高考数学第一轮立体几何专项复习教案2.docx

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高考数学第一轮立体几何专项复习教案2

1.2.3直线与平面的位置关系

第1课时直线与平面平行的判定

【课时目标】　1．理解直线与平面平行的判定定理的含义，会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行的判定定理；2．能运用直线与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题．

1．一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种：

位置

关系

直线a在

平面α内

直线a与

平面α相交

直线a与

平面α平行

公共点

有无数个公共点

有且只有一个

公共点

没有公共点

符号

表示

a⊂α

a∩α＝A

a∥α

图形

表示

我们把直线a与平面α相交或平行的情况统称为__________________，记作________．

2．直线与平面平行的判定定理：

如果平面外一条直线和________________________平行，那么这条直线和这个平面平行．

用符号表示为a⊄α，b⊂α且a∥b⇒a∥α．

一、填空题

1．以下说法（其中a，b表示直线，α表示平面）正确的个数为________．

①若a∥b，b⊂α，则a∥α；

②若a∥α，b∥α，则a∥b；

③若a∥b，b∥α，则a∥α；

④若a∥α，b⊂α，则a∥b．

2．已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是________．

3．如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位置关系是______________________________________________________________________．

4．在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，则对角线AC和平面DEF的位置关系是________．

5．过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面为____________个．

6．过平行六面体ABCD－A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有________条．

7．经过直线外一点有________个平面与已知直线平行．

8．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的面中：

（1）与直线AB平行的平面是______________；

（2）与直线AA1平行的平面是______________；

（3）与直线AD平行的平面是______________．

9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过点A，E，C的平面的位置关系是__________________________________________________________________．

二、解答题

10．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、C1D1的中点．

求证：

EF∥平面BDD1B1．

11．如图所示，P是▱ABCD所在平面外一点，E、F分别在PA、BD上，且PE∶EA＝BF∶FD．

求证：

EF∥平面PBC．

能力提升

12．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥面MNP的图形的序号是________．（写出所有符合要求的图形序号）

13．正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE，BD上各有一点P，Q，且AP＝DQ．求证PQ∥平面BCE．（用两种方法证明）

直线与平面平行的判定方法

（1）利用定义：

证明直线a与平面α没有公共点．这一点直接证明是很困难的，往往借助于反证法来证明．

（2）利用直线和平面平行的判定定理：

a⊄α，a∥b，b⊂α，则a∥α．使用定理时，一定要说明“不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行”，若不注明和平面内的直线平行，证明过程就不完整．因此要证明a∥平面α，则必须在平面α内找一条直线b，使得a∥b，从而达到证明的目的．证明线线平行时常利用三角形中位线、平行线分线段成比例定理等．

1．2．3　直线与平面的位置关系

第1课时　直线与平面平行的判定

答案

知识梳理

1．直线在平面外　a⊄α

2．这个平面内的一条直线

作业设计

1．0

解析　①a⊂α也可能成立；②a，b还有可能相交或异面；③a⊂α也可能成立；④a，b还有可能异面．

2．b∥α或b与α相交

3．平行或相交

4．平行　5．0,1或无数

6．12

解析　如图所示，与BD平行的有4条，与BB1平行的有4条，四边形GHFE的对角线与面BB1D1D平行，同等位置有4条，总共12条．

7．无数

8．

（1）平面A1C1和平面DC1　

（2）平面BC1和平面DC1　（3）平面B1C和平面A1C1

9．平行

解析　设BD的中点为F，则EF∥BD1．

10．证明　取D1B1的中点O，

连结OF，OB．

∵OF綊

B1C1，BE綊

B1C1，

∴OF綊BE．

∴四边形OFEB是平行四边形，

∴EF∥BO．

∵EF⊄平面BDD1B1，

BO⊂平面BDD1B1，

∴EF∥平面BDD1B1．

11．证明　连结AF延长交BC于G，

连结PG．

在▱ABCD中，

易证△BFG∽△DFA．

∴

＝

＝

，

∴EF∥PG．

而EF⊄平面PBC，

PG⊂平面PBC，

∴EF∥平面PBC．

12．①③

13．证明　方法一　如图

（1）所示，作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于N，连结MN．

∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB，

∴AE＝BD．

又∵AP＝DQ，∴PE＝QB．

又∵PM∥AB∥QN，

∴

＝

，

＝

．

∴PM綊QN．

∴四边形PQNM是平行四边形．∴PQ∥MN．

又MN⊂平面BCE，PQ⊄平面BCE，

∴PQ∥平面BCE．

方法二　如图

（2）所示，连结AQ并延长交BC（或其延长线）于K，连结EK．

∵KB∥AD，∴

＝

．∵AP＝DQ，AE＝BD，

∴BQ＝PE．

∴

＝

．∴

＝

．∴PQ∥EK．

又PQ⊄面BCE，EK⊂面BCE，∴PQ∥面BCE．

第2课时　直线与平面平行的性质

【课时目标】　1．能应用文字语言、符号语言、图形语言准确地描述直线与平面平行的性质定理．2．能运用直线与平面平行的性质定理，证明一些空间线面平行关系的简单问题．

直线与平面平行的性质定理：

经过一条直线和一个平面________，经过这条直线的平面和这个平面__________，那么这条直线就和交线________．

（1）符号语言描述：

______________．

（2）性质定理的作用：

可以作为________________平行的判定方法，也提供了一种作__________的方法．

一、填空题

1．已知直线l∥平面α，直线m⊂α，则直线l和m的位置关系是________．

2．若不在同一条直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等，且A、B、CD/∈α，则面ABC与面α的位置关系为____________．

3．若直线m不平行于平面α，且m⊄α，则下列结论成立的是________（填序号）．

①α内的所有直线与m异面；

②α内不存在与m平行的直线；

③α内存在唯一的直线与m平行；

④α内的直线与m都相交．

4．如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G、H，则HG与AB的位置关系是________．

5．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线条数为________．

6．如图所示，平面α∩β＝l1，α∩γ＝l2，β∩γ＝l3，l1∥l2，下列说法正确的是__________（填序号）．

①l1平行于l3，且l2平行于l3；

②l1平行于l3，且l2不平行于l3；

③l1不平行于l3，且l2不平行于l3；

④l1不平行于l3，但l2平行于l3．

7．设m、n是平面α外的两条直线，给出三个论断：

①m∥n；②m∥α；③n∥α．以其中的两个为条件，余下的一个为结论，构造三个命题，写出你认为正确的一个命题：

______________．（用序号表示）

8．如图所示，ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝

，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________．

9．如图所示，在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四边上的点，它们共面，并且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，当四边形EFGH是菱形时，AE∶EB＝________．

二、解答题

10．ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：

AP∥GH．

11．如图所示，三棱锥A—BCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH．

求证：

CD∥平面EFGH．

能力提升

12．如图所示，在透明塑料制成的长方体ABCD—A1B1C1D1容器中灌进一些水，将固定容器底面一边BC置于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有以下命题：

①水的形状成棱柱形；②水面EFGH的面积不变；③A1D1始终水面EFGH平行．其中正确的命题序号是________．

13．如图所示，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l．

（1）求证：

BC∥l；

（2）MN与平面PAD是否平行？

试证明你的结论．

直线与平面平行判定定理和直线与平面平行性质定理经常交替使用，也就是通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出新的线线平行，复杂的题目还可继续推下去．可有如下示意图：

．

第2课时　直线与平面平行的性质答案

知识梳理

平行　相交　平行　

⇒a∥b

直线和直线　平行线

作业设计

1．平行或异面　2．平行或相交　3．②

4．平行

解析　∵E、F分别是AA1、BB1的中点，∴EF∥AB．

又AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，

∴AB∥平面EFGH．

又AB⊂平面ABCD，

平面ABCD∩平面EFGH＝GH，

∴AB∥GH．

5．0或1

解析　设这n条直线的交点为P，则点P不在直线a上，那么直线a和点P确定一个平面β，则点P既在平面α内又在平面β内，则平面α与平面β相交，设交线为直线b，则直线b过点P．又直线a∥平面α，则a∥b．很明显这样作出的直线b有且只有一条，那么直线b可能在这n条直线中，也可能不在，即这n条直线中与直线a平行的直线至多有一条．

6．①

解析　∵l1∥l2，l2⊂γ，l1⊄γ，

∴l1∥γ．

又l1⊂β，β∩γ＝l3，

∴l1∥l3

∴l1∥l3∥l2．

7．①②⇒③（或①③⇒②）

解析　设过m的平面β与α交于l．

∵m∥α，∴m∥l，∵m∥n，∴n∥l，

∵n⊄α，l⊂α，∴n∥α．

8．

a

解析　∵MN∥平面AC，平面PMN∩平面AC＝PQ，

∴MN∥PQ，易知DP＝DQ＝

，

故PQ＝

＝

DP＝

．

9．m∶n

解析　∵AC∥平面EFGH，∴EF∥AC，GH∥AC，

∴EF＝HG＝m·

，同理EH＝FG＝n·

．

∵EFGH是菱形，∴m·

＝n·

，

∴AE∶EB＝m∶n．

10．证明　如图所示，连结AC交BD于O，连结MO，

∵ABCD是平行四边形，

∴O是AC中点，

又M是PC的中点，

∴AP∥OM．

根据直线和平面平行的判定定理，

则有PA∥平面BMD．

∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，

根据直线和平面平行的性质定理，

∴PA∥GH．

11．证明　∵四边形EFGH为平行四边形，

∴EF∥GH．

又GH⊂平面BCD，EF⊄平面BCD．

∴EF∥平面BCD．

而平面ACD∩平面BCD＝CD，EF⊂平面ACD，

∴EF∥CD．

而EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH，

∴CD∥平面EFGH．

12．①③

13．

（1）证明　因为BC∥AD，AD⊂平面PAD，

BC⊄平面PAD，所以BC∥平面PAD．

又平面PAD∩平面PBC＝l，BC⊂平面PBC，

所以BC∥l．

（2）解　MN∥平面PAD．

证明如下：

如图所示，取DC的中点Q．

连结MQ、NQ．

因为N为PC中点，

所以NQ∥PD．

因为PD⊂平面PAD，NQ⊄平面PAD，所以NQ∥平面PAD．同理MQ∥平面PAD．

又NQ⊂平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，

NQ∩MQ＝Q，所以平面MNQ∥平面PAD．

所以MN∥平面PAD．

第3课时　直线与平面垂直的判定

【课时目标】　1．理解直线与平面垂直的定义．2．掌握直线与平面垂直的判定定理并能灵活应用．

1．如果直线a与平面α内的__________________，我们就说直线a与平面α互相垂直，记作：

________．

图形如图所示．

2．从平面外一点引平面的垂线，这个点和________间的距离，叫做这个点到这个平面的距离．

3．直线与平面垂直的判定定理：

如果一条直线和一个平面内的两条________直线垂直，那么这条直线______于这个平面．

图形表示：

用符号表示为：

______________________________________________________________．

一、选择题

1．下列命题中正确的是________（填序号）．

①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；

②如果直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；

③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；

④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．

2．直线a⊥直线b，b⊥平面β，则a与β的关系是________．

3．若a、b、c表示直线，α表示平面，下列条件中能使a⊥α为________．（填序号）

①a⊥b，b⊥c，b⊂α，c⊂α；②a⊥b，b∥α；

③a∩b＝A，b⊂α，a⊥b；④a∥b，b⊥α．

4．如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC的形状为__________三角形．

5．如图①所示，在正方形SG1G2G3中，E、F分别是边G1G2、G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个几何体（如图②使G1、G2、G3三点重合于一点G），则下列结论中成立的有________（填序号）．

①SG⊥面EFG；②SD⊥面EFG；③GF⊥面SEF；

④GD⊥面SEF．

6．△ABC的三条边长分别是5、12、13，点P到三点的距离都等于7，那么P到平面ABC的距离为__________________________________________________________________．

7．如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．

8．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件______时，有AB1⊥BC1（注：

填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）．

9．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝________．

二、解答题

10．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．求证：

CF⊥平面EAB．

11．如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB，PC的中点，PA＝AD．

求证：

（1）CD⊥PD；

（2）EF⊥平面PCD．

能力提升

12．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为ABCD的中心，求证B1O⊥平面PAC．

13．如图所示，△ABC中，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABC，过点A向SC和SB引垂线，垂足分别是P、Q，求证：

（1）AQ⊥平面SBC；

（2）PQ⊥SC．

1．直线和平面垂直的判定方法

（1）利用线面垂直的定义．

（2）利用线面垂直的判定定理．

（3）利用下面两个结论：

①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β．

2．在线面垂直的问题中，通过直线与直线垂直，可以证明直线与平面垂直；直线与平面垂直后，直线和平面内的任何直线都垂直．这样，就形成了线线垂直与线面垂直连环使用的思维形式，它对解题方法、策略乃至人们的思维，无疑都是一种提示．

第3课时　直线与平面垂直的判定答案

知识梳理

1．任意一条直线都垂直　a⊥α　2．垂足

3．相交　垂直　m，n⊂α，m∩n＝O，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α

作业设计

1．④　2．a⊂β或a∥β　3．④

4．直角

解析　易证AC⊥面PBC，所以AC⊥BC．

5．①

6．

解析　由P到三个顶点距离相等．可知，P为△ABC的外心，又△ABC为直角三角形，∴P到平面ABC的距离为h＝PD＝

＝

．

7．4

解析　

⇒

⇒BC⊥平面PAC⇒BC⊥PC，

∴直角三角形有△PAB、△PAC、△ABC、△PBC．

8．∠A1C1B1＝90°

解析　

如图所示，连结B1C，

由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C，

因此，要证AB1⊥BC1，则只要证明BC1⊥平面AB1C，

即只要证AC⊥BC1即可，由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC即可．

因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，

故只要证A1C1⊥B1C1即可．

（或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1＝90°等）

9．90°

解析　∵B1C1⊥面ABB1A1，

∴B1C1⊥MN．

又∵MN⊥B1M，

∴MN⊥面C1B1M，

∴MN⊥C1M．

∴∠C1MN＝90°．

10．证明　在平面B1BCC1中，

∵E、F分别是B1C1、B1B的中点，

∴△BB1E≌△CBF，

∴∠B1BE＝∠BCF，

∴∠BCF＋∠EBC＝90°，∴CF⊥BE，

又AB⊥平面B1BCC1，CF⊂平面B1BCC1，

∴AB⊥CF，AB∩BE＝B，∴CF⊥平面EAB．

11．证明　

（1）∵PA⊥底面ABCD，

∴CD⊥PA．

又矩形ABCD中，CD⊥AD，且AD∩PA＝A，

∴CD⊥平面PAD，

∴CD⊥PD．

（2）取PD的中点G，连结AG，FG．又∵G、F分别是PD，PC的中点，

∴GF綊

CD，∴GF綊AE，

∴四边形AEFG是平行四边形，∴AG∥EF．

∵PA＝AD，G是PD的中点，

∴AG⊥PD，∴EF⊥PD，

∵CD⊥平面PAD，AG⊂平面PAD．

∴CD⊥AG．∴EF⊥CD．

∵PD∩CD＝D，∴EF⊥平面PCD．

12．证明　连结AB1，CB1，设AB＝1．

∴AB1＝CB1＝

，

∵AO＝CO，∴B1O⊥AC．

连结PB1．

∵OB

＝OB2＋BB

＝

，

PB

＝PD

＋B1D

＝

，

OP2＝PD2＋DO2＝

，

∴OB

＋OP2＝PB

．

∴B1O⊥PO，

又∵PO∩AC＝O，

∴B1O⊥平面PAC．

13．证明　

（1）∵SA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，

∴SA⊥BC．

又∵BC⊥AB，SA∩AB＝A，

∴BC⊥平面SAB．

又∵AQ⊂平面SAB，

∴BC⊥AQ．又∵AQ⊥SB，BC∩SB＝B，

∴AQ⊥平面SBC．

（2）∵AQ⊥平面SBC，SC⊂平面SBC，

∴AQ⊥SC．

又∵AP⊥SC，AQ∩AP＝A，

∴SC⊥平面APQ．

∵PQ⊂平面APQ，∴PQ⊥SC．

第4课时　直线与平面垂直的性质

【课时目标】　1．掌握直线与平面垂直的性质定理．2．会求直线与平面所成的角．

1．直线与平面垂直的性质定理：

如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线________．

该定理用图形表示为：

用符号表示为：

________________________．

2．直线和平面的距离：

一条直线和一个平面________，这条直线上______________到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离．

3．平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面______________．

规定：

若直线与平面垂直，则直线与平面所成的角是________．

若直线与平面平行或直线在平面内，则直线与平面所成的角是________的角．

一、填空题

1．与两条异面直线同时垂直的平面有________个．

2．若m、n表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为________．

①

⇒n⊥α；　　②

⇒m∥n；

③

⇒m⊥n；　　④

⇒n⊥α．

3．已知直线PG⊥平面α于G，直线EF⊂α，且PF⊥EF于F，那么线段PE，PF，PG的大小关系是______________．

4．PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系正确的是________（填序号）．

①PA⊥BC；

②BC⊥平面PAC；

③AC⊥PB；

④PC⊥BC．

5．P为△ABC所在平面外一点，O为P在平面ABC内的射影．

（1）若P到△ABC三边距离相等，且O在△ABC的内部，则O是△ABC的________心；

（2）若PA⊥BC，PB⊥AC，则O是△ABC的______心；

（3）若PA，PB，PC与底面所成的角相等，则O是△ABC的________心．

6．线段AB在平面α的同侧，A、B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为________．

7．直线a和b在正方体ABCD－A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是________．（只填序号）

①a和b垂直于正方体的同一个面；②a和b在正方体两个相对的面内，且共面；③a和b平行于同一条棱；④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直．

8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，

（1）直线A1B与平面ABCD所成的角是________；

（2）直线A1B与平面ABC1D1所成的角是________；

（3）直线A1B与平面AB1C1D所成的角是________．

9．如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，侧棱长为

，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角是________．（正三棱柱：

侧棱与底面垂直，底面为正三角形的棱柱）

二、解答题

10．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC．

求证：

（1）MN∥AD1；

（2）M是AB的中点．

11．如图所示，设三角形ABC的三个顶点在平面α的同侧，AA′⊥α于A′，BB′⊥α于B′，CC′⊥α于C′，G、G′分别是△ABC和△A′B′C′的重心，求证：

GG′⊥α．

能力提升

12．如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE