
知识梳理
若干个数排成一列称为数列。
数列中的每一个数称为一项。
其中第一项称为首项。
最后一项称为末项。
数列中项的个数称为项数。
从第二项开始,后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列。
后项与前项的差称为公差。
在这一讲要用到两个非常重要的公式:
“通项公式”和“项数公式”。
通项公式:
第n项=首项+(项数-1)×公差
项数公式:
项数=(末项-首项)÷公差+1
导学一:
求项数
知识点讲解1:
项数公式:
项数=(末项-首项)÷公差+1
例1.有一个数列:
4,10,16,22.…,52这个数列共有多少项?
我爱展示
1.等差数列中,首项=1、末项=39、公差=2,这个等差数列共有多少项?
2.有一个等差数列:
2、5、8、11、…,101这个等差数列共有多少项?
3.已知等差数列11、16、21、26、…,1001这个等差数列共有多少项?
导学二:
求通项
知识点讲解1:
第n项=首项+(项数-1)×公差
例1.有一等差数列:
3、7、11、15、……,这个等差数列的第100项是多少?
我爱展示
1.一等差数列,首项=3,公差=2,项数=10,它的末项是多少?
2.求1、4、7、10……这个等差数列的第30项。
3.求等差数列2、6、10、14……的第100项
导学三:
求数列之和
知识点讲解1:
如果我们把1、2、3、4、…、99、100与列100、99、…、3、2、1相加,则得到(1+100)+(2+99)+(3+98)+…
+(99+2)+(100+1),其中每个小括号内的两个数的和都是101,一共有100个101相加,所得的和就是所求数列的和的2倍,再除以2就是所求数列的和。
1+2+3+…+99+100=(1+100)×100÷2=5050
上面的数列是一个等差数列,经研究发现,所有的等差数列都可以用下面的公式求和:
等差数列总和=(首项+末项)×项数÷2这个公式也叫做等差数列求和公式。
例1.求等差数列2,4,6,…,48,50的和
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1.2+6+10+14+18+22
2.5+10+15+20+…+195+200
3.9+18+27+36+…+261+270
导学四:
多个数列求和
例1.计算(2+4+6+…+100)-(1+3+5+…+99)
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1.(2001+1999+1997+1995)-(2000+1998+1996+1994)
2.(2+4+6+…+2000)-(1+3+5+…+1999)
3.(1+3+5+…+1999)-(2+4+6+…+1998)
导学五:
等差数列解答
知识点讲解1:
某些问题,可以转化为求若干个数的和,在解决这些问题时,同样要先判断是否求某个等差数列的和。
如果是等差数列求和,才可用等差数列求和公式。
在解决自然数的数字问题时,应根据题目的具体特点,有时可考虑将题中的数适当分组,并将每组中的数合理配对,使问题得以顺利解决。
例1.刘俊读一本长篇小说,他第一天读30页,从第二天起,他每天读的页数都前一天多3页,第11天读了60页,正好读完。
这本书共有多少页?
例2.某班有51个同学,毕业时每人都和其他的每个人握一次手。
那么共握了多少次手?
例3.有一些锁的钥匙搞乱了,已知至多要试28次,就能使每把锁都配上自己的钥匙。
一共有几把锁的钥匙搞乱了?
例4.求1~99这99个连续自然数的所有数字之和。
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1.刘师傅做一批零件,第一天做了30个,以后的每天都比前一天多做2个,第15天做了58个,正好做完。
这批零件共有多少个?
2.胡茜读一本故事书,她第一天读了20页,从第二天起,每天读的页数都比前一天多5页。
最后一天读了50页恰好读完,这本书共有多少页?
3.丽丽学英语单词,第一天学会了6个,以后每天都比前一天多学1个,最后一天学会了16个。
丽丽在这些天中学会了多少个英语单词?
4.有80把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多要试多少次?
5.有10只盒子,44只羽毛球。
能不能把44只羽毛球放到盒子中去,使各个盒子里的羽毛球只数不相等?
6.在一次同学聚会中,一共到43位同学和4位老师,每一位同学或老师都要和其他同学握一次手。
那么一共握了多少次手?
7.假期里有一些同学相约每人互通两次电话,他们一共打了78次电话,问有多少位同学相约互通电话?
8.求1~199这199个连续自然数的所有数字之和。
9.求1~999这999个连续自然数的所有数字之和。
10.求1~3000这3000个连续自然数的所有数字之和。
课后作业
1.有一串数:
1、4、7、10、……求它的第100项
2.1+2+3-4-5-6+7+8+9-10-11-12+……+182+183
3.在小于100的自然数中,被7除余3的数的和是多少?
4.红光电影院有22排座位,后一排都比前一排多2个座位,最后一排42个座位。
那么这个电影院一共有多少个座位?
5.小明和小强比赛口算,计算:
1+2+3+4+……,当计算到规定的那个加数时,小明的得数是60,小强的得数是66,老师说他们两人的得数有一个错了。
问:
他们谁算错了,错在哪里?
6.100这个自然数最多能写成多少个不同的自然数的和?
7.
每相邻的3个圆点组成一个小三角形,如图,问图中这样的小三角形个数多还是圆点个数多?
8.
一堆相同的立方体堆积如图,第1层1个,第2层3个,第3层6个,…第10层有多少个?
9.能不能把44颗花生分给10只猴子,使每只猴子分的花生颗数都不同?
10.若干个同样的盒子排成一排,小明把50多个同样的棋子分装在盒子中。
其中只有一个盒子是空的,然后他外出了,小光从每个有棋子的盒子里各拿了一个棋子放在空盒子内,再把盒子重新排了一下,小明回来没有发现有人动过棋子,问共有多少个盒子?
多少棋子?
11.[单选题](2012年大联考题)1000+999-998-997+996+…+104+103-102-101=()A.225B.900C.1000D.4000
12.[单选题](2013年大联考题)一列数1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…中的第34个数为()。
A.6B.7C.8D.9
13.(2014年小联考题)一种新的运算,已2*3=2+3+4=9,4*2=4+5=9,3*4=3+4+5+6=18,则7*6=。
14.(2007年大联考题)电视台要播放一部30集电视连续剧,如果要求每天安排播出的集数互不相等,该电视剧最多可以播放()天.
15.[单选题](2011年中大附模拟试题)如右图,图中有()条线段。
A.5B.10C.15D.20
16.(11届希望杯五年级)将100块糖分成5份,使每一份的数量依次多2,那么最少的一份有糖块,最多的一份有糖块。
17.(11届希望杯五年级)有26个连续的自然数,如果前13个数的和是247,那么,后13个数的和是
18.(第二届卓越杯五年级)1+3+5+…+99=()
19.(第九届希望杯四年级第一试)计算:
1+11+21+…+1991+2001+2011=.
20.(第十届希望杯四年级第一试)小兰将连续偶数2、4、6、8、10、12、14、16、…逐个相加,得结果2012.验算时发现漏加了一个数,那么,这个漏加的数是()
21.(第13届希望杯培训题)2015-2014+2013-2012+…+3-2+1。
22.(第13届希望杯培训题)5个连续奇数的和是2015,求其中最大的奇数。
23.(第13届希望杯培训题)一堆木材的最上层有12根,最下层有26根。
每相邻两层中下层比上层多1根,问:
这堆木材有多少根?
24.(第13届希望杯培训题)若连续8个偶数的和为2008,则这8个偶数中,最小的是多少?
1、完成本堂课的课后作业
2、本堂课中的错题要写到错题本上,下节课会对错题进行练习。
导学一
知识点讲解1:
项数公式:
项数=(末项-首项)÷公差+1例题
1.9
解析:
项数=(52-4)÷6+1=9,即这个数列共有9项。
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1.20
解析:
(39-1)÷2+1=202.34
解析:
(101-2)÷3+1=343.199
解析:
(1001-11)÷5+1=199
导学二
知识点讲解1:
第n项=首项+(项数-1)×公差例题
1.399
解析:
3+4×(100-1)=399
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1.21
解析:
3+(10-1)×2=212.88
解析:
1+(30-1)×3=883.398
解析:
2+(100-1)×4=398
导学三
知识点讲解1:
例题
1.650.
解析:
项数:
(50-2)÷2+1=25总和:
(2+50)×25÷2=650.
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1.72
解析:
(2+22)×6÷2=722.4100
解析:
(200-5)÷5+1=40;(5+200)×40÷2=41003.4185
解析:
(9+270)×30÷2=4185
导学四例题
1.50
解析:
(2+4+6+…+100)-(1+3+5+…+99)
=(2+100)×50÷2-(1+99)×50÷2
=102×50÷2-100×50÷2
=50
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1.4
解析:
(2001-2000)+(1999-1998)+(1997-1996)+(1995-1994)=42.1000
解析:
(2+2000)×1000÷2-(1+1999)×1000÷2=10003.1000
解析:
(1+1999)×1000÷2-(2+1998)×999÷2=1000
导学五
知识点讲解1:
例题
1.495
解析:
根据条件“他每天读的页数都比前一天多3页”可以知道他每天读的页数是按一定规律排列的数,即30、33、36、
……57、60。
要求这本书共多少页也就是求出这列数的和。
这列数是一个等差数列,首项=30,末项=60,项数=11.因此可以很快得解:
(30+60)×11÷2=495(页)
2.1275
解析:
假设51个同学排成一排,第一个人依次和其他人握手,一共握了50次,第二个依次和剩下的人握手,共握了49次,第三个人握了48次。
依次类推,第50个人和剩下的一人握了1次手,这样,他们握手的次数和为:
50+49+48+…+2+1=(50+1)×50÷2=1275(次)
3.8
解析:
先求28×2=56,再推算56=7×(7+1),确定项数7+1=84.900
解析:
(9+9)×(100÷2)=900。
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1.660
解析:
(30+58)×15÷2=6602.245
解析:
(20+50)×7÷2=2453.121
4.3160
解析:
79+78+……+3+2+1=3160
5.不能
6.1075
解析:
4×43+(42+41+……+3+2+1)=10757.13
解析:
78×2=156156=12×(12+1)12+1=13
8.1900
解析:
(1+9+9)×(200÷2)=19009.13500
解析:
(9+9+9)×(1000÷2)=1350010.43503
解析:
(2+9+9+9)×(3000÷2)+3=43503
课后作业
1.298
2.276
解析:
3.679
解析:
4.352
解析:
先求项数:
(42-22)÷2+1=11,再求和:
(22+42)×11÷2=3525.小明算错
解析:
小明是这样算的:
(1+11)×10÷2=60.项数是11,他理解为10。
所以算错。
6.13
解析:
因为(1+13)×13÷2=9191+9=100
列举如下:
1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、227.三角形多
解析:
圆点:
(1+10)×10÷2=55三角形:
(1+17)×9÷2=818.55
解析:
因为第一层是1、第二层是3=1+2、第三层6=1+2+3、…所以发现规律,第十层:
1+2+3+…+9+10=(1+10)×10÷2=55
9.不能
解析:
因为1+2+3+…+10=55,所以44不能分成10个不同的自然数10.11;55
解析:
因为1+2+3+…+9+10=(1+10)×10÷2=55,小光每个盒子拿出一个棋子,就有10个,放在空盒子里,这样之前的空盒子变成了装10个的盒子,之前装一个棋子的盒子变成了空盒子,把顺序排好,所以小明没有发现有人动过棋子。
11.B
解析:
1000+999-998-997+996+…+104+103-102-101
=(1000+999-998-997)+(996+…+(104+103-102-101)
=900÷4×4
=90012.C
解析:
因为1出现1次,2出现2次,3出现3次,以此类推,发现规律,所以1+2+3+4+5+6+7+8=36,第34个数字是8
13.57
解析:
因为有规律知道,7开头,6个连续自然数的和,所以7+8+9+10+11+12=5714.7
解析:
1+2+3+4+5+6+9=30列举如下:
1、2、3、4、5、6、915.B
解析:
指导学生数线段的方法,以A为起点,有4段,以B为起点有3段,以C为起点有2段,以D为起点有1段,所以4+3+2+1=10。
16.16、24
解析:
100-(2+4+6+8)=80,最小:
80÷5=16,最大:
16+8=2417.416
解析:
前13个数的和为247,所以后13个数的和是247+(1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23+25)=41618.2500
19.203212
解析:
(1+2011)×202÷2=20321220.58
解析:
这道题可以用尝试法进行推理,因为(2+90)×45÷2=20702070-2012=5821.1008
解析:
2015-2014+2013-2012+…+3-2+1=(2015-2014)+(2013-2012)+…+(3-2)+1
=1×1007+1
=1008
22.407
解析:
奇数个等差数列,中间数=数列之和÷数列项数,所以中间数:
2015÷5=403,所以最大数:
403+4=40723.285
解析:
24.244
解析:
2008-(2+4+6+8+10+12+14)=1952,1952÷8=244