光波导模拟waveguidesimulation.docx

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光波导模拟waveguidesimulation

关于光波导模拟的一点

学习总结

A simulationof a waveguide

Studysummary

TheoreticalPhysics 

LiuBaojie

References

[1].JohnWiley&Sons,IntroductiontoOpticalWaveguideAnalysis,2001

[2].S.Longhi,M.Lobinoetal,.PhysicalReviewB74,155116（2006）

[3].S.Longhi.M.Marangonietal,PhysicalReviewLett96.243901（2006）

[4].StefanLonghi,PhysicalReviewLett96,023902（2008）

[5].T.A.BKennedy,E.M.Wright,PhysicalReviewA38,212（1988）

[6].Non-Abeliangeometricphaseinfour-waveguidearrays,Bao-LongWeng,Dong-MeiLai,andX-DZhang,Phys.Rev.A,85,053801（2012）.

[7].S.Longhi,,1.OpticalrealizationofthetwositeBHMinwaveguidelattice,OpticsLetter（2009）

[8].].Stefano.Longhi,3.Quantumsimulationofdecoherenceinopticalwaveguidelattices,OpticsLetter（2013）

[9].Stefano.Longhi,Quantum-opticalanalogiesusingphotonicstructures,Laser&Photon.Rev.3（2008）

[10].Many-bodyphysicswithultracoldgases,ReviewofModernPhysics80.885

[11].ColdBosonicAtomsinOpticalLattices,PhysicalReviewLett81,3108（1998）

[12].B.DeMarco,C.Lannert,etal,PhysicalReviewA71,063601（2005）

[13].BoseHubbardmodelinthepresenceofOhmicdissipation,PhysicalReviewA79,053611（2009）

一.光波导模拟的基本原理

1.波动方程：

1）假设电磁场振荡以单一的频率振荡，其对应的电磁矢量可以表示为：

（1）

对应的Maxwell方程为：

（2）

根据

（1）和

（2）可以求得关于电场的波动方程：

（3）

当为常数时，关于电场的波动方程可以写为：

2.BeamPropagationWaveEquation:

标量的Helmholtz方程：

（4）

考虑slowlyvaryingenvelopeapproximation（SVEA）[1]在这个近似下传波函数，快速振荡相因子和缓慢变化的部分分开了：

（5）

其中为substrate或者cladding折射率，对（5）式两边对z求二阶导数可以得到：

（6）

带入（4）式中则有：

（7）

利用Fresnelapproximation，对z的二阶导数可以忽略即：

（8）

则（7）式可以写为：

（9）

对于（9）式可以进一步采取近似：

（10）

我们可以把上面（10）中的第二式和薛定谔方程比较下，两个方程之间的各个参数的对应关系为：

我们可以利用这个单色光（光子）在光波导中的传输过程模拟一些满足薛定谔方程的演化过程。

3.波导耦合情况下的传播方程[2]

假设，传播方向沿着z轴的光波导之间存在弱耦合，波导沿着直线z方向出现缓慢的弱偏离，此时（10）可以写为：

（11）

在上面这个式子的基础上我们可以做一个规范变换（Kramers-Henneberger）

（12）

则（10）可以化为：

（13）

其中：

是由光波导的弯曲方向和程度所决定的。

（13）式描述了带电量为q的粒子处于势V中，并且和沿着Z方向的外场和相互作用的动力学过程。

对于单single-mode波导如果只考虑最近邻波导带之间耦合，也就是采取NNTB（nearest-neighbortight-binding）近似[9]，并且认为最低带是excited，则（13）可以进一步化为（14）

其中是近邻波导之间的耦合常数.

4.波导阵列中的布洛赫振荡和齐纳遂穿（BO-ZT）

.Multibandwavepacketdynamicsintheexternalfield[2]

（1）在没有外场情况下，单色光（或者光子）波导传播的“薛定谔方程”可以写为：

（15）

其中n代表能带数，表示了带的色散曲线，如下图（FIG.1）

FIG.1

是Bolch函数，根据固体理论知Bloch函数满足正交完备性质：

（16）

场可以扩展为不同能带Bloch模式的叠加：

（17）

（18）

对于给定一个则Blochwavespectrum将被确定:

（19）

根据（16）和（18）式有：

（20）

其中：

（21）

上式中是电场波函数在波矢k空间中的谱函数（表示），根据（14）式和布洛赫定理可知是周期函数，它与晶格有相同的周期性。

可以按展开

其中是其傅立叶展开系数。

被定义为Bloch-waveexcitation系数。

下面是一篇文章的具体的图形分析。

（PhysicalReviewB74.155116）

Forabroadbeamincidentontothearrayataparaxialangle,thespectrumisnarrowaroundaremostlyexcited.Figure.（2b）showsthenumericallycomputedbehavioroftheBloch-waveexcitationcoefficientsforthefewlow-orderbandsofthearraydepictedinFig.1,togetherwiththespectrumcorrespondingtoatypicalGaussianbeamexcitationusedinourexperiments.Notethat,forabeamincidenceangleclosetotheBragganglecorrespondingto,thetwolowest-orderbandsn=1andn=2arealmostequallyexcited,whereasthecontributionsofhigher-orderbandsarenegligible.

（2）在有外场的情况下，相应的的“薛定谔方程”可以写成：

（22）

对于（19）式第三式第一项可以看做没外场时所满足的方程，对于第二项：

当时只有对角元素此时外场变为：

和前面讨论一样；当时，将会发生不同能带之间光子的ZT效应。

5.BO-ZTwithNonclassicalLight和量子化过程[4]

1）光学BO-ZT的经典模型

考虑准单色TE极化光以在一维弱耦合光波导阵列中传输过程，根据SVEA近似，我们可以它所满足的标量波动方程：

（23）

其中:

当然我们也可以把（20）化成我们上面所熟悉的标量方程：

（24）

我们对（21）式固体物理对晶格处理类似进行分析下，如果忽略非线性和群速度的扩散，我们可以得到电磁场的总的平均能量[5]：

（25）

而电场波函数在波导阵列中的布洛赫振荡和齐纳遂穿（BO-ZT）中已经分析过了，它可以利用（16），（17），（18）式表示，有点不同的是这里标量方程中多了项-Fx。

其中Fx是transverserefractiveindexgradient.当的时候，表示第n个带的色散关系。

当准单色光以离散（量子化）能量（fractionallightPower）这时可以认为此时的光是Non-classical。

当这种光占据（Trapped）在波导阵列的带上时，可以用表达式表示：

（26）

有上面的分析知道，当入射角与布拉格（Bragg）角相比很小的时候,n=1时第一个带是最excited,在空间周期性下，使布洛赫振荡的衰减的单带之间的耦合（14）式可以被（ZT）忽略。

但是随着F的增大,ZT效应将不被忽略。

当发生ZT效应，BO将会衰减，相应的每个带上的占据数Z将会下降。

如下图（PRL101,193902（2008））

2）BO-ZT量子化模型[4]&[5]

（1）首先可以定义一个新的场：

则相应的哈密顿量：

（27）

根据哈密顿量方程：

把（26）式带进去就可以得到

方程（22）.

（2）对易关系（Commutationrelations）

我们用场算符代替经典场量则有：

（28）

对易关系:

（29）

把波函数算符在频率空间展开：

（30）

则二次量子化的哈密顿量算符可以表示为：

（31）

描述平均电磁场能量的算符可以表示为：

（32）

的对易关系和（28）式一样，在薛定谔绘景中，量子场可以由一个态矢量来表示,它满足对应的薛定谔方程：

（33）对于态矢量我们可以拓展到福克空间利用Fock-state展开：

（34）

其中：

满足波函数归一化条件。

对于平均电磁场能量的算符满足方程：

（35）

其中为Fock-state，从真空态bycreatingnphotonswithspace-frequency

weightingfunction。

而函数满足的演化方程，可以从薛定谔方程中利用对易关系的到，可以表示为：

（36）

对于每一个频率所对应的玻色场都可以用算符表示,满足与（28）式一样的对易关系。

对于最简单的n个光子的Fock-states可以表示为其中而且满足方程（22）。

当输入Beam为相干态时对应的BO-ZT经典的模型也能重新从量子模型里得到。

对于相干态矢量可以表示为：

（37）

对于场的湮灭算符可以有：

（38）

当输入Beam为，有上面分析可知演化满足方程（22），所以是方程（22）的经典解。

Moregenerally,foranonclassicalstate,obtainedbyanarbitrarysuperpositionofphotonnumberstateswithamplitudesonecanreadilyshowthattheexpectationvalueofyieldstheclassicwaveopticsintensitydistribution,i.e:

.（39）

isthemeanphotonnumberoftheinputbeam.TohighlightstrictlyquantumaspectsofBOandZTusingnon