四川省成都市石室中学学年高一下学期期中考试数学.docx

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四川省成都市石室中学学年高一下学期期中考试数学

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.下列说法正确的是（）

A．零向量没有方向B．单位向量都相等

C．共线向量又叫平行向量D．任何向量的模都是正实数

【答案】C

【解析】

试题分析：

由于向量中规定共线向量又叫平行向量,故应选C.

考点：

向量的有关概念.

2.在锐角中，，则（）

A．B．C．D．

【答案】A

考点：

三角形的面积公式及同角的关系.

3.已知，在方向上的投影是，则为（）

A．B．C．2D．3

【答案】C

【解析】

试题分析：

由向量投影的概念可得,因此,故应选C.

考点：

向量的数量积公式及有关概念.

4.数列的前项和等于（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】

试题分析：

因,故,故应选A.

考点：

等差数列和等比数列的前项和.

5.已知向量，，若向量满足，，则（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】

试题分析：

因,故,即,又,故

可得,即,故,所以,应选D.

考点：

向量坐标形式的运算.

6.已知等比数列中，，数列是等差数列，且，则（）

A．2B．4C．8D．16

【答案】B

考点：

等差数列等比数列的性质及运用.

7.若为锐角，且满足，，则的值为（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】

试题分析：

因,,故,故

故应选B.

考点：

两角和的正弦公式及运用.

【易错点晴】三角变换的精髓就是变角,将一个角变为两个角的和与差的形式是解答角变换问题的最高境界.所以在求解三角函数的值时,务必看清已知角与欲求角之间的关系,并进行适当变换,达到能够利用已知角的三角函数的关系.如本题在求解时,首先通过观察将欲求角看做,然后再运用两角差的正弦公式得.

8.若，，则下列各式一定成立的是（）

A．B．C．D．

【答案】C

考点：

不等式的性质及运用.

9.若数列满足，且，则数列的前2018项之积为（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】

试题分析：

因,故,故应选C.

考点：

数列的概念和叠乘运算.

10.关于的不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是（）

A．B．C．D．

【答案】A

考点：

不等式恒成立问题的处理方法.

【易错点晴】本题以不等式在区间上恒成立为背景,考查的是分离参数法及函数方程思想在解决不等式恒成立问题的常用方法.本题在求解时,首先从不等式中分离出参数,然后再求函数解析式在区间上的最小值,最后求出参数的取值范围是.从而使得问题简捷巧妙获解.

11.一货轮航行到处，测得灯塔在货轮的北偏东，与灯塔相距20海里，随后货轮按北偏西的方向航行30分钟到达处后，又测得灯塔在货轮的北偏东，则货轮的速度为（）

A．海里/时B．海里/时

C．海里/时D．海里/时

【答案】D

【解析】

试题分析：

设货轮的速度为,则,由于,因此由正弦定理可得,故,故应选D.

考点：

正弦定理在实际问题中运用.

12.如图，已知点为平行四边形的边上一点，，为边上的一列点，连接交于，点满足，其中数列是首项为1的正项数列，则的值为（）

A．53B．22C．15D．79

【答案】A

【解析】

试题分析：

如图,因,,故,而,故,故,所以数列是公比为首项为

的等比数列,所以,即,故,应选A.

考点：

向量的几何运算和等比数列的知识及综合运用.

【易错点晴】本题考查的是平面向量的几何运算及待定系数法的综合运用.求解时充分借助题设条件,从另一个角度运用向量的三角形法则求出和

然后在比较其系数得到,即

由定义可得数列是公比为首项为的等比数列,所以

即,故.

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）

13.若，则.

【答案】

【解析】

试题分析:

因,故应填.

考点：

两角和的正切公式等有关知识及运用．

14.若关于的方程没有实数根，则实数的取值范围是.

【答案】

考点：

二次不等式及解法．

15.如图，等腰直角三角形，点是的重心，过点作直线与两边分别交于两点，且，，则的最小值为.

【答案】

【解析】

试题分析:

设,则,即

，又因为,所以,由此可得,又,故应填.

考点：

向量的几何运算及基本不等式等有关知识的综合运用．

【易错点晴】本题考查的是平面向量的几何运算、待定系数法、基本不等式等知识的综合运用.求解时充分借助题设条件,从两个角度运用向量的三角形法则求出和,然后在比较其系数得到,即,为求的最小值附加了一个重要条件.最后再运用基本不等式得到,求出其最小值为.

16.已知数列的前项和满足，若，则.

【答案】

考点：

等差数列和等比数列的有关知识及综合运用．

【易错点晴】本题考查的是数列前项和与通项之间关系等有关知识的综合运用.求解时要充分运用题设条件,再得到其递推式,然后两式相减可得

再加以整理可得,运用等比数列的定义可知数列是公比为,首项为的等比数列,则,所以,最后由定义可知数列是首项为,公差为的等差数列,最后求出,故

.

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（本小题满分10分）

已知向量满足：

，，.

（1）求向量与的夹角；

（2）若，求实数的值.

【答案】

（1）；

（2）.

【解析】

试题分析：

（1）借助题设条件运用向量的数量积公式求解；

（2）借助向量模的概念建立方程求解.

试题解析：

（1）设向量与的夹角为，

∵，∴，

所以，∵，∴；

（2）由，得，

∴，.

考点：

向量的模的概念和数量积公式等有关知识的综合运用．

18.（本小题满分12分）

已知，且.

（1）求的值；

（2）求的值.

【答案】

（1）；

（2）.

考点：

三角变换的公式等有关知识的综合运用．

19.（本小题满分12分）

已知公差不为零的等差数列的前项和为，且，是和的等比中项.

（1）求数列的通项公式；

（2）设是首项和公比均为3的等比数列，求数列的前项和.

【答案】

（1）；

（2）.

【解析】

试题分析：

（1）借助题设条件运用等差数列通项公式和前项和公式建立方程组求解；

（2）借助错位相减法和等比数列的前项和公式求解.

试题解析：

（1）设数列的公差为，根据题意可得：

解得：

，∴.

（2）由题意可得：

，∴，

∴，①

，②

由①-②得：

，

∴.

考点：

等差数列和等比数列的通项公式和前项和公式及错位相减法等有关知识的综合运用．

20.（本小题满分12分）

在中，分别是角的对边，且关于的不等式解集为

.

（1）求角的大小；

（2）若，设，的周长为，求的取值范围.

【答案】

（1）；

（2）.

（2）由，及正弦定理得：

，

∴，，

故

，

∵，∴，∴，

故，得，∴，

∴.

考点：

正弦定理和余弦定理及三角变换公式等有关知识的综合运用．

【易错点晴】本题考查的是正弦定理和余弦定理及三角变换等有关知识的综合运用.解答第一问时,充分借助题设条件,将不等式的解集转化为,再依据余弦定理,求出角.第二问的求解过程中如何建立目标函数是解答好本题的关键,也是解答好本题突破口.求解时先运用正弦定理和三角变换等知识将三角形的周长表示的函数,然后再求函数的值域.

21.（本小题满分12分）

如图，已知矩形中，，，过点的直线与，的延长线分别交于点.

（1）若的面积不小于50，求线段的长度的取值范围；

（2）在直线绕点旋转的过程中，的面积是否存在最小值？

若存在，求出这个最小值及相应

的的长度；若不存在，请说明理由.

【答案】

（1）；

（2）当，的面积有最小值.

【解析】

试题分析：

（1）借助题设条件建立不等式求解；

（2）借助基本不等式求解.

试题解析：

（1）设，的面积为，

∵～，∴，∴，

∴.

由，得或.

所以，线段的长度的取值范围.

考点：

二次不等式及基本不等式等有关知识的综合运用．

22.（本小题满分12分）

数列满足，.

（1）求的值；

（2）求数列的通项公式；

（3）设，求证：

.

【答案】

（1）；

（2）；（3）证明见解析.

【解析】

试题分析：

（1）分别令，，可得；

（2）借助题设条件运用数列的递推关系求解；（3）借助题设运用放缩法和不等式的性质推证.

试题解析：

（1）令，得；令，有，得；

令，有，得.

（2）∵，

（1）式

所以，当时，，

（2）式

两式相减得：

，∴.

当时，也适合，

∴.

考点：

数列的递推关系及不等式的放缩法等有关知识的综合运用．

【易错点晴】本题考查的是数列的递推关系及放缩法和不等式的性质等有关知识的综合运用.解答第一问时,充分借助题设条件,运用数列递推式赋值直接求出；第二问的求解中,借助数列递推关系式,运用两等式相减的方法求得；第三问的推证过程中运用放缩法缩放成,再运用裂项相消法推证得不等式.