重力扭转平衡试验.docx

重力扭转平衡试验.docx

《重力扭转平衡试验.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《重力扭转平衡试验.docx（15页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

重力扭转平衡试验

重力扭轉平衡實驗

（GravitationalTorsionBalanceExperiment）

胡裕民編寫

1.實驗目的：

1.利用HenryCavendish的實驗方法來測量重力常數（gravitationalconstant，G）。

2.原理介紹：

在1686年，IsaacNewton所發表的著作“PrincipiaMathematica”中指出：

所有物質之間存在著重力的作用，且此重力（吸引力）正比於兩作用物體的質量，並反比於兩作用物體之間距離的平方。

然而，在牛頓發表的一個世紀之後，科學家知道重力常數G以及所有天體質量的大小。

牛頓的理論不僅當時成功地解釋了自由落體以及天體運動的現象，並使得後來的數學家能以計算方式正確地預測出海王星（Neptune）的存在。

在牛頓的時代，所有的計算是利用太陽（或地球）與行星（或衛星）的質量比值來求得的，牛頓實際的方程式為

（1）

其中F為重力，m為物體的質量，D為距離，K為克卜勒常數（Kepler’sconstant，為行星軌道半徑的三次方與公轉周期平方的比值）。

著名的牛頓萬有引力定律現今可表示為：

（2）

其中F為重力，G為重力常數（=6.67×10-11Nm2/kg2），m、M為兩物體之質量，r為兩物體之間的距離。

1798年HenryCavendish（1731-1810，英國化學及物理學家，發現hydrogen、argon原子以及water、nitricacid的組成）設計了一個實驗來計算地球的質量，並首先發現重力常數G的數值大小。

大部分的基本常數，例如：

電荷e、普朗克常數h等，的測量都可精確到八、九個位數，但是重力常數G的測量較為困難，只能精確到三個位數：

（6.673±0.010）×10-11m3kg-1s-1。

當初，Cavendish的實驗裝置如圖一所示：

圖一.（左）扭擺平衡運動側面圖（右）扭擺平衡運動頂面圖。

將兩個質量為m的小鉛球固定在一支細棒的兩端，細棒中央固定一個反射鏡，然後將此系統如圖一（左）所示，以一條細石英線平衡懸掛。

將一支臂上兩個較大的鉛球位於position1或position2，如圖一（右）所示。

以一雷射光束投射到反射鏡上，觀察遠處直尺上的反射光。

兩個小球受到大球（於position1）吸引時，會使石英線受到力矩而逆時針扭轉，若鏡子轉動一個小角度θ時，反射光會偏轉到2θ的角度。

當兩個小球受到大球（於position2）吸引時，會使石英線受到力矩而順時針扭轉，若鏡子轉動一個小角度-θ時，反射光會偏轉到-2θ的角度。

若鏡子到直尺的距離為L，反射光在直尺上移動的距離為Δx，則：

（3）

兩個大球作用在兩個小球的力矩為：

，F為其中一個大球作用在一鄰近小球的作用力，d為兩個小球間距的一半。

若D為石英棒的扭力常數，則

（4）

此外，扭力常數D與震盪週期T之間的關係為：

（5）

其中I為轉動系統的轉動慣量：

（6）

因此，利用eq.（3）-（6）：

（7）

將eq.（7）與eq.

（2）比較後可知

（8）

本實驗根據上述的基本原理，利用兩種方法來量測重力常數，以下分別仔細介紹各方法的原理：

1.由最後偏折的量測：

圖二

由圖二所示，當大球（質量M）在position1時，大球與小球（質量m）之間的重力F可表示為：

（9）

在此系統中，大球與小球之間的重力作用產生一淨力矩：

（10）

此重力產生的淨力矩會與扭轉的扭力線產生的力矩大小相同、方向相反：

（11）

因此

（12）

當大球旋轉到position2的位置時，系統會由平衡位置S1作阻尼震盪，一直到靜止於另一個新的平衡位置S2，如圖三所示。

圖三

此時，S1與S2之間的距離ΔS與扭轉角度θ之間的關係為（如圖四所示）：

（13）

圖四

扭力常數κ可利用觀察振盪週期T來決定：

（14）

其中I為小球系統的轉動慣量：

（r為小球的半徑）

（15）

由eq.12到eq.15，我們可知

（16）

因此，實驗上量測雷射光點的總偏折距離ΔS以及振盪週期T，即可得知G。

2.由加速度的量測：

如前所述，當大球旋轉到position2的位置時，系統會由平衡位置S1作阻尼震盪，一直到靜止於另一個新的平衡位置S2。

因為小球的振盪週期很長（約十幾分鐘），因此當大球旋轉到position2位置的同時，小球並沒有明顯的運動，此時大球與小球之間的重力大小與之間約略相同，只是方向相反。

故此時剛加速小球的力量Ftotal等於原先重力作用的兩倍：

（17）

由阻尼簡諧振盪的本質可知：

在振盪週期的前十分之一時間內，初始加速度a0約為常數（變化在5%範圍內）。

因此，我們在振盪之初紀錄測量出初始加速度a0，即可約略得到重力常數G。

圖五

如圖五所示，初始加速度a0可由觀察雷射光點的位移而計算出來：

（18）

其中Δs為小球的線性位移。

利用牛頓第二運動方程式：

（19）

將ΔS與t2作圖，計算斜率即可得到初始加速度a0，亦即得到重力常數G。

3.實驗裝置：

1.裝置參考圖：

（圖六）

圖六

2.實驗儀器：

（圖七，由左到右）

a.2-56×1/8Phillipsheadscrews……………………………………………………...×4

b.replacementtorsionribbon（鈹銅製，長26cm）..………………………………….×3

c.GravitationalTorsionBalance………………………………….…………….……..×1

d.鉛球（大：

1.5kg/Φ31.9mm×2，小：

38.3g/Φ9.53mm×2）…………………….×4

e.supportbasewithlevelingfeet……………………………………………………...×1

f.plasticplate………………………………………………………………………….×1

g.Phillipsscrewdriver（notshown）……………………………………………………×1

h.He-Nelaserlightsource（notshown）……………………………………………….×1

i.Meterstick（notshown）……………………………………………………………..×1

j.碼錶…………………………………………………………………………………×1

圖七

其他裝置參數：

k.當大球貼近鋁板時，大球的質量中心至小球的質量中心的距離b為46.5mm。

l.反射鏡表面到玻璃窗外部表面的距離為11.4mm。

3.基本架設：

a.先檢查實驗儀器有無數量短缺或損壞情事，有則報告實驗助教。

b.將基座置於平坦的實驗桌上，距離牆壁或屏幕至少五公尺。

實驗過程中避免碰觸實驗桌。

c.小心地將gravitationaltorsionbalance固定在基座上。

d.旋轉擺錘腔（pendulumchamber）底部的螺絲，使得lockingmechanism降至最低。

（如圖八（左）所示）

圖八

e.調整基座腳使得擺錘在鏡子上方的中央。

（如圖八（右）所示）

f.抓住torsionribbonhead，鬆開固定螺絲，調整擺錘高度，使得擺錘與擺錘腔切齊後，將固定螺絲鎖緊（如圖九所示）。

注意：

此步驟只在更換扭力線後或是誤觸扭力線固定螺絲時才需進行。

圖九

圖十

g.擺錘臂的轉動校正（zeroing）：

如圖十所示，將雷射光斜打在反射鏡上，經由反射後觀察由鏡面反射的點與由玻璃視窗反射的點是否對齊，如圖十一（左）所示。

若無對齊，則鬆開零點調整螺絲，輕輕轉動zeroadjustknob，直到兩雷射光點對齊後即鎖緊零點調整螺絲，如圖十一（右）所示。

圖十一

h.精確地量測圖十中L的距離長度。

注意：

反射鏡表面到玻璃窗外部表面的距離為11.4mm。

i.將接地銅線接於擺錘腔的接地螺絲並鎖緊。

j.將大鉛球放在支臂兩端上，並轉到position1的位置，如圖十二所示。

圖十二

k.靜待擺錘停止震盪。

這可能需要數小時，實驗時可利用擺錘腔（pendulumchamber）底部的螺絲，使得lockingmechanism緩慢升起並接觸到擺錘棒，幾秒後再小心地將lockingmechanism緩慢下降，快速地使擺錘停止震盪。

4.實驗步驟：

1.方法一：

由最後偏折的量測（準確度：

5%）

a.待基本架設完成後，大球置於position1位置，並使擺錘停止振盪。

b.將雷射打開，觀察反射光點的位置幾分鐘，看看反射光點是否移動，以確定系統已達穩定。

精確紀錄position1時反射光點的位置S1，並紀錄反射光點位置S1隨時間變化的微小變化，以做為系統的起始誤差。

c.小心地將大球旋轉到position2的位置，使大球剛好接觸擺錘腔外殼，絕對避免有較大的碰撞，使得系統失去平衡狀態。

（可利用兩階段過程來減少擺錘達到平衡的時間（如圖十三所示）：

先將大球旋轉到intermediateposition，等到雷射光束移動至最遠距離時，再將大球旋轉到position2的位置，使大球剛好接觸擺錘腔外殼。

圖十三

d.立刻觀察並紀錄光點位置（每十五秒紀錄一次）。

e.紀錄振盪一次的時間（為求精確，紀錄幾次的振盪周期後加以平均）。

f.一直等到振盪結束後，紀錄最後平衡的位置S2。

數據分析修正：

g.將所紀錄的數據，利用eq.16計算出G值。

h.由於系統本身的誤差，因此我們做必須以下的修正：

小球除了受到鄰近大球的重力吸引F之外，也會受到另一大球較弱的重力F0吸引，如圖十四所示。

圖十四

由圖十四的幾何關係可知

（20）

（21）

而由萬有引力定律可知

（22）

因此

（23）

此處我們定義一無單位參數

（24）

由以上可知，實際作用於小球的重力

，因此實驗計算出的重力常數

，而G0則為修正後標準的重力常數。

2.方法二：

由加速度的量測（準確度：

15%）

a.先完成方法一中的步驟a-c。

b.立刻觀察並紀錄光點位置（每十五秒紀錄一次，直到三分鐘）。

數據分析

c.將光點位移ΔS（y軸）對時間t的平方（x軸）作圖，選擇起初符合線性關係的資料點作迴歸分析，找出斜率值，利用eq.17-19即可得到初始加速度a0以及重力常數G。

d.利用方法一的數據修正方法，得到正確的重力常數G。

注意：

1.實驗進行前請助教加以確認後方可進行實驗。

2.眼睛切勿直視雷射光源!

3.請特別小心鉛球，嚴禁嘻笑玩弄。

5.實驗數據：

（請自行劃表格將數據紀錄，並將以作圖，計算出的重力常數G請與已知的標準值比較，計算本實驗的誤差，並請注意有效位數。

）

6.問題討論：

1.請計算出鈹銅製扭力線的扭力常數κ。

2.本實驗若增加大球的重量，是否會對實驗結果的準確性有所幫助？

3.請討論兩種方法所得到的實驗數據的誤差值何者為大，並討論其原因。

7.實驗心得：

8.