A．B．C．D．
12．一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）
A．3πB．4πC．πD．6π
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：
本大题共4小题，每小题4分，把答案填在题中横线上.
13．展开式中x9的系数是
14．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取
，，辆
15．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分
（如图）.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种
且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法
有种.（以数字作答）
16．对于四面体ABCD，给出下列四个命题
①若AB=AC，BD=CD，则BC⊥AD.②若AB=CD，AC=BD，则BC⊥AD.
③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD.④若AB⊥CD，BD⊥AC，则BC⊥AD.
其中真命题的序号是.（写出所有真命题的序号）
三、解答题：
本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
有三种产品，合格率分别是0.90，0.95和0.95，各抽取一件进行检验.
（Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；（Ⅱ）求至少有两件不合格的概率.（精确到0.001）
18．（本小题满分12分）
已知函数上R上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求和ω的值.
19．（本小题满分12分）
如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的垂心G.
（Ⅰ）求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（Ⅱ）求点A1到平面AED的距离.
20．（本小题满分12分）
已知常数，向量经过原点O以为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以为方向向量的直线相交于点P，其中试问：
是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由.
21．（本小题满分12分）
已知为正整数.
（Ⅰ）设；
（Ⅱ）设
22．（本小题满分14分）
设如图，已知直线及曲线C：
，C上的点Q1的横坐标为
（）.从C上的点Qn（n≥1）作直线平行于x轴，交直线l于点，再从点作直线平行于y轴，交曲线C于点Qn+1.Qn（n=1，2，3，…）的横坐标构成数列
（Ⅰ）试求的关系，并求的通项公式；
（Ⅱ）当时，证明；
（Ⅲ）当a=1时，证明
2003年普通高等学校招生全国统一考试
数学试题（江苏卷）答案
一、选择题：
本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分.
1．C2．B3．D4．D5．B6．B7．C8．B9．C10．D11．C12．A
二、填空题：
本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分.
13．14．6,30,1015．12016．①④
三、解答题
17．本小题要主考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分12分.
解：
设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A、B和C.
（Ⅰ），
因为事件A，B，C相互独立，恰有一件不合格的概率为
答：
恰有一件不合格的概率为0.176.
解法一：
至少有两件不合格的概率为
解法二：
三件产品都合格的概率为
由（Ⅰ）知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至有两件不合格的概率为
答：
至少有两件不合的概率为0.012.
（18）在小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力，满12分分
解：
由
19．本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空
间想象能力和推理运算能力.满分12分.
解法一：
（Ⅰ）解：
连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角.
设F为AB中点，连结EF、FC，
（Ⅱ）连结A1D，有
设A1到平面AED的距离为h，
则
解法二：
（Ⅰ）连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠A1BG是A1B与平ABD所成的角.
如图所示建立坐标系，坐标原点为O，设CA=2a，
则A（2a,0,0）,B（0,2a,0）,D（0,0,1）
（Ⅱ）由（Ⅰ）有A（2,0,0）A1（2,0,2）,E（1,1,1）,D（0,0,1）
（Ⅰ）当时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；
（Ⅱ）当时，方程①表示椭圆，焦点
（Ⅲ）当方程①也表示椭圆，焦点为合乎题意的两个定点.
（21）本小题主要考查导数、不等式证明等知识，考查综合运用所数学知识解决问题的能力，满分12分.
证明：
（Ⅰ）因为，
所以
（Ⅱ）对函数求导数:
∴
即对任意
22．本小题主要考查二次函数、数列、不等式等基础知识，综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分14分.
（Ⅰ）解：
∵
∴∴
，∴
（Ⅱ）证明：
由a=1知∵∴
∵当
∴
（Ⅲ）证明：
由（Ⅰ）知，当a=1时，
因此
=
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