版同步优化探究理数北师大版练习第十章 第九节 离散型随机变量的均值与方差正态分布.docx
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版同步优化探究理数北师大版练习第十章第九节离散型随机变量的均值与方差正态分布
课时作业
A组——基础对点练
1．（2015·高考湖北卷）设X～N（μ1，σ），Y～N（μ2，σ），这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ）
A．P（Y≥μ2）≥P（Y≥μ1）
B．P（X≤σ2）≤P（X≤σ1）
C．对任意正数t，P（X≤t）≥P（Y≤t）
D．对任意正数t，P（X≥t）≥P（Y≥t）
解析：
由正态分布密度曲线的性质可知，X～N（μ1，σ），Y～N（μ2，σ）的密度曲线分别关于直线x＝μ1，x＝μ2对称，因此结合题中所给图像可得，μ1＜μ2，所以P（Y≥μ2）＜P（Y≥μ1），故A错误．又X～N（μ1，σ）的密度曲线较Y～N（μ2，σ）的密度曲线“瘦高”，所以σ1＜σ2，所以P（X≤σ2）＞P（X≤σ1），B错误．对任意正数t，P（X≤t）≥P（Y≤t），P（X≥t）≤P（Y≥t），C正确，D错误．
答案：
C
2．（2018·长沙模拟）一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数
（例如：
若a1＝a3＝a5＝1，a2＝a4＝0，则A＝10101），其中二进制数A的各位数中，已知a1＝1，ak（k＝2,3,4,5）出现0的概率为，出现1的概率为，记X＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5，现在仪器启动一次，则E（X）＝（ ）
A. B.
C.D.
解析：
法一：
X的所有可能取值为1,2,3,4,5，P（X＝1）＝C40＝，P（X＝2）＝C31＝，P（X＝3）＝C22＝，P（X＝4）＝C13＝，P（X＝5）＝C04＝，所以E（X）＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝.
法二：
由题意，X的所有可能取值为1,2,3,4,5，设Y＝X－1，则Y的所有可能取值为0,1,2,3,4，因此Y～B（4，），所以E（Y）＝4×＝，从而E（X）＝E（Y＋1）＝E（Y）＋1＝＋1＝.
答案：
B
3．已知袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（n＝1,2,3,4）．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．若η＝aX＋b，E（η）＝1，D（η）＝11，则a＋b的值是（ ）
A．1或2B．0或2
C．2或3D．0或3
解析：
由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2,3,4，E（X）＝×0＋×1＋×2＋×3＋×4＝，
D（X）＝×2＋×2＋×（2－）2＋×2＋×2＝.
由D（η）＝a2D（X），得a2×＝11，即a＝±2.
又E（η）＝aE（X）＋b，所以当a＝2时，由1＝2×＋b，
得b＝－2，此时a＋b＝0.
当a＝－2时，由1＝－2×＋b，得b＝4，此时a＋b＝2.故选B.
答案：
B
4．若随机事件A在1次试验中发生的概率为p（0＜p＜1），用随机变量ξ表示A在1次试验中发生的次数，则的最大值为（ ）
A．2＋2B．2
C．2－D．2－2
解析：
随机变量ξ的所有可能取值为0,1，且P（ξ＝1）＝p，P（ξ＝0）＝1－p，即ξ～B（1，p），根据公式得E（ξ）＝p，D（ξ）＝p（1－p），则＝2－.而2p＋≥2＝2，当且仅当2p＝，即p＝时取等号．因此当p＝时，取得最大值2－2.
答案：
D
5．若某科技小制作课的模型制作规则是：
每位学生最多制作3次，一旦制作成功，则停止制作，否则可制作3次．设某学生一次制作成功的概率为p（p≠0），制作次数为X，若X的数学期望E（X）＞，则p的取值范围是（ ）
A.B.
C.D.
解析：
由已知条件可得P（X＝1）＝p，P（X＝2）＝（1－p）p，P（X＝3）＝（1－p）2p＋（1－p）3＝（1－p）2，则E（X）＝P（X＝1）＋2P（X＝2）＋3P（X＝3）＝p＋2（1－p）p＋3（1－p）2＝p2－3p＋3＞，解得p＞或p＜，又p∈（0,1]，可得p∈，故选C.
答案：
C
6．（2015·高考广东卷）已知随机变量X服从二项分布B（n，p）．若E（X）＝30，D（X）＝20，则p＝.
解析：
由得p＝.
答案：
7．已知X是离散型随机变量，P（X＝x1）＝，P（X＝x2）＝，且x1＜x2.若E（X）＝，D（X）＝，则x1＋x2的值为．
解析：
由题意得X的所有可能取值为x1，x2，所以E（X）＝x1＋x2＝，D（X）＝2＋2＝，整理得，
解得或（舍去），故x1＋x2＝3.
答案：
3
8．（2018·淄博模拟）某4S店在一次促销活动中，让每位参与者从盒子中任取一个由0～9中任意三个数字组成的“三位递减数”（即个位数字小于十位数字，十位数字小于百位数字）．若“三位递减数”中的三个数字之和既能被2整除又能被5整除，则可以享受5万元的优惠；若“三位递减数”中的三个数字之和仅能被2整除，则可以享受3万元的优惠；其他结果享受1万元的优惠．
（1）试写出所有个位数字为4的“三位递减数”；
（2）若小明参加了这次汽车促销活动，求他得到的优惠金额X的分布列及数学期望E（X）．
解析：
（1）个位数字为4的“三位递减数”有：
984,974,964,954,874,864,854,764,754,654，共10个．
（2）由题意，不同的“三位递减数”共有C＝120（个）．
小明得到的优惠金额X的取值可能为5,3,1.
当X＝5时，三个数字之和可能为20或10，
当三个数字之和为20时，有983,974,965,875，共4个“三位递减数”；
当三个数字之和为10时，有910,820,730,721,640,631,541,532，共8个“三位递减数”，
所以P（X＝5）＝＝.
当X＝3时，三个数字之和只能被2整除，即这三个数字只能是三个偶数或两个奇数一个偶数，但不包括能被10整除的“三位递减数”，
故P（X＝3）＝＝＝.
故P（X＝1）＝1－P（X＝5）－P（X＝3）＝1－－＝.
所以他得到的优惠金额X的分布列为
X
5
3
1
P
数学期望E（X）＝5×＋3×＋1×＝2.2（万元）．
9．（2018·唐山模拟）退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势．某机构为了解某城市市民的年龄构成，按1%的比例从年龄在20～80岁（含20岁和80岁）之间的市民中随机抽取600人进行调查，并将年龄按[20,30），[30,40），[40,50），[50,60），[60,70），[70,80]进行分组，绘制成频率分布直方图，如图所示．规定年龄在[20,40）岁的人为“青年人”，[40,60）岁的人为“中年人”，[60,80]岁的人为“老年人”．
（1）根据频率分布直方图估计该城市60岁以上（含60岁）的人数，若每一组中的数据用该组区间的中点值来代表，试估算所调查的600人的平均年龄；
（2）将上述人口分布的频率视为该城市年龄在20～80岁的人口分布的概率，从该城市年龄在20～80岁的市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.
解析：
（1）由频率分布直方图可知60岁以上（含60岁）的频率为（0.01＋0.01）×10＝0.2，
故样本中60岁以上（含60岁）的人数为600×0.2＝120，故该城市60岁以上（含60岁）的人数为120÷1%＝12000.
所调查的600人的平均年龄为
25×0.1＋35×0.2＋45×0.3＋55×0.2＋65×0.1＋75×0.1＝48（岁）．
（2）法一：
由频率分布直方图知，“老年人”所占的频率为，所以从该城市年龄在20～80岁的市民中随机抽取1人，抽到“老年人”的概率为，
分析可知X的所有可能取值为0,1,2,3，
P（X＝0）＝C03＝，
P（X＝1）＝C12＝，
P（X＝2）＝C21＝，
P（X＝3）＝C30＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
E（X）＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
法二：
由题意知每次抽到“老年人”的概率都是，且X～B（3，），P（X＝k）＝
Ck3－k，k＝0,1,2,3，
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
故E（X）＝3×＝.
B组——能力提升练
1．（2018·南阳模拟）设随机变量X～B（2，p），随机变量Y～B（3，p），若P（X≥1）＝，则D（3Y＋1）＝（ ）
A．2 B．3
C．6D．7
解析：
法一：
由题意得P（X≥1）＝P（X＝1）＋P（X＝2）＝Cp（1－p）＋Cp2＝，所以p＝，则Y～B（3，），故D（Y）＝3××＝，所以D（3Y＋1）＝9D（Y）＝9×＝6.
法二：
因为P（X≥1）＝1－P（X＝0）＝，所以P（X＝0）＝C（1－p）2＝，所以p＝，则Y～B，故D（Y）＝3××＝，所以D（3Y＋1）＝9D（Y）＝9×＝6.
答案：
C
2．已知甲、乙两个工人在同样的条件下生产某种材料，日生产量相等，每天出废品的情况如表所示，则下列结论正确的是（ ）
工人
甲
乙
废品数
0
1
2
3
0
1
2
3
概率
0.4
0.3
0.2
0.1
0.3
0.5
0.2
0
A.甲生产的产品质量比乙生产的产品质量好一些
B．乙生产的产品质量比甲生产的产品质量好一些
C．两人生产的产品质量一样好
D．无法判断谁生产的产品质量好一些
解析：
根据离散型随机变量的分布列可知甲生产的产品出废品的平均值为0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1，乙生产的产品出废品的平均值为0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＋3×0＝0.9，结合实际可知乙生产的产品质量比甲生产的产品质量好一些，故选B.
答案：
B
3．已知随机变量ξ的所有可能取值分别为1,2,3,4,5.若数学期望E（ξ）＝4.2，则ξ取值为5的概率至少为（ ）
A．0.1B．0.15
C．0.2D．0.25
解析：
设ξ的取值为1,2,3,4,5的概率分别为p1，p2，p3，p4，p5，pi∈[0,1]，i＝1,2,3,4,5，则p1＋p2＋p3＋p4＋p5＝1，则p1＋2p2＋3p3＋4（1－p1－p2－p3－p5）＋5p5＝4.2⇒p5＝0.2＋3p1＋2p2＋p3≥0.2，当p1＝p2＝p3＝0时等号成立．
答案：
C
4．（2018·西安模拟）前不久，社科院发布了2015年度“全国城市居民幸福排行榜”，北京市成为本年度最“幸福城”，随后，某师大附中学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度，现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后一位数字为叶）.
（1）指出这组数据的众数和中位数；
（2）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；
（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．
解析：
（1）众数：
8.6；中位数：
8.75.
（2）设Ai（i＝0,1,2,3）表示所取3人中有i个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件A，则P（A）＝P（A0）＋P（A1）＝＋＝.
（3）法一：
ξ的所有可能取值为0,1,2,3.
P（ξ＝0）＝3＝；P（ξ＝1）＝C××2＝；
P（ξ＝2）＝C2×＝；P（ξ＝3）＝3＝.
ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
P
所以E（ξ）＝0×＋1×＋2×＋3×＝0.75.
法二：
ξ的所有可能取值为0,1,2,3.
则ξ～B，
P（ξ＝k）＝Ck3－k，k＝0,1,2,3.
所以E（ξ）＝3×＝0.75.
5．（2016·高考山东卷）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：
（1）“星队”至少猜对3个成语的概率；
（2）“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望E（X）．
解析：
（1）记事件A：
“甲第一轮猜对”，
记事件B：
“乙第一轮猜对”，
记事件C：
“甲第二轮猜对”，
记事件D：
“乙第二轮猜对”，
记事件E：
“‘星队’至少猜对3个成语”．
由题意，E＝ABCD＋BCD＋ACD＋ABD＋ABC，
由事件的独立性与互斥性，
P（E）＝P（ABCD）＋P（BCD）＋P（ACD）＋P（ABD）＋P（ABC）＝P（A）P（B）P（C）P（D）＋P（）P（B）P（C）P（D）＋P（A）P（）P（C）P（D）＋P（A）P（B）P（）P（D）＋P（A）P（B）P（C）P（）＝×××＋2×＝，
所以“星队”至少猜对3个成语的概率为.
（2）由题意，随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4,6.
由事件的独立性与互斥性，得
P（X＝0）＝×××＝，P（X＝1）＝2×＝＝，
P（X＝2）＝×××＋×××＋×××＋×××＝，
P（X＝3）＝×××＋×××＝＝，
P（X＝4）＝2×
＝＝，
P（X＝6）＝×××＝＝.
可得随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
6
P
所以数学期望E（X）＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋6×＝.
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