计算方法复习题与答案.docx
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计算方法复习题与答案
复习题与答案
复习题一复习题一答案
复习题二
复习题二答案
复习题三
复习题三答案
复习题四
复习题四答案
自测题
复习题
（一）
一、填空题：
1、求方程0.5x2101x10的根，要求结果至少具有6位有效数字。
已知
10203101.0099，则两个根为x1，
x2（.要有计算过程和结果）
A12
3、35，则（A）
4、已知f
（1）1.0,f
（2）1.2,f（3）1.3，则用抛物线（辛卜生）公式计算求
3
得1f（x）dx，用三点式求得f
（1）.
5、f
（1）1,f
（2）2,f（3）1，则过这三点的二次插值多项式中x2的系数
为，拉格朗日插值多项式为、单项选择题：
1、Jacobi迭代法解方程组Axb的必要条件是（）
A．A的各阶顺序主子式不为零B.（A）1
C.aii0,i1,2,,nD.A1
99299
2、设f（x）3x995x7，均差f[1,2,22,,299]=（）.
4、三点的高斯求积公式的代数精度为（）.
A.2B.5C.3D.4
5、幂法的收敛速度与特征值的分布（）
A.有关B.不一定C.无关
三、计算题：
4x12x2x311
x14x22x318
2x1x25x322，取
代四次（要求按五位有效数字计算）.
I21dx
精度尽量高,并求其代数精度；利用此公式求
1x（保留四位小数）。
2、求A、B使求积公式
11f（x）dxA[f
（1）f
（1）]B[f
（1）f
（1）]
122的代数
3、已知
xi
1
3
4
5
f（xi）
2
6
5
4
分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求f（x）的三次插值多项式P3（x），并求f
（2）的近似值（保留四位小数）.
4、取步长h0.2，用预估-校正法解常微分方程初值问题
y2x3y
y（0）1（0x1）
5、已知
xi
-2
-1
0
1
2
f（xi）
4
2
1
3
5
求f（x）的二次拟合曲线p2（x），并求f（0）的近似值。
3
6、证明方程f（x）x34x2=0在区间（0,1）内只有一个根，并用迭代法（要求收敛）求根的近似值，五位小数稳定。
复习题
（一）参考答案
1、x110210406204.010，x22（10210406）0.00980345
2、
1
41
0
14
1
154
1
0
4151
5615
3、310，8
4、2.3670.25
11L2（x）（x2）（x3）2（x1）（x3）（x1）（x2）
5、-1，222二、1C,2B,3C,4B,5A
三、1、迭代格式
x1（k1）1（112x2（k）x3（k））
4
x2（k1）1（18x1（k1）2x3（k））
4
1（k1）（222x1（k1）
5
k
x1（k）
x2（k）
x3（k）
0
0
0
0
1
2.7500
3.8125
2.5375
2
0.20938
3.1789
3.6805
3
0.24043
2.5997
3.1839
4
0.50420
2.4820
3.7019
（k1）
x3
（k1）
x2
）
2、f（x）1,x,x是精确成立，即
2A2B2
1218
2ABA,B
23得99
求积公式为
11
1f（x）dx9[f
（1）f
（1）]
11
9[f（21）f（12）]
当f（x）x3时，公式显然精确成立；当f（x）x4时，左
所以代数精度为3。
21
5，右=3
21t2x311
1xdx1t13dt
97
140
0.69286
3、
L3（x）2（x3）（x4）（x5）6（x1）（x4）（x5）
3（13）（14）（15）（31）（34）（35）
5（x1）（x3）（x5）4（x1）（x3）（x4）
5（41）（43）（45）4（51）（53）（54）差商表为
xi
yi
一阶均差
二阶均差
三阶均差
1
2
3
6
2
4
5
-1
-1
5
4
-1
0
14
P3（x）N3（x）22（x1）（x1）（x3）1（x1）（x3）（x4）
4
f
（2）P3
（2）5.5y（n0）1yn0.2（2xn3yn）
4、解：
yn1yn0.1[（2xn3yn）（2xn13yn（0）1）]
即yn10.52xn1.78yn0.04
n
0
1
2
3
4
5
xn
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
yn
1
1.82
5.8796
10.7137
19.4224
35.0279
5、解：
i
xi
yi
2
xi2
3
xi3
4
xi4
xiyi
2
xi2yi
0
-2
4
4
-8
16
-8
16
1
-1
2
1
-1
1
-2
2
2
0
1
0
0
0
0
0
3
1
3
1
1
1
3
3
4
2
5
4
8
16
10
20
0
15
10
0
34
3
41
5a010a215
10a13
3
f（0）p2（0）130
复习题
（二）
一、填空题：
1、近似值x*0.231关于真值x0.229有（）位有效数字；
2、3x*的相对误差为x*的相对误差的（）倍；
3、设f（x）可微,求方程xf（x）的牛顿迭代格式是（）；
4、对f（x）x3x1,差商f[0,1,2,3]（）,f[0,1,2,3,4]（）；
5、计算方法主要研究（）误差和（）误差；
6、用二分法求非线性方程f（x）=0在区间（a,b）内的根时，二分n次后的误差限为（）；
7、求解一阶常微分方程初值问题y=f（x,y），y（x0）=y0的改进的欧拉公式为
（）；
8、已知f
（1）＝2，f
（2）＝3，f（4）＝5.9，则二次Newton插值多项式中x2系数为（）；
1f（x）dx
9、两点式高斯型求积公式0f（x）dx≈（），代数精度为（）；
10、解线性方程组Ax=b的高斯顺序消元法满足的充要条件为（）。
、单项选择题：
1、求解线性方程组Ax=b的LLT分解法中，A须满足的条件是（）
A.对称阵B.正定矩阵
C.任意阵D.各阶顺序主子式均不为零
2、舍入误差是（）产生的误差。
A.A.只取有限位数B.模型准确值与用数值方法求得的准确值
C.观察与测量D.数学模型准确值与实际值
3、3.141580是π的有（）位有效数字的近似值。
A.6B.5C.4D.7
4、幂法是用来求矩阵（）特征值及特征向量的迭代法。
A.按模最大B.按模最小C.所有的D.任意一个
5、用1+x近似表示ex所产生的误差是（）误差。
A.模型B.观测C.截断D.舍入
6、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是（）。
A.控制舍入误差B.减小方法误差
C.防止计算时溢出D.简化计算
7、解线性方程组Ax=b的迭代格式x（k+1）=Mx（k）+f收敛的充要条件是（）
A.M1B.（A）1C.（M）1D.（M）1三、计算题：
1、为了使20的近似值的相对误差限小于0.1%，要取几位有效数字？
2、已知sinx区间［0.4，0.8］的函数表
xi
0.4
0.5
0.60.7
0.8
yi
0.38942
0.47943
0.56464
0.644220.71736
如用二次插值求sin0.63891的近似值，如何选择节点才能使误差最小？
并
求该近似值。
3、构造求解方程ex10x20的根的迭代格式xn1（xn）,n0,1,2,，讨论
4
其收敛性，并将根求出来，|xn1xn|10
x12x23x314
2x15x22x318
4﹑利用矩阵的LU分解法解方程组
3x1x25x320
3x12x210x315
10x14x2x355﹑对方程组2x110x24x38
1）
试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明理由；
2）取初值x（0）（0,0,0）T，利用
（1）中建立的迭代公式求解，要求
||x（k1）x（k）||103
得积分的近似值有5位有效数字?
复习题
（二）参考答案
4、f[0,1,2,3]1,f[0,1,2,3,4]0；5、截断，舍入；
三、1、解：
设20有n位有效数字，由204.4，知a14r*（20）110（n1）110（n1）0.1%
令2a18,
取n4,r*（20）0.1251030.1%
故204.472
1、1、解：
应选三个节点，使误差
M3
|R2（x）|3!
3|3（x）|
尽量小，即应使|3（x）|尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。
即取节点{0.5,0.6,0.7}最好，实际计算结果
sin0.638910.596274，
且
sin0.638910.596274
1
（0.638910.5）（0.6389190.6）（0.638910.7）
0.55032104
f
（1）10e0
f（x）0在（0,1）内有唯一实根.将
3、解：
令f（x）ex10x2,f（0）20,且f（x）ex100对x（，），故方程f（x）0变形为
x110（2ex）
则当x（0,1）时
故迭代格式
xn1110（2exn）收敛。
取x00.5，计算结果列表如下：
n
0
1
2
3
xn
0.5
0.035127872
0.096424785
0.089877325
n
4
5
6
7
xn
0.090595993
0.090517340
0.090525950
0.090525008
ALU
4、解：
且满足|x7x6|0.00000095106.所以x*0.090525008
5、解：
调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优
10x14x2x35
2x110x24x38
3x12x210x315
取x（0）（0,0,0）T,经7步迭代可得：
x*x（7）（0.999991459,0.999950326,1.000010）T
即可，解得
所以n68，因此至少需将[0,1]68等份。
复习题（三）
一、填空题：
该表达式改写为，为了减少舍入误差，应将表达式
20011999改写为。
2、用二分法求方程f（x）x3x10在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所
在区间为,进行两步后根的所在区间为.
322
Ax
3、设21,3,则||A||,||A||2
用辛卜生公式计算求得的近似值为，梯形公式的代数精度为，辛卜
生公式的代数精度为。
3x15x21
5、求解方程组0.2x14x20的高斯—塞德尔迭代格式为，该迭代格
式的迭代矩阵的谱半径（M）=。
、计算题：
1、已知下列实验数据
xi
1.36
1.95
2.16
f（xi）
16.844
17.378
18.435
试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据
3、取节点x00,x10.5,x21,求函数f（x）e在区间[0,1]上的二次插值多项
式P2（x）,并估计误差
993
4、用幂法求矩阵
330.9按模最大的特征值及相应的特征向量，取
x0（1,1）T，精确至7位有效数字5、用欧拉方法求
xt2y（x）0etdt
在点x0.5,1.0,1.5,2.0处的近似值。
x
6、给定方程f（x）（x1）ex10
1）分析该方程存在几个根；
2）用迭代法求出这些根，精确到5位有效数字；
3）说明所用的迭代格式是收敛的。
复习题（三）参考答案
2﹑[0.5,1]，[0.5,0.75]；
3﹑||A||5，||A||29213，||x||15，||Ax||17；
4﹑0.4268，0.4309，1，3；
x1（k1）（15x2（k））/3
1
x（k1）x（k1）/20
5﹑x2x1/20，12，收敛的；
二、1、解：
列表如下
i
xi
yi
2xi
xiyi
0
1.36
16.844
1.8496
22.90784
1
1.95
17.378
3.8025
33.8871
2
2.16
18.435
4.6656
39.8196
5.47
52.657
10.3177
96.61454
设所求一次拟合多项式为ya0a1x，则
35.47a052.657
5.4710.3177a196.61454
因而所求的一次拟合多项式为
y14.3551.7534x
3、解：
e1（x0）（x0.5）
e（10）（10.5）
2（x0.5）（x1）4e0.5x（x1）2e1x（x0.5）
|R2（x）||exP2（x）|1|x（x0.5）（x1）|故截断误差3!
。
4、解：
幂法公式为
取x0=（1,1）T，列表如下：
k
Ty
mk
Tx
1
（102，33.9）
102
（1,0.332353）
2
（99.997059,33.2991174）
99.997059
（1,0.3330009675）
3
（99.9990029,33.29970087）
99.9990029
（1,0.333000329）
4
（99.99900098,33.29970029）
99.99900098
（1,0.333000330）
1
yex2
0.5,x21.0,x31.5,x42.0
x2
记f（x,y）ex,取h0.5,x00,x1
则由欧拉公式
yn1ynhf（xn,yn）
y00,n0,1,2,3
可得y（0.5）y10.5,y（1.0）y20.88940,
x
6、解：
1）将方程（x1）e10
（1）
改写为
作函数f1（x）x1
x1ex
（2）
f2（x）ex的图形（略）知
（2）有唯一根x*（1,2）
2）将方程
（2）改写为x1ex
xk11exk
构造迭代格式
x01.5（k0,1,2,）
计算结果列表如下：
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
xk
1.22313
1.29431
1.27409
1.2796
91.2781
21.2785
61.278
41.278
471.278
3）（x）1ex，（x）ex
|（x）|e11
所以迭代格式xk1（xk）（k0,1,2,）对任意x0[1,2]均收敛。
复习题（四）
、填空题：
1、设f（0）0,f
（1）16,f
（2）46,则l1（x），f（x）的二次牛顿插
值多项式为。
22
3.142,3.141,
2、7分别作为的近似值有,,位有效数字
（）次代数精度
4、解线性方程组的主元素消元法中，选择主元的目的是（）；
5
5、已知f
（1）=1,f（3）=5,f（5）=-3,用抛物线求积公式求1f（x）dx≈（）
6、设f
（1）=1，f
（2）=2，f（3）=0，用三点式求f
（1）（）。
、单项选择题：
x
1、用1+3近似表示31x所产生的误差是（）误差
A.舍入B.观测C.模型D.截断
2、-324.7500是舍入得到的近似值，它有（）位有效数字。
A.5B.6C.7D.8
3、反幂法是用来求矩阵（）特征值及相应特征向量的一种向量迭代法。
A.按模最大B.按模最小C.全部D.任意一个
4、（）是解方程组Ax=b的迭代格式x（k+1）=Mx（k）+f收敛的一个充分条件；
A.M<1B.（A）<1C.A<1D.（M）<1
1
5、用s*=2gt2表示自由落体运动距离与时间的关系式（g为重力加速度），st是在时间t内的实际距离，则st-s是（）误差。
A.舍入B.观测C.模型D.截断
2
6、设f（-1）=1,f（0）=3,f
（2）=4,则抛物插值多项式中x2的系数为（）；
A.–0.5B.0.5C.2D.-2
7、三点的高斯型求积公式的代数精度为（）。
A.3B.4C.5D.2
8、求解线性方程组Ax=b的LLT分解法中，A须满足的条件是（）
A.A.对称阵B.各阶顺序主子式均大于零
C.任意阵D.各阶顺序主子式均不为零三、是非题（认为正确的在后面的括弧中打，否则打）
1、1、已知观察值（xi，yi）（i0，1，2，，m）,用最小二乘法求n次拟合多项式Pn（x）时，Pn（x）的次数n可以任意取。
（）
2
x
2、2、用1-2近似表示cosx产生舍入误差。
（）
（xx0）（xx2）
3、3、（x1x0）（x1x2）表示在节点x1的二次（拉格朗日）插值基函数。
（）
4、任给实数a及向量x，则||ax||a||x||。
（）
5、牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插
值的结果。
（）
14
104
6、-23.1250有六位有效数字，误差限2。
（）
400
011
2、已知A=010，求A1，A，||A||2。
4、4、已知f（-1）=2，f
（1）=3，f
（2）=-4，求拉格朗日插值多项式L2（x）及f（1.5）
的近似值，取五位小数。
dx
dx的近似值（取四位小数）,并求误差估计。
0
1
2按模最大特征值及相应特征向量，列表
1，1）T，保留两位小数。
301
x1
5
131
x2
1
114
x3
8
6、用Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组取x（0）=（0,0,0）T,列表计算三次，保留三位小数。
复习题（四）参考答案
、1、l1（x）x（x2），N2（x）16x7x（x1）；2、4,3,3；
3、高斯型，2n1；4、减少舍入误差；5、12；6、2.5
、1D，2C，3B，4A，5C，6A，7C，8B
三、1、，2、，3、4、，5、，6、，7、，8、，9、，10、四、1、解：
3是f（x）x230的正根，f（x）2x，牛顿迭代公式为
xn1xn3（n0,1,2,）
22xn
取x0=1.7,列表如下：
n
1
2
3
xn
1.73235
1.73205
1.73205
至少有两位有效数字。
ykAxk1
mkmax（yk）
5、幂法公式为xkyk/mk
取x0=（1,1,1）T，列表如下：
k
Ty
mk
Tx
1
（4，0，
1）
4.00
（1,0,0.25）
2
（4，-1.25，
0.5）
4.00
（1,-0.31,0.13）
3
（4,-1.75,
0.57）
4.00
（1,-0.44,0.14）
14.00,v1（1,0.44,0.14）T
6、解：
Gauss-Seidel迭代格式为：
（k1）
1（k）
5）
x1
（x3
3
x（2k1）
1（x1（k1）x（3k）
3
1）
（k1）
x3
1（k1）（k1）（x1x2
8）
4
301
131
系数矩阵114严格对角占优，故Gauss-Seidel迭代收敛.取x（0）=（0,0,0）T，列表计算如下:
k
（k）x1
x2（k）
x3（k）
1
1.667
0.889
-2.195
2
2.398
0.867
-2.383
3
2.461
0.359
-2.526
7、解：
预估—校正公式为
1
yn1yn2（k1k2）
k1hf（xn,yn）
k2hf（xnh,ynk1）
n0,1,2,
其中f（x,y）xy，y01，h=0.2，n0,1,2,3,4，代入上式得：
n
1
2
3
4
5
xn
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
yn
1.24
1.58
2.04
2.64
3.42
自测题
一、填
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