高中数学同步题库含详解68直线与圆锥曲线.docx

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高中数学同步题库含详解68直线与圆锥曲线

高中数学同步题库含详解68直线与圆锥曲线

一、选择题（共40小题；共200分）

1.已知方程表示的图形是双曲线，那么的取值范围为

A.B.或

C.或D.

2.过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，与双曲线的渐近线交于，两点，若，则双曲线离心率的取值范围为

A.B.C.D.

3.已知椭圆与直线只有一个公共点，且椭圆的离心率为，则椭圆的方程为

A.B.C.D.

4.已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，则的最小值为

A.B.C.D.

5.已知是双曲线：

的右焦点，是上一点，且与轴垂直，点的坐标是．则的面积为

A.B.C.D.

6.如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于，交其准线于点，若，且，则

A.B.C.D.

7.已知为双曲线上任一点，过点向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为，，则的值为

A.B.

C.D.与点的位置有关

8.设直线与椭圆的交点为，，点为椭圆上的动点，则使的面积为的点的个数为

A.B.C.D.

9.已知直线与双曲线：

交于，两点，且中点的横坐标为，过且与直线垂直的直线过双曲线的右焦点，则双曲线的离心率为

A.B.C.D.

10.已知直线过抛物线的焦点，且与的对称轴垂直，与交于，两点，，为的准线上一点，则的面积为

A.B.C.D.

11.已知点在曲线：

上，过原点，且与轴的另一个交点为，若线段，和曲线上分别存在点，点和点，使得四边形（点，，，顺时针排列）是正方形，则称点为曲线的“完美点”，那么下列结论中正确的是

A.曲线上不存在“完美点”

B.曲线上只存在一个“完美点”，其横坐标大于

C.曲线上只存在一个“完美点”，其横坐标大于且小于

D.曲线上存在两个“完美点”，其横坐标均大于

12.点为直线上任一点，，，则下列结论正确的是

A.

B.

C.

D.以上都有可能

13.已知以，为焦点的椭圆与直线有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为

A.B.C.D.

14.已知抛物线，过焦点作直线与抛物线交于点，（点在轴下方），点与点关于轴对称，若直线斜率为，则直线的斜率为

A.B.C.D.

15.过双曲线的左焦点作直线与双曲线交于，两点，使得，若这样的直线有且仅有两条，则的取值范围是

A.B.

C.D.

16.过抛物线的焦点，且斜率为的直线交于点（在轴上方），为的准线，点在上，且，则到直线的距离为

A.B.C.D.

17.过椭圆内一点，且被这点平分的弦所在直线的方程是

A.B.C.D.

18.椭圆的焦点，，为椭圆上一点，已知，则的面积为

A.B.C.D.

19.已知抛物线的焦点为，过焦点的直线交抛物线于，两点，为坐标原点，若，则的面积为

A.B.C.D.

20.已知，是双曲线的左、右焦点，若直线与双曲线交于，两点，且四边形是矩形，则双曲线的离心率为

A.B.C.D.

21.已知抛物线和动直线（，是参变量，且，）相交于，两点，直角坐标系原点为，记直线，的斜率分别为恒成立，则当变化时直线恒经过的定点为

A.B.C.D.

22.已知双曲线，直线交双曲线于，两点，若线段的中点坐标为，则的方程为

A.B.C.D.

23.已知双曲线的右顶点为，过右焦点的直线与的一条渐近线平行，交另一条渐近线于点，则

A.B.C.D.

24.过抛物线焦点的直线与双曲线的一条渐近线平行，并交其抛物线于，两点，若，且，则抛物线方程为

A.B.C.D.

25.直线与椭圆相交于，两点，该椭圆上点使得面积为，这样的点共有个．

A.B.C.D.

26.若直线与抛物线相交于，两点，则等于

A.B.C.D.

27.设，是双曲线的两个焦点，若曲线上存在一点与关于曲线的一条渐近线对称，则双曲线的离心率是

A.B.C.D.

28.已知椭圆，以及椭圆内一点，则以为中心的弦所在的直线斜率为

A.B.C.D.

29.已知为坐标原点，双曲线上有一点，过点作双曲线的两条渐近线的平行线，与两渐近线的交点分别为，，若平行四边形的面积为，则双曲线的离心率为

A.B.C.D.

30.已知抛物线与点，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点，若，则

A.B.C.D.

31.为过椭圆的中心的弦，为它的右焦点，则的最大面积为

A.B.C.D.

32.已知抛物线的焦点为点，过焦点的直线交该抛物线于，两点，为坐标原点，若的面积为，则

A.B.C.D.

33.双曲线与椭圆的焦点相同，若过右焦点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有两个不同交点，由此双曲线实半轴长的取值范围是

A.B.C.D.

34.直线与交于，两点，的中点坐标为，那么直线的方程为

A.B.

C.D.

35.过双曲线的一个焦点作直线交双曲线于，两点，若，则这样的直线有

A.条B.条C.条D.条

36.已知以抛物线的焦点为虚轴的一个端点的双曲线的标准方程为，抛物线的一条与双曲线的渐近线平行的切线在轴上的截距为，则的值为

A.B.C.D.

37.抛物线的焦点为，过焦点且倾斜角为的直线与抛物线相交于，两点，若，则抛物线的方程为

A.B.C.D.

38.已知抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，若点，则的最小值为

A.B.C.D.

39.已知“若点在双曲线上，则在点处的切线方程为”，现已知双曲线和点，过点作双曲线的两条切线，切点分别为，，则直线过定点

A.B.C.D.

40.已知椭圆的一个顶点为，直线与椭圆交于，两点，若的左焦点为的重心，则直线的方程为

A.B.

C.D.

二、填空题（共40小题；共200分）

41.过椭圆的焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的弦长是 ．

42.已知双曲线，直线与双曲线的右支交于，两点（在的上方），且与轴交于点，则的取值范围为 ．

43.在椭圆，经过点，且被这点平分的弦所在的直线方程为 ．

44.椭圆的内接正方形的周长为 ．

45.在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，点在抛物线上，且直线与的斜率之积等于，则 ．

46.已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过的直线与相交于，两点．若的中点为，则双曲线的标准方程为 ．

47.已知椭圆：

与双曲线：

有公共的焦点，双曲线的一条渐近线与以椭圆的长轴为直径的圆相交于，两点，与椭圆交于，两点，若，则椭圆的标准方程是 ．

48.已知抛物线，过抛物线焦点且倾斜角为的直线与抛物线交于，两点，那么 ．

49.已知椭圆的上顶点为，直线交椭圆于，两点，若直线，的斜率分别为，，则的值为 ．

50.已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点为，过焦点的直线与抛物线相交于，两点．若直线的倾斜角为，则弦的中点坐标为 ．

51.已知双曲线的离心率为，，为双曲线的左、右顶点，为双曲线在第一象限上的任意一点．为坐标原点，若直线，，的斜率分别为，，，记，则的取值范围是 ．

52.设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于 ．

53.若直线与椭圆：

始终有公共点，则的取值范围是 ．

54.过抛物线的焦点，且倾斜角为的直线与抛物线交于，两点，若弦的垂直平分线经过点，则等于 ．

55.已知双曲线的右顶点为，若该双曲线右支上存在两点，使得为等腰直角三角形，则实数的取值范围为 ．

56.已知椭圆的中心在坐标原点，离心率为，的右焦点与抛物线：

的焦点重合，，是的准线与的两个交点，则 ．

57.在直角坐标系中，直线过抛物线的焦点，且与该抛物线相交于，两点，其中点在轴上方．若直线的倾斜角为，则 ．

58.已知是抛物线的一条焦点弦，若该弦的中点纵坐标是，则弦所在的直线方程是 ．

59.在双曲线中，若过点作弦，则弦的最小值是 ．

60.已知椭圆的焦点在轴上，焦距为，直线：

与椭圆交于，两点，是左焦点，且，那么椭圆的标准方程是 ．

61.已知点，点，且动点满足，那么动点的轨迹与直线有两个交点的充要条件为 ．

62.倾斜角为的直线过抛物线的焦点，并且交抛物线于两点，则弦的长为 ．

63.在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足．若直线的斜率，则线段的长为 ．

64.已知椭圆，过左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于，两点，则弦的长为 ．

65.设双曲线的右顶点为，右焦点为．过点平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点，则的面积为 ．

66.已知椭圆以及椭圆内一点，则以为中点的弦所在直线的斜率为 ．

67.已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过的直线与相交于，两点，且的中点为，则的方程为 ．

68.已知双曲线的焦距为，右顶点为，抛物线的焦点为．若双曲线截抛物线的准线所得线段的长为，且，则双曲线的渐近线方程为 ．

69.已知抛物线，点，点在抛物线上，当点到抛物线准线的距离与点到点的距离之和最小时，延长交抛物线于点，则的面积为 ．

70.已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是 ．

71.已知椭圆的方程为，若直线与椭圆的一个交点在轴上的射影恰好是椭圆的右焦点，则的值为 ．

72.过双曲线的右焦点的直线与只有一个公共点，则的焦距为 ，的离心率为 ．

73.斜率为的直线与椭圆交于，两点，若弦长，则 ．

74.设为抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线交于，两点，则 ．

75.已知直线与抛物线交于，两点，为抛物线的焦点，若，则直线的倾斜角为 ．

76.过点作斜率为的直线与椭圆相交于，两点，若是线段的中点，则椭圆的离心率等于 ．

77.已知是双曲线的右焦点，是的左支上一点，．当的周长最小时，该三角形的面积为 ．

78.如图，已知直线与抛物线相交于，两点，点为抛物线焦点，且，两点在抛物线准线上的射影分别是，，若，则的值是 ．

79.已知抛物线的焦点为准线与轴的交点为，过点的直线与抛物线的交点为，，延长交抛物线于点，延长交抛物线于点，若，则直线的方程为 ．

80.椭圆的一个焦点为，过原点的直线交椭圆，两点，则的面积的最大值为 ．

三、解答题（共20小题；共260分）

81.在平面直角坐标系中，抛物线的顶点是原点，以轴为对称轴，且经过点．

（1）求抛物线的方程；

（2）设点，在抛物线上，直线，分别与轴交于点，，．求直线的斜率．

82.已知抛物线的焦点为，是抛物线上横坐标为，且位于轴上方的点，到抛物线准线的距离等于，过作垂直于轴，垂足为，的中点为．

（1）求抛物线的方程；

（2）若过作，垂足为，求点的坐标．

83.过双曲线的右支上的一点作一直线与两渐近线交于，两点，其中是的中点；

（1）求双曲线的渐近线方程；

（2）当坐标为时，求直线的方程；

（3）求证：

是一个定值．

84.已知，，抛物线上一点到抛物线焦点的距离为．

（1）求和的值；

（2）如图所示，过作抛物线的两条弦和（点，在第一象限），若，求证：

直线经过一个定点．

85.已知双曲线，它的弦的长是实轴长的倍，如果弦所在的直线过点，求直线的方程．

86.过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，，且的中点的纵坐标为，求的值．

87.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且椭圆上的点到两个焦点的距离之和为．

（1）求椭圆的方程；

（2）设为椭圆的左顶点，过点的直线与椭圆交于点，与轴交于点，过原点且与平行的直线与椭圆交于点．证明：

．

88.如图：

中，，，，曲线过点，动点在上运动，且保持的值不变．

（1）建立适当的坐标系，求曲线的标准方程；

（2）过点且倾斜角为的直线交曲线于，两点，求的长度．

89.已知椭圆的一个顶点为，焦点在轴上．若右焦点到直线的距离为．

（1）求椭圆的方程；

（2）设椭圆与直线相交于不同的两点，．当时，求的取值范围．

90.已知椭圆：

的离心率为，椭圆与轴交于，两点，．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知点是椭圆上的动点，且直线，与直线分别交于，两点．是否存在点，使得以为直径的圆经过点?

若存在，求出点的横坐标；若不存在，说明理由．

91.已知中心在原点的双曲线的右焦点为，右顶点为．

（1）求该双曲线的方程；

（2）若直线：

与双曲线左支有两个不同的交点，，求的取值范围．

92.若方程的曲线是双曲线．

（1）求实数的取值范围；

（2）若点在双曲线上，，是两个焦点，与双曲线实轴所在直线垂直，且的面积为，求实数的值．

93.已知中心在原点的双曲线的右焦点为，右顶点为．

（1）求双曲线的方程；

（2）若直线：

与双曲线交于不同的两点，，且线段的垂直平分线过点，求实数的取值范围．

94.已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率，虚轴长为．

（1）求双曲线的标准方程；

（2）若直线与双曲线相交于，两点（，均异于左、右顶点），且以为直径的圆过双曲线的左顶点，求证：

直线过定点，并求出该定点的坐标．

95.已知，，是抛物线上三个不同的点，且．

（1）若，，求点的坐标；

（2）若抛物线上存在点，使得线段总被直线平分，求点的坐标．

96.在直角坐标系中，设抛物线的焦点为，准线为直线，点，在直线上，点为抛物线第一象限上的点，是边长为的等边三角形，直线的倾斜角为．

（1）求抛物线的方程；

（2）如图，直线过点交抛物线于，两点，，直线，分别交抛物线于，两点，设直线，的斜率分别为，，求的值．

97.已知椭圆的焦点在轴上，中心在坐标原点；抛物线的焦点在轴上，顶点在坐标原点．在，上各取两个点，将其坐标记录于表格中：

（1）求，的标准方程；

（2）已知定点，为抛物线上一动点，过点作抛物线的切线交椭圆于，两点，求面积的最大值．

98.已知直线与椭圆相交于，两点，与轴，轴分别相交于点和点，且，点是点关于轴的对称点，的延长线交椭圆于点，过点，分别做轴的垂线，垂足分别为，．

（1）若椭圆的左、右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点在椭圆上，求椭圆的方程；

（2）当时，若点平分线段，求椭圆的离心率．

99.设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为．已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为．

（1）求椭圆的方程和抛物线的方程；

（2）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于），直线与轴相交于点．若的面积为，求直线的方程．

100.已知椭圆与抛物线共焦点，抛物线上的点到轴的距离等于，且椭圆与抛物线的交点满足．

（1）求抛物线的方程和椭圆的方程；

（2）过抛物线上的点作抛物线的切线交椭圆于、两点，求此切线在轴上的截距的取值范围．

答案

第一部分

1.B2.B【解析】将代入得，

不妨取，，

所以．

将代入双曲线的渐近线方程，得，

不妨取，，

所以．

因为，

所以，

即，

则，

即，

即，

所以，

所以．

3.B4.A【解析】如图，，直线与交于，两点，

直线与交于，两点，

要使最小，

则与，与关于轴对称，即直线的斜率为，

又直线过点，

则直线的方程为，

联立方程组则，

所以，

所以，

所以的最小值为．

方法二：

设直线的倾斜角为，则的倾斜角为，

根据焦点弦长公式可得，

．

所以．

因为：

，

所以当时，最小，最小值为．

5.D

6.A7.C【解析】设，则，即，

由双曲线的渐近线方程为，

则由解得交点；

由解得交点．

，，

则有

8.B9.B【解析】设，，，

由，代入双曲线方程，

作差整理可得，

化简得，即，

有，得．

10.C

【解析】不妨设抛物线方程为．

因为当时，，

所以．

又到直线的距离为，

所以．

11.B【解析】作出图形如图所示，过点作垂直于轴，

设点的坐标为，

因为，

故，

因为，故，

又因为当增大时，由抛物线趋势可知的增幅大于的增幅，

故仅存在一个点使得，即“完美点”唯一．

12.C13.C14.C15.D

【解析】由题意过双曲线的左焦点作直线与双曲线交于，两点，使得，若这样的直线有且仅有两条，可得，并且，解得，或，并且，解得，综合可得，有条直线符合条件时，．

16.C【解析】抛物线的焦点，且斜率为的直线：

，

过抛物线的焦点，且斜率为的直线交于点（在轴上方），

可知：

解得．

由为抛物线的准线，点在上，且垂直于，可得，的方程为：

，即，

则到直线的距离为：

．

17.A18.A19.A20.C

21.D【解析】将直线与抛物线联立，消去，得，

所以，；

所以，

所以，

所以

所以，

解得，

所以．

令，得，

所以直线过定点．

22.C【解析】依题意，设点，，则有

两式相减得，即．

又线段的中点坐标是，

因此，，，，

即直线的斜率为，直线的方程为，

即．

23.B【解析】由双曲线，

可得，，故，

所以，，渐近线方程为，

不妨设的方程为，

代入方程，解得：

．

所以．

24.C【解析】抛物线的焦点的坐标为，准线方程为，

双曲线的一条渐近线方程为，

不妨设直线为，设，，

因为，且，所以，，

所以，所以，所以，

整理得，解得或（舍去），

故抛物线的方程为．

25.D

【解析】由题意可知：

解得：

或

设，，由条件可知：

若点到直线的距离为，

那么面积，解得：

，

设与直线平行的直线为，与椭圆相切，

所以整理得：

，

由，即，

整理得：

，解得：

，

所以切线方程：

，切线方程：

，

由直线与直线的距离，

同理直线与直线的距离，

所以这样到直线的距离为的直线有两条，这两条直线与椭圆都相交，分别有两个交点，共个．

26.B27.D【解析】设，渐近线方程为，对称点为，即有，且，

解得：

，，将，即，代入双曲线的方程可得，

化简可得，即有，解得．

28.B【解析】设弦的端点为，，则，．

由题意得

两式相减，得，

所以，

所以．

29.D【解析