普通高等学校招生全国统一考试四川卷理科数学试题及详解.docx
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普通高等学校招生全国统一考试四川卷理科数学试题及详解
普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工农医类）及逐题详解
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3至第
4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：
1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上
所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。
2.答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答第Ⅱ卷时，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在．答．题．卡．上．书写。
在．试．题．卷．上．作．答．无．效．。
4.考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式
P（A+B）=P（A）+P（B）
S=4πR2
如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径
P（A⋅B）=P（A）⋅P（B）
如果事件A在一次实验中发生的概率是p，那么
球的体积公式
V=4πR33
n次独立重复实验中事件A恰好发生k次的概率其中R表示球的半径
nn
P（k）=Ckpk（1-p）n-k,（k=0,1,2,,n）
第Ⅰ卷
一．选择题：
１．设集合U={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={2,3,4}，则ðU（AB）=（B）
（Ａ）{2,3}
（Ｂ）{1,4,5}
（Ｃ）{4,5}
（Ｄ）{1,5}
【解】：
∵A={1,2,3},B={2,3,4}∴AB={2,3}
又∵U={1,2,3,4,5}
∴ðU（AB）={1,4,5}
故选B；
【考点】：
此题重点考察集合的交集，补集的运算；
【突破】：
画韦恩氏图，数形结合；
２．复数2i（1+i）2=（A）
（Ａ）-4
（Ｂ）4（Ｃ）-4i
（Ｄ）4i
【解】：
∵2i（1+i）2=2i（1+2i-1）=2i⨯2i=4i2=-4
故选A；
【点评】：
此题重点考复数的运算；
【突破】：
熟悉乘法公式，以及注意i2=-1；
３．（tanx+cotx）cos2x=（D）
（Ａ）tanx（Ｂ）sinx（Ｃ）cosx（Ｄ）cotx
【解】：
∵（tanx+cotx）cos2
x=⎛sinx
⎝
+
cosx⎫cos2
⎭
sin2x+cos2x
x=⋅cos2x
sinxcosx
=cosx=cotx
sinx
【点评】：
此题重点考察各三角函数的关系；
故选D；
【突破】：
熟悉三角公式，化切为弦；以及注意sin2x+cos2x=1,tanx=sinx,cotx=cosx；
cosxsinx
４．直线y=3x绕原点逆时针旋转900，再向右平移１个单位，所得到的直线为（A）
（Ａ）y=-x+
33
（Ｂ）y=-x+1
3
（Ｃ）y=3x-3
（Ｄ）y=x+1
3
【解】：
∵直线y=3x绕原点逆时针旋转900的直线为y=-1x，从而淘汰（Ｃ），（D）
3
又∵将y=-1
3
x向右平移１个单位得y=-
1（x-1），即y=-
3
11
x故选A；
33
【点评】：
此题重点考察互相垂直的直线关系，以及直线平移问题；
【突破】：
熟悉互相垂直的直线斜率互为负倒数，过原点的直线无常数项；重视平移方法：
“左加右减”；
５．若0≤α≤2π,sinα>3cosα，则α的取值范围是：
（C）
⎛ππ⎫
⎛π⎫
⎛π4π⎫
⎛π3π⎫
（Ａ）ç,⎪
（Ｂ）ç,π⎪
（Ｃ）ç,⎪
（Ｄ）ç,⎪
⎝32⎭
⎝3⎭
⎝33⎭
⎝32⎭
【解】：
∵sinα>
3cosα∴sinα-
3cosα>0
，即2⎛1sinα-3cos⎫
2sin⎛α-π⎫>0
ç22
α⎪⎪=
ç3⎪
⎝⎭⎝⎭
ππ5ππ⎛π4π⎫
又∵0≤α≤2π
∴-≤α-≤，∴0≤α-≤π，即x∈ç,⎪故选C；
3333
⎝33⎭
【考点】：
此题重点考察三角函数中两角和与差的正余弦公式逆用，以及正余弦函数的图象；
【突破】：
熟练进行三角公式的化简，画出图象数形结合得答案；
６．从甲、乙等10个同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有（C）
（Ａ）70种（Ｂ）112种（Ｃ）140种（Ｄ）168种
10
【解】：
∵从10个同学中挑选4名参加某项公益活动有C4种不同挑选方法；
8
从甲、乙之外的8个同学中挑选4名参加某项公益活动有C4种不同挑选方法；
108
∴甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有C4-C4=210-70=140种不同挑
选方法故选C；
【考点】：
此题重点考察组合的意义和组合数公式；
【突破】：
从参加“某项”切入，选中的无区别，从而为组合问题；由“至少”从反面排除易于解决；
7．已知等比数列（an）中a2=1，则其前3项的和S3的取值范围是（D）
（Ａ）（-∞,-1]
（Ｃ）[3,+∞）
【解1】：
∵等比数列（an）中a2=1
（Ｂ）（-∞,0）（1,+∞）
（Ｄ）（-∞,-1][3,+∞）
∴当公比为1时，a1=a2=a3=1，S3=3；
当公比为-1时，a1=-1,a2=1,a3=-1，S3=-1
故选D；
从而淘汰（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）
【解2】：
∵等比数列（a）中a=1∴S=a+a+a=a⎛1+q+1⎫=1+q+1
n231232çq⎪q
∴当公比q>0时，S3
=1+q+1≥1+2
q
⎝⎭
=3；
当公比q<0时，S
=1⎛q-1⎫≤1-2
=-1
3çq⎪
⎝⎭
∴S3∈（-∞,-1][3,+∞）
故选D；
【考点】：
此题重点考察等比数列前n项和的意义，等比数列的通项公式，以及均值不等式的应用；
【突破】：
特殊数列入手淘汰；重视等比数列的通项公式，前n项和，以及均值不等式的应用，特别是均值不等式使用的条件；
８．设M,N是球心O的半径OP上的两点，且NP=MN=OM，分别过N,M,O作垂线于OP的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为：
（D）
（Ａ）3,5,6（Ｂ）3,6,8（Ｃ）5,7,9（Ｄ）5,8,9
【解】：
设分别过N,M,O作垂线于OP的面截球得三个圆的半径为r1,r2,r3，球半径为R，则：
r2=R2-⎛2R⎫=
3
5R2,r2=R2-⎛1R⎫=
93
8R2,r2=R2-⎛2R⎫
93
=R2
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
123
∴r2:
r2:
r2=5:
8:
9
∴这三个圆的面积之比为：
5,8,9故选D
【点评】：
此题重点考察球中截面圆半径，球半径之间的关系；
【突破】：
画图数形结合，提高空间想象能力，利用勾股定理；
９．设直线l⊂平面α，过平面α外一点A与l,α都成300角的直线有且只有：
（D）
（Ａ）１条（Ｂ）２条（Ｃ）３条（Ｄ）４条
【解】：
如图，当∠AOC=∠ACB=300时，直线AC满足条件；
同理，当∠AOB=∠ABC=300时，直线AB满足条件；
又由图形的对称性，知在另一侧存在两条满足条件与直线l成异面直线的直线故选D
【点评】：
此题重点考察线线角，线面角的关系，以及空间想象能力，图形的对称性；
【突破】：
数形结合，利用圆锥的母线与底面所成的交角不变画图，重视空间想象能力和图形的对称性；
10．设f（x）=sin（ωx+ϕ），其中ω>0，则f（x）是偶函数的充要条件是（D）
（Ａ）f（0）=1
（Ｂ）f（0）=0
（Ｃ）f'（0）=1
（Ｄ）f'（0）=0
【解】：
∵f（x）=sin（ωx+ϕ）是偶函数
∴由函数f（x）=sin（ωx+ϕ）图象特征可知x=0必是f（x）的极值点，
∴f'（0）=0
故选D
【点评】：
此题重点考察正弦型函数的图象特征，函数的奇偶性，函数的极值点与函数导数的关系；
【突破】：
画出函数图象草图，数形结合，利用图象的对称性以及偶函数图象关于y轴对称的要
求，分析出x=0必是f（x）的极值点，从而f'（0）=0；
11．设定义在R上的函数f（x）满足f（x）⋅f（x+2）=13，若f
（1）=2，则f（99）=（C）
（Ａ）13（Ｂ）2（Ｃ）132
2
（Ｄ）
13
1313
【解】：
∵f（x）⋅f（x+2）=13且f
（1）=2∴f
（1）=2，f（3）==，
f（5）=
13
f（3）
=2，f（7）=
13
f（5）
=13，f（9）=
2
13
f（5）
=2，，
f
（1）2
⎧2
∴f（2n-1）=⎪
⎪⎩2
n为奇数
n为偶数
，∴f（99）=f（2⨯100-1）=13故选C
2
【点评】：
此题重点考察递推关系下的函数求值；
【突破】：
此类题的解决方法一般是求出函数解析式后代值，或者得到函数的周期性求解；
12．已知抛物线C:
y2=8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且AK=
则∆AFK的面积为（B）
（Ａ）4（Ｂ）8（Ｃ）16（Ｄ）32
AF，
【解】：
∵抛物线C:
y2=8x的焦点为F（2，0），准线为x=-2
设A（x0，y0），过A点向准线作垂线AB，则B（-2，y0）
∴K（-2，0）
∵AK=
AF，又AF=AB=x0-（-2）=x0+2
0000
∴由BK2=AK2-AB2得y2=（x+2）2，即8x=（x+2）2，解得A（2，±4）
∴∆AFK的面积为1KF⋅
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