烟台数学中考真题解析版.docx
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烟台数学中考真题解析版
2019烟台数学中考真题(解析版)
学校:
________班级:
________姓名:
________学号:
________
一、单选题(共12小题)
1.﹣8的立方根是( )
A.2B.﹣2C.±2D.﹣2
2.下列智能手机的功能图标中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A.
B.
C.
D.
3.如图所示的几何体是由9个大小相同的小正方体组成的,将小正方体①移走后,所得几何体的三视图没有发生变化的是( )
A.主视图和左视图B.主视图和俯视图
C.左视图和俯视图D.主视图、左视图、俯视图
4.将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上,飞镖落在白色区域的概率为( )
A.
B.
C.
D.无法确定
5.某种计算机完成一次基本运算的时间约为1纳秒(ns),已知1纳秒=0.000000001秒,该计算机完成15次基本运算,所用时间用科学记数法表示为( )
A.1.5×10﹣9秒B.15×10﹣9秒C.1.5×10﹣8秒D.15×10﹣8秒
6.当b+c=5时,关于x的一元二次方程3x2+bx﹣c=0的根的情况为( )
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.没有实数根D.无法确定
7.某班有40人,一次体能测试后,老师对测试成绩进行了统计.由于小亮没有参加本次集体测试因此计算其他39人的平均分为90分,方差s2=41.后来小亮进行了补测,成绩为90分,关于该班40人的测试成绩,下列说法正确的是( )
A.平均分不变,方差变大B.平均分不变,方差变小
C.平均分和方差都不变D.平均分和方差都改变
8.已知∠AOB=60°,以O为圆心,以任意长为半径作弧,交OA,OB于点M,N,分别以点M,N为圆心,以大于
MN的长度为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点P,以OP为边作∠POC=15°,则∠BOC的度数为( )
A.15°B.45°C.15°或30°D.15°或45°
9.南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了(a+b)n(n为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律如下,后人也将右表称为“杨辉三角”
(a+b)0=1
(a+b)1=a+b
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
…
则(a+b)9展开式中所有项的系数和是( )
A.128B.256C.512D.1024
10.如图,面积为24的▱ABCD中,对角线BD平分∠ABC,过点D作DE⊥BD交BC的延长线于点E,DE=6,则sin∠DCE的值为( )
A.
B.
C.
D.
11.已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表:
x
﹣1
0
2
3
4
y
5
0
﹣4
﹣3
0
下列结论:
①抛物线的开口向上;②抛物线的对称轴为直线x=2;③当0<x<4时,y>0;④抛物线与x轴的两个交点间的距离是4;⑤若A(x1,2),B(x2,3)是抛物线上两点,则x1<x2,其中正确的个数是( )
A.2B.3C.4D.5
12.如图,AB是⊙O的直径,直线DE与⊙O相切于点C,过A,B分别作AD⊥DE,BE⊥DE,垂足为点D,E,连接AC,BC,若AD=
,CE=3,则
的长为( )
A.
B.
πC.
πD.
π
二、填空题(共6小题)
13.|﹣6|×2﹣1﹣
cos45°= .
14.若关于x的分式方程
﹣1=
有增根,则m的值为 .
15.如图,在直角坐标系中,每个小正方形的边长均为1个单位长度,△ABO的顶点坐标分别为A(﹣2,﹣1),B(﹣2,﹣3),O(0,0),△A1B1O1的顶点坐标分别为A1(1,﹣1),B1(1,﹣5),O1(5,1),△ABO与△A1B1O1是以点P为位似中心的位似图形,则P点的坐标为 ﹣ ﹣ .
16.如图,直线y=x+2与直线y=ax+c相交于点P(m,3),则关于x的不等式x+2≤ax+c的解为 .
17.小明将一张正方形纸片按如图所示顺序折叠成纸飞机,当机翼展开在同一平面时(机翼间无缝隙),∠AOB的度数是 .
18.如图,分别以边长为2的等边三角形ABC的三个顶点为圆心,以边长为半径作弧,三段弧所围成的图形是一个曲边三角形,已知⊙O是△ABC的内切圆,则阴影部分面积为 ﹣ .
三、解答题(共7小题)
19.先化简(x+3﹣
)÷
,再从0≤x≤4中选一个适合的整数代入求值.
20.十八大以来,某校已举办五届校园艺术节,为了弘扬中华优秀传统文化,每届艺术节上都有一些班级表演“经典诵读”“民乐演奏”、“歌曲联唱”、“民族舞蹈”等节目.小颖对每届艺术节表演这些节目的班级数进行统计,并绘制了如图所示不完整的折线统计图和扇形统计图.
(1)五届艺术节共有 个班级表演这些节目,班数的中位数为 ,在扇形统计图中,第四届班级数的扇形圆心角的度数为 ;
(2)补全折线统计图;
(3)第六届艺术节,某班决定从这四项艺术形式中任选两项表演(“经典诵读”、“民乐演奏”、“歌曲联唱”、“民族舞蹈”分别用A,B,C,D表示),利用树状图或表格求出该班选择A和D两项的概率.
21.亚洲文明对话大会召开期间,大批的大学生志愿者参与服务工作.某大学计划组织本校全体志愿者统一乘车去会场,若单独调配36座新能源客车若干辆,则有2人没有座位;若只调配22座新能源客车,则用车数量将增加4辆,并空出2个座位.
(1)计划调配36座新能源客车多少辆?
该大学共有多少名志愿者?
(2)若同时调配36座和22座两种车型,既保证每人有座,又保证每车不空座,则两种车型各需多少辆?
22.如图,在矩形ABCD中,CD=2,AD=4,点P在BC上,将△ABP沿AP折叠,点B恰好落在对角线AC上的E点,O为AC上一点,⊙O经过点A,P
(1)求证:
BC是⊙O的切线;
(2)在边CB上截取CF=CE,点F是线段BC的黄金分割点吗?
请说明理由.
23.如图所示,一种适用于笔记本电脑的铝合金支架,边OA,OB可绕点O开合,在OB边上有一固定点P,支柱PQ可绕点P转动,边OA上有六个卡孔,其中离点O最近的卡孔为M,离点O最远的卡孔为N.当支柱端点Q放入不同卡孔内,支架的倾斜角发生变化.将电脑放在支架上,电脑台面的角度可达到六档调节,这样更有利于工作和身体健康,现测得OP的长为12cm,OM为10cm,支柱PQ为8m.
(1)当支柱的端点Q放在卡孔M处时,求∠AOB的度数;
(2)当支柱的端点Q放在卡孔N处时,∠AOB=20.5°,若相邻两个卡孔的距离相同,求此间距.(结果精确到十分位)
参考数据表
计算器按键顺序
计算结果(已取近似值)
2.65
6.8
11.24
0.35
0.937
41
49
49
41
24.【问题探究】
(1)如图1,△ABC和△DEC均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点B,D,E在同一直线上,连接AD,BD.
①请探究AD与BD之间的位置关系:
;
②若AC=BC=
,DC=CE=
,则线段AD的长为 ;
【拓展延伸】
(2)如图2,△ABC和△DEC均为直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,AC=
,BC=
,CD=
,CE=1.将△DCE绕点C在平面内顺时针旋转,设旋转角∠BCD为α(0°≤α<360°),作直线BD,连接AD,当点B,D,E在同一直线上时,画出图形,并求线段AD的长.
25.如图,顶点为M的抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(﹣1,0),B两点,与y轴交于点C,过点C作CD⊥y轴交抛物线于另一点D,作DE⊥x轴,垂足为点E,双曲线y=
(x>0)经过点D,连接MD,BD.
(1)求抛物线的表达式;
(2)点N,F分别是x轴,y轴上的两点,当以M,D,N,F为顶点的四边形周长最小时,求出点N,F的坐标;
(3)动点P从点O出发,以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动,运动时间为t秒,当t为何值时,∠BPD的度数最大?
(请直接写出结果)
2019烟台数学中考真题(解析版)
参考答案
一、单选题(共12小题)
1.【分析】如果一个数x的立方等于a,那么x是a的立方根,根据此定义求解即可.
【解答】解:
∵﹣2的立方等于﹣8,
∴﹣8的立方根等于﹣2.
故选:
B.
【知识点】立方根
2.【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.
【解答】解:
A、不是轴对称图形,是中心对称图形,故本选项错误;
B、是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项错误;
C、既是轴对称图形,也是中心对称图形,故本选项正确;
D、是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项错误.
故选:
C.
【知识点】轴对称图形、中心对称图形
3.【分析】根据从正面看得到的图形是主视图,从上面看得到的图形是俯视图,从左边看得到的图形是左视图,可得答案.
【解答】解:
将正方体①移走后,主视图不变,俯视图变化,左视图不变,
故选:
A.
【知识点】简单组合体的三视图
4.【分析】随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数.
【解答】解:
设正六边形边长为a,则灰色部分面积为3×
=
,
白色区域面积为
a×
=
,
所以正六边形面积为
a2,
镖落在白色区域的概率P=
=
,
故选:
B.
【知识点】几何概率
5.【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为a×10﹣n,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
【解答】解:
所用时间=15×0.000000001=1.5×10﹣8.
故选:
C.
【知识点】科学记数法—表示较小的数
6.【分析】由b+c=5可得出c=5﹣b,根据方程的系数结合根的判别式可得出△=(b﹣6)2+24,由偶次方的非负性可得出(b﹣6)2+24>0,即△>0,由此即可得出关于x的一元二次方程3x2+bx﹣c=0有两个不相等的实数根.
【解答】解:
∵b+c=5,
∴c=5﹣b.
△=b2﹣4×3×(﹣c)=b2+12c=b2﹣12b+60=(b﹣6)2+24.
∵(b﹣6)2≥0,
∴(b﹣6)2+24>0,
∴△>0,
∴关于x的一元二次方程3x2+bx﹣c=0有两个不相等的实数根.
故选:
A.
【知识点】根的判别式
7.【分析】根据平均数,方差的定义计算即可.
【解答】解:
∵小亮的成绩和其他39人的平均数相同,都是90分,
∴该班40人的测试成绩的平均分为90分,方差变小,
故选:
B.
【知识点】算术平均数、方差
8.【分析】
(1)以O为圆心,以任意长为半径作弧,交OA,OB于点M,N,分别以点M,N为圆心,以大于
MN的长度为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点P,则OP为∠AOB的平分线;
(2)两弧在∠AOB内交于点P,以OP为边作∠POC=15°,则为作∠POB或∠POA的角平分线,即可求解.
【解答】解:
(1)以O为圆心,以任意长为半径作弧,交OA,OB于点M,N,分别以点M,N为圆心,
以大于
MN的长度为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点P,则OP为∠AOB的平分线,
(2)两弧在∠AOB内交于点P,以OP为边作∠POC=15°,则为作∠POB或∠POA的角平分线,
则∠BOC=15°或45°,
故选:
D.
【知识点】作图—复杂作图
9.【分析】由“杨辉三角”的规律可知,令a=b=1,代入(a+b)9计算可得所有项的系数和.
【解答】解:
由“杨辉三角”的规律可知,(a+b)9展开式中所有项的系数和为(1+1)9=29=512
故选:
C.
【知识点】规律型:
数字的变化类、数学常识、完全平方公式
10.【分析】可证明四边形ABCD是菱形,由面积可求出BD长,连接AC,过点D作DF⊥BE于点E,求出菱形的边长CD=5,由勾股定理可求出CF、DF长,则sin∠DCE的值可求出.
【解答】解:
连接AC,过点D作DF⊥BE于点E,
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠DBC,
∵▱ABCD中,AD∥BC,
∴∠ADB=∠DBC,
∴∠ADB=∠ABD,
∴AB=BC,
∴四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,OB=OD,
∵DE⊥BD,
∴OC∥ED,
∵DE=6,
∴OC=
,
∵▱ABCD的面积为24,
∴
,
∴BD=8,
∴
=
=5,
设CF=x,则BF=5+x,
由BD2﹣BF2=DC2﹣CF2可得:
82﹣(5+x)2=52﹣x2,
解得x=
,
∴DF=
,
∴sin∠DCE=
.
故选:
A.
【知识点】解直角三角形、平行四边形的性质
11.【分析】先利用交点式求出抛物线解析式,则可对①进行判断;利用抛物线的对称性可对②进行判断;利用抛物线与x轴的交点坐标为(0,0),(4,0)可对③④进行判断;根据二次函数的增减性可对⑤进行判断.
【解答】解:
设抛物线解析式为y=ax(x﹣4),
把(﹣1,5)代入得5=a×(﹣1)×(﹣1﹣4),解得a=1,
∴抛物线解析式为y=x2﹣4x,所以①正确;
抛物线的对称轴为直线x=2,所以②正确;
∵抛物线与x轴的交点坐标为(0,0),(4,0),
∴当0<x<4时,y<0,所以③错误;
抛物线与x轴的两个交点间的距离是4,所以④正确;
若A(x1,2),B(x2,3)是抛物线上两点,则x2<x1<2或2<x1<x2,所以⑤错误.
故选:
B.
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、抛物线与x轴的交点
12.【分析】根据圆周角定理求得∠ACB=90°,进而证得△ADC∽△CEB,求得∠ABC=30°,根据切线的性质求得∠ACD=30°,解直角三角形求得半径,根据圆周角定理求得∠AOC=60°,根据弧长公式求得即可.
【解答】解:
连接OC,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠ACD+∠BCE=90°,
∵AD⊥DE,BE⊥DE,
∴∠DAC+∠ACD=90°,
∴∠DAC=∠ECB,
∵∠ADC=∠CEB=90°,
∴△ADC∽△CEB,
∴
=
,即
=
,
∵tan∠ABC=
=
,
∴∠ABC=30°,
∴AB=2AC,∠AOC=60°,
∵直线DE与⊙O相切于点C,
∴∠ACD=∠ABC=30°,
∴AC=2AD=2
,
∴AB=4
,
∴⊙O的半径为2
,
∴
的长为:
=
π,
故选:
D.
【知识点】切线的性质、弧长的计算
二、填空题(共6小题)
13.【分析】直接利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值、负指数幂的性质分别化简得出答案.
【解答】解:
原式=6×
﹣
×
=3﹣1
=2.
故答案为:
2.
【知识点】负整数指数幂、特殊角的三角函数值、实数的运算
14.【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根.所以应先确定增根的可能值,让最简公分母(x﹣2)=0,得到x=2,然后代入化为整式方程的方程算出m的值.
【解答】.解:
方程两边都乘(x﹣2),
得3x﹣x+2=m+3
∵原方程有增根,
∴最简公分母(x﹣2)=0,
解得x=2,
当x=2时,m=3.
故答案为3.
【知识点】分式方程的增根
15.【分析】分别延长B1B、O1O、A1A,它们相交于点P,然后写出P点坐标即可.
【解答】解:
如图,P点坐标为(﹣5,﹣1).
故答案为(﹣5,﹣1).
【知识点】位似变换、坐标与图形性质
16.【分析】将点P(m,3)代入y=x+2,求出点P的坐标;结合函数图象可知当x<1时x+2≤ax+c,即可求解;
【解答】解:
点P(m,3)代入y=x+2,
∴m=1,
∴P(1,3),
结合图象可知x+2≤ax+c的解为x≤1;
故答案为x≤1;
【知识点】一次函数与一元一次不等式
17.【分析】根据折叠的轴对称性,180°的角对折3次,求出每次的角度即可;
【解答】解:
在折叠过程中角一直是轴对称的折叠,
∠AOB=22.5°×2=45°;
故答案为45°.
【知识点】角的计算
18.【分析】连接OB,作OH⊥BC于H,如图,利用等边三角形的性质得AB=BC=AC=2,∠ABC=60°,再根据三角形内切圆的性质得OH为⊙O的半径,∠OBH=30°,再计算出BH=CH=1,OH=
BH=
,然后根据扇形的面积公式,利用阴影部分面积=3S弓形AB+S△ABC﹣S⊙O=3(S扇形ACB﹣S△ABC)+S△ABC﹣S⊙O进行计算.
【解答】解:
连接OB,作OH⊥BC于H,如图,
∵△ABC为等边三角形,
∴AB=BC=AC=2,∠ABC=60°,
∵⊙O是△ABC的内切圆,
∴OH为⊙O的半径,∠OBH=30°,
∵O点为等边三角形的外心,
∴BH=CH=1,
在Rt△OBH中,OH=
BH=
,
∵S弓形AB=S扇形ACB﹣S△ABC,
∴阴影部分面积=3S弓形AB+S△ABC﹣S⊙O=3(S扇形ACB﹣S△ABC)+S△ABC﹣S⊙O=3S扇形ACB﹣2S△ABC﹣S⊙O=3×
﹣2×
×22﹣π×(
)2=
π﹣2
.
故答案为
π﹣2
.
【知识点】扇形面积的计算、等边三角形的性质、三角形的内切圆与内心
三、解答题(共7小题)
19.【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简,根据分式有意义的条件选择一个整数代入计算即可.
【解答】解:
(x+3﹣
)÷
=(
﹣
)÷
=
•
=
,
当x=1时,原式=
=
.
【知识点】一元一次不等式组的整数解、分式的化简求值
20.【分析】
(1)先计算出第一届、第二届和第三届参加班级所占的百分比为45%,再用18除以45%得到五届艺术节参加班级表演的总数;接着求出第四届和第五届参加班级数,利用中位数的定义得到班数的中位数;在扇形统计图中,第四届班级数的扇形圆心角的度数为360°×22.5%;
(2)补全折线统计图;
(3)画树状图展示所有12种等可能的结果数,找出该班选择A和D两项的结果数,然后概率公式计算.
【解答】解:
(1)第一届、第二届和第三届参加班级所占的百分比为1﹣22.5%﹣
=45%,
所以五届艺术节参加班级表演的总数为(5+7+6)÷45%=40(个);
第四届参加班级数为40×22.5%=9(个),第五届参加班级数为40﹣18﹣9=13(个),
所以班数的中位数为7(个)
在扇形统计图中,第四届班级数的扇形圆心角的度数为360°×22.5%=81°;
故答案为40,7,81°;
(2)如图,
(3)画树状图为:
共有12种等可能的结果数,其中该班选择A和D两项的结果数为2,
所以该班选择A和D两项的概率=
=
.
【知识点】列表法与树状图法、中位数、扇形统计图、折线统计图
21.【分析】
(1)设计划调配36座新能源客车x辆,该大学共有y名志愿者,则需调配22座新能源客车(x+4)辆,根据志愿者人数=36×调配36座客车的数量+2及志愿者人数=22×调配22座客车的数量﹣2,即可得出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出结论;
(2)设需调配36座客车m辆,22座客车n辆,根据志愿者人数=36×调配36座客车的数量+22×调配22座客车的数量,即可得出关于m,n的二元一次方程,结合m,n均为正整数即可求出结论.
【解答】解:
(1)设计划调配36座新能源客车x辆,该大学共有y名志愿者,则需调配22座新能源客车(x+4)辆,
依题意,得:
,
解得:
.
答:
计划调配36座新能源客车6辆,该大学共有218名志愿者.
(2)设需调配36座客车m辆,22座客车n辆,
依题意,得:
36m+22n=218,
∴n=
.
又∵m,n均为正整数,
∴
.
答:
需调配36座客车3辆,22座客车5辆.
【知识点】二元一次方程的应用、二元一次方程组的应用
22.【分析】
(1)通过“连直径、证垂直”的方法,证明∠BAP=∠OPA,即可求解;
(2)CF=CE=AC﹣AE=
﹣4=2
﹣2,即可求解.
【解答】解:
(1)连接OP,则∠PAO=∠APO,
而△AEP是由△ABP沿AP折叠而得:
故AE=AB=4,∠OAP=∠PAB,
∴∠BAP=∠OPA,
∴AB∥OP,∴∠OPC=90°,
∴BC是⊙O的切线;
(2)CF=CE=AC﹣AE=
﹣4=2
﹣2,
=
,
故:
点F是线段BC的黄金分割点.
【知识点】翻折变换(折叠问题)、切线的判定与性质、矩形的性质、黄金分割
23.【分析】
(1)如图,过点P作PH⊥OA于点H.设OH=x,则HM=10﹣x,由勾股定理得122﹣x2=82﹣(10﹣x)2,解得x=9,即OH=9(cm),cos∠AOB=
=
=0.75,由表可知,∠AOB为41°;
(2)过点P作PH⊥OA于点H.在Rt△OPH中,
,OH=11.244(cm),
,PH=4.2(cm),HN=
(cm),ON=OH+HN=11.244+6.8=18.044(cm),MN=ON﹣OM=18.044﹣10=8.044(cm)电脑台面的角度可达到六档调节,相邻两个卡孔的距离相同,相邻两个卡孔的距离为8.044÷(6﹣1)≈1.6(cm).
【解答】解:
(1)如图,过点P作PH⊥OA于点H.
设OH=x,则HM=10﹣x,
由勾股定理得
OP2﹣OH2=PH2,MP2﹣HM2=PH2,
∴OP2﹣OH2=MP2﹣HM2,
即122﹣x2=82﹣(10﹣x)2,
解得x=9,
即OH=9(cm),
∴cos∠AOB=
=
=0.75,
由表可知,∠AOB为41°;
(2)过点P作PH⊥OA于点H.
在Rt△OPH中,
,
OH=11.244(cm),
,
∴PH=4.2(cm),
∴HN=
(cm),
∴ON=OH+HN=11.244+6.8=18.044(cm),
∴MN=ON﹣OM=18.044﹣10=8.044(cm)
∵电脑台面的角度可达到六档调节,相邻两个卡孔的距离相同,
∴相邻两个卡孔的距离为8.044÷(6﹣1)≈1.6(cm)
答:
相邻两个卡孔的距离约为1.6cm.
【知识点】计算器—三角函数、解直角三角形的应用-坡度坡角问题
24.【分析】【问题探究】
(1)①由“SAS”可证△ACD≌