动物体重与心律模型.docx
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动物体重与心律模型
动物体重与心律模型
『摘要』
本文通过对动物散热与
动物表面积、体积、体重的关系进行深入分析，运用合理的假设确定其比例关系，建立动物体重与心率之间的关系模型。
最后通过MATLAB进行图形分析，进一步加以验证，得到最优模型，进而明确体重与心律之间的比例关系，便于通过体重来预测人类心律大小，从而达到预防心脏疾病的目的。
首先，由热血动物在休息状态时，动物产热主要用于维持体温，产热与从心脏到全身的血流量成正比，同时体温通过体表散失，得到心脏产热率与体表产热率近似相等，通过假设建立这个恒等关系，并运用此关系建立模型。
其次，由常识可知动物表面积与体积存在正比关系，通过动物身长建立体积于表面积比例关系。
另外，动物心脏产热率与心脏体积成正比，与心律成正比建立三者比例关系。
根据心脏体积与动物体积成正比，将两个关系式结合，通过动物体积这个变量表示出恒等关系。
最后根据体积与体重之间存在的正比关系，用变量体重替换体积，建立体重与心律之间的模型。
最后，用MATLAB软件求解，并验证模型。
通过对此问题的优化分析，可以将体重于心率的比例关系应用于现代医学，进而达到预防疾病的目的。
关键词：
散热产热 MATLAB 比例关系 最小二乘法 变量替换 心脏病
1问题重述
生物学家认为，对于休息状态的热血动物，消耗能量主要用于维持体温，能量与从心脏到全身的血流量成正比，而体温主要通过身体表面散失，现在要求建立一个动物体重与心率之间关系的模型，并用下面的数据加以检验。
动物
体重（g）
心率（次/分）
田鼠
25
670
家鼠
200
420
兔
2000
205
小狗
5000
120
大狗
30000
85
羊
50000
70
人
70000
72
马
450000
38
2问题分析
从问题的提出可以看到，对于热血动物来说，消耗能量与全身血流量成正比，体温从体表散失，于是有：
体表散热率=心跳产热率。
由常识可知：
心脏体积∝动物体积，体重∝体积
3模型假设
1.假设热血动物在休息状态时消耗的能量全部转换为热量，全部热量都用来维持体温；
2.假设动物（包括人）的体积完全与长度成正比，动物（包括人）的表面积完全与长度成正比；
3.假设外界环境是保持恒定的，不会出现使体温变化很大的环境因素；
4.假定动物（包括人）体表的散热率完全恒等于心跳的产热率；
5.假定心脏体积与动物（包括人）的体积成正比，体积与重量成正比；
4符号说明
符号
说明
V
动物（包括人）的体积
S
动物（包括人）的表面积
L
动物（包括人）的长度
P
动物（包括人）的心率
G
动物（包括人）的体重
K
表面积S与体积V之间的比例系数
K
体表散热率与表面积S之间的比例系数
K
心脏体积与动物体积V的比例系数
K
体积V与体重G之间的比例系数
K
心率P与体重G之间的比例系数
5模型的建立与求解
5.1模型的建立
由数学知识可知：
体积V正比于长度的立方，表面积S正比于长度的平方，于是有
，
则有
由体表散热率=心跳产热率，求得：
体表散热率
由心脏体积正比于动物的体积得，令心率为
，心脏体积
所以
心跳产热率
则由（１）（２）得：
所以
由体重和体积成正比得，令体重为
，有
整理化简得
即
式即为建模所要求的最后结果公式
5.2模型的求解
由（5）式可以用MATLAB画出其散点图，如图表1
图表1
图表2
由上图可以看出，题目中所给数据是一系列离散的点，要通过将目标函数进行一定变形才能更清晰的看出其变化趋势。
所以，对其两边同时取对数可得：
lgP=lg*G^（-
）
即lgP=lgK-
lgG
令y=lgP,x=lgG,a=lgK得：
y=a-
x
则数据x
，y
满足线性关系y=a-
x
利用最小二乘法直线拟合，当所测各y
值与拟合直线上的a+bx
之间的偏差的平方和最小，即
Q
=
最小
此时所的系数a最好，拟合公式即为最佳经验公式
解方程的
a=
=3.2631
K=10
=1.8328×10
P=K*G
=1.8328×10
*G
用MATLAB做出图像如图标3，与原图像比较
图表3
6.模型的评价
6.1模型的优点：
1.利用Mtalab软件编程进行求解，所得的结果数据准确、合理。
2.只考虑动物在休息状态，没有其他活动时的产热与散热，简化问题，便与分析求解。
6.2模型的缺点：
1.在建立模型时，假设热血动物在休息状态时消耗的能量全部转换为热量，忽略了其他的热量散失方式。
2.没有考虑外界气温的变化。
3.在建立模型时，假设动物表面积、体积与长度成正比，求解比较粗略。
4.假设心脏体积与动物体积成正比，没有考虑特殊情况。
7模型推广
通过对动物体重与心率这个动物模型的研究，可以通过进一步优化，结合实际医疗问题，预防心脏病，降低心脏病的发病率。
例如通过有意识地控制体重，从而有助于更方便、更有效地认识人类心脏病的发生、发展规律和研究防治措施。
参考文献
[1]姜启源，《数学模型》，第三版
[2]XX
附录
>>p=[67042020512085707238]; %不同动物的心率
>>G=[2520020005000300005000070000450000]; %不同动物的体重
>>figure
（1）;plot（G,p,'o'） %绘制动物的体重与心率散点图
>>figure
（2）;loglog（G,p,'ro'） %在对数坐标中绘制动物的体重与心率散点图
>>G=[2520020005000300005000070000450000];p=[67042020512085707238];
>>x=log10（G）;y=log10（p）;
>>x1=（sum（x））/8;X1=（sum（x.^2））/8;X2=（x1）^2;y1=（sum（y））/8;
>>xy=（sum（x.*y））/8;
>>a=（xy*（x1）-（X1）*y1）/（X2-X1） %用最小二乘法计算常数项a的值
>>a=3.2631
>>k=10^a %将a转化为k的值
>>k=1.8328e+003
>> G=[2520020005000300005000070000450000];
>> p=[67042020512085707238];
>>k=10^a;
>> g=20:
10:
450000;
>>P=k*g.^（-1/3）;
>>loglog（G,p,'go'）
>>holdon
>>loglog（g,P,'b'） %拟合图像
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