著名机构五升六数学奥数讲义等差数列.docx

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著名机构五升六数学奥数讲义等差数列

等差数列

学生姓名

年级

学科

授课教师

日期

时段

核心内容

等差数列

课型

一对一/一对N

教学目标

认识等差数列，认识首项、通项、项数、公差和相应公式，求和公式

重、难点

等差数列的解答

课首沟通

和学生交谈。

了解学生是否接触过等差数列。

引起学生好奇心，增强学习兴趣

知识梳理

若干个数排成一列称为数列。

数列中的每一个数称为一项。

其中第一项称为首项。

最后一项称为末项。

数列中项的个数称为项数。

从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列。

后项与前项的差称为公差。

在这一讲要用到两个非常重要的公式：

“通项公式”和“项数公式”。

通项公式：

第n项=首项+（项数－1）×公差

项数公式：

项数=（末项－首项）÷公差＋1

导学一：

求项数

知识点讲解1：

项数公式：

项数=（末项－首项）÷公差＋1

例1.有一个数列：

4，10，16，22.…，52这个数列共有多少项？

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1.等差数列中，首项=1、末项=39、公差=2，这个等差数列共有多少项？

2.有一个等差数列：

2、5、8、11、…，101这个等差数列共有多少项？

3.已知等差数列11、16、21、26、…，1001这个等差数列共有多少项？

导学二：

求通项

知识点讲解1：

第n项=首项+（项数－1）×公差

例1.有一等差数列：

3、7、11、15、……，这个等差数列的第100项是多少？

我爱展示

1.一等差数列，首项=3，公差=2，项数=10，它的末项是多少？

2.求1、4、7、10……这个等差数列的第30项。

3.求等差数列2、6、10、14……的第100项

导学三：

求数列之和

知识点讲解1:

如果我们把1、2、3、4、…、99、100与列100、99、…、3、2、1相加，则得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+…

+（99+2）+（100+1），其中每个小括号内的两个数的和都是101，一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2就是所求数列的和。

1+2+3+…+99+100=（1+100）×100÷2=5050

上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可以用下面的公式求和：

等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2这个公式也叫做等差数列求和公式。

例1.求等差数列2，4，6，…，48，50的和

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1.2+6+10+14+18+22

2.5+10+15+20+…+195+200

3.9+18+27+36+…+261+270

导学四：

多个数列求和

例1.计算（2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99）

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1.（2001+1999+1997+1995）－（2000+1998+1996+1994）

2.（2+4+6+…+2000）－（1+3+5+…+1999）

3.（1+3+5+…+1999）－（2+4+6+…+1998）

导学五：

等差数列解答

知识点讲解1:

某些问题，可以转化为求若干个数的和，在解决这些问题时，同样要先判断是否求某个等差数列的和。

如果是等差数列求和，才可用等差数列求和公式。

在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。

例1.刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读的页数都前一天多3页，第11天读了60页，正好读完。

这本书共有多少页？

例2.某班有51个同学，毕业时每人都和其他的每个人握一次手。

那么共握了多少次手？

例3.有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次，就能使每把锁都配上自己的钥匙。

一共有几把锁的钥匙搞乱了？

例4.求1～99这99个连续自然数的所有数字之和。

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1.刘师傅做一批零件，第一天做了30个，以后的每天都比前一天多做2个，第15天做了58个，正好做完。

这批零件共有多少个？

2.胡茜读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5页。

最后一天读了50页恰好读完，这本书共有多少页？

3.丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学1个，最后一天学会了16个。

丽丽在这些天中学会了多少个英语单词？

4.有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？

5.有10只盒子，44只羽毛球。

能不能把44只羽毛球放到盒子中去，使各个盒子里的羽毛球只数不相等？

6.在一次同学聚会中，一共到43位同学和4位老师，每一位同学或老师都要和其他同学握一次手。

那么一共握了多少次手？

7.假期里有一些同学相约每人互通两次电话，他们一共打了78次电话，问有多少位同学相约互通电话？

8.求1～199这199个连续自然数的所有数字之和。

9.求1～999这999个连续自然数的所有数字之和。

10.求1～3000这3000个连续自然数的所有数字之和。

课后作业

1.有一串数：

1、4、7、10、……求它的第100项

2.1+2+3-4-5-6+7+8+9-10-11-12+……+182+183

3.在小于100的自然数中,被7除余3的数的和是多少?

4.红光电影院有22排座位，后一排都比前一排多2个座位，最后一排42个座位。

那么这个电影院一共有多少个座位？

5.小明和小强比赛口算，计算：

1+2+3+4+……，当计算到规定的那个加数时，小明的得数是60，小强的得数是66，老师说他们两人的得数有一个错了。

问：

他们谁算错了，错在哪里？

6.100这个自然数最多能写成多少个不同的自然数的和？

7.

每相邻的3个圆点组成一个小三角形，如图，问图中这样的小三角形个数多还是圆点个数多？

8.

一堆相同的立方体堆积如图，第1层1个，第2层3个，第3层6个，…第10层有多少个？

9.能不能把44颗花生分给10只猴子，使每只猴子分的花生颗数都不同？

10.若干个同样的盒子排成一排，小明把50多个同样的棋子分装在盒子中。

其中只有一个盒子是空的，然后他外出了，小光从每个有棋子的盒子里各拿了一个棋子放在空盒子内，再把盒子重新排了一下，小明回来没有发现有人动过棋子，问共有多少个盒子？

多少棋子？

11.[单选题]（2012年大联考题）1000+999-998-997+996+…+104+103-102-101=（）A.225B.900C.1000D.4000

12.[单选题]（2013年大联考题）一列数1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…中的第34个数为（）。

A.6B.7C.8D.9

13.（2014年小联考题）一种新的运算，已2*3=2+3+4=9,4*2=4+5=9,3*4=3+4+5+6=18，则7*6=。

14.（2007年大联考题）电视台要播放一部30集电视连续剧，如果要求每天安排播出的集数互不相等,该电视剧最多可以播放（）天．

15.[单选题]（2011年中大附模拟试题）如右图，图中有（）条线段。

A.5B.10C.15D.20

16.（11届希望杯五年级）将100块糖分成5份，使每一份的数量依次多2，那么最少的一份有糖块，最多的一份有糖块。

17.（11届希望杯五年级）有26个连续的自然数，如果前13个数的和是247，那么，后13个数的和是

18.（第二届卓越杯五年级）1+3+5+…+99=（）

19.（第九届希望杯四年级第一试）计算：

1+11+21+…+1991+2001+2011=．

20.（第十届希望杯四年级第一试）小兰将连续偶数2、4、6、8、10、12、14、16、…逐个相加，得结果2012.验算时发现漏加了一个数，那么，这个漏加的数是（）

21.（第13届希望杯培训题）2015-2014+2013-2012+…+3-2+1。

22.（第13届希望杯培训题）5个连续奇数的和是2015，求其中最大的奇数。

23.（第13届希望杯培训题）一堆木材的最上层有12根，最下层有26根。

每相邻两层中下层比上层多1根，问：

这堆木材有多少根？

24.（第13届希望杯培训题）若连续8个偶数的和为2008，则这8个偶数中，最小的是多少？

1、完成本堂课的课后作业

2、本堂课中的错题要写到错题本上，下节课会对错题进行练习。

导学一

知识点讲解1：

项数公式：

项数=（末项－首项）÷公差＋1例题

1.9

解析:

项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。

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1.20

解析:

（39-1）÷2+1=202.34

解析:

（101-2）÷3+1=343.199

解析:

（1001-11）÷5+1=199

导学二

知识点讲解1：

第n项=首项+（项数－1）×公差例题

1.399

解析:

3+4×（100－1）=399

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1.21

解析:

3+（10-1）×2=212.88

解析:

1+（30-1）×3=883.398

解析:

2+（100-1）×4=398

导学三

知识点讲解1:

例题

1.650.

解析:

项数：

（50－2）÷2+1=25总和：

（2+50）×25÷2=650.

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1.72

解析:

（2+22）×6÷2=722.4100

解析:

（200-5）÷5+1=40；（5+200）×40÷2=41003.4185

解析:

（9+270）×30÷2=4185

导学四例题

1.50

解析:

（2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99）

=（2+100）×50÷2-（1+99）×50÷2

=102×50÷2-100×50÷2

=50

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1.4

解析:

（2001-2000）+（1999-1998）+（1997-1996）+（1995-1994）=42.1000

解析:

（2+2000）×1000÷2-（1+1999）×1000÷2=10003.1000

解析:

（1+1999）×1000÷2-（2+1998）×999÷2=1000

导学五

知识点讲解1:

例题

1.495

解析:

根据条件“他每天读的页数都比前一天多3页”可以知道他每天读的页数是按一定规律排列的数，即30、33、36、

……57、60。

要求这本书共多少页也就是求出这列数的和。

这列数是一个等差数列，首项=30，末项=60，项数=11.因此可以很快得解：

（30＋60）×11÷2=495（页）

2.1275

解析:

假设51个同学排成一排，第一个人依次和其他人握手，一共握了50次，第二个依次和剩下的人握手，共握了49次，第三个人握了48次。

依次类推，第50个人和剩下的一人握了1次手，这样，他们握手的次数和为：

50＋49＋48＋…＋2＋1=（50＋1）×50÷2=1275（次）

3.8

解析:

先求28×2=56，再推算56=7×（7+1），确定项数7+1=84.900

解析:

（9+9）×（100÷2）=900。

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1.660

解析:

（30+58）×15÷2=6602.245

解析:

（20+50）×7÷2=2453.121

4.3160

解析:

79+78+……+3+2+1=3160

5.不能

6.1075

解析:

4×43+（42+41+……+3+2+1）=10757.13

解析:

78×2=156156=12×（12+1）12+1=13

8.1900

解析:

（1+9+9）×（200÷2）=19009.13500

解析:

（9+9+9）×（1000÷2）=1350010.43503

解析:

（2+9+9+9）×（3000÷2）+3=43503

课后作业

1.298

2.276

解析:

3.679

解析:

4.352

解析:

先求项数：

（42-22）÷2+1=11，再求和：

（22+42）×11÷2=3525.小明算错

解析:

小明是这样算的：

（1+11）×10÷2=60.项数是11，他理解为10。

所以算错。

6.13

解析:

因为（1+13）×13÷2=9191+9=100

列举如下：

1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、227.三角形多

解析:

圆点：

（1+10）×10÷2=55三角形：

（1+17）×9÷2=818.55

解析:

因为第一层是1、第二层是3=1+2、第三层6=1+2+3、…所以发现规律，第十层：

1+2+3+…+9+10=（1+10）×10÷2=55

9.不能

解析:

因为1+2+3+…+10=55，所以44不能分成10个不同的自然数10.11；55

解析:

因为1+2+3+…+9+10=（1+10）×10÷2=55，小光每个盒子拿出一个棋子，就有10个，放在空盒子里，这样之前的空盒子变成了装10个的盒子，之前装一个棋子的盒子变成了空盒子，把顺序排好，所以小明没有发现有人动过棋子。

11.B

解析:

1000+999-998-997+996+…+104+103-102-101

=（1000+999-998-997）+（996+…+（104+103-102-101）

=900÷4×4

=90012.C

解析:

因为1出现1次，2出现2次，3出现3次，以此类推，发现规律，所以1+2+3+4+5+6+7+8=36，第34个数字是8

13.57

解析:

因为有规律知道，7开头，6个连续自然数的和，所以7+8+9+10+11+12=5714.7

解析:

1+2+3+4+5+6+9=30列举如下：

1、2、3、4、5、6、915.B

解析:

指导学生数线段的方法，以A为起点，有4段，以B为起点有3段，以C为起点有2段，以D为起点有1段，所以4+3+2+1=10。

16.16、24

解析:

100－（2+4+6+8）=80，最小：

80÷5=16,最大：

16+8=2417.416

解析:

前13个数的和为247，所以后13个数的和是247+（1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23+25）=41618.2500

19.203212

解析:

（1+2011）×202÷2=20321220.58

解析:

这道题可以用尝试法进行推理，因为（2+90）×45÷2=20702070－2012=5821.1008

解析:

2015-2014+2013-2012+…+3-2+1=（2015-2014）+（2013-2012）+…+（3-2）+1

=1×1007+1

=1008

22.407

解析:

奇数个等差数列，中间数=数列之和÷数列项数，所以中间数：

2015÷5=403，所以最大数：

403+4=40723.285

解析:

24.244

解析:

2008－（2+4+6+8+10+12+14）=1952，1952÷8=244