版高中数学第二章统计222用样本的数字特征估计总体的数字特征学案新人教B版必修3.docx

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版高中数学第二章统计222用样本的数字特征估计总体的数字特征学案新人教B版必修3

2．2.2　用样本的数字特征估计总体的数字特征

学习目标

　1.能合理地选取样本，并从中提取基本的数字特征.2.了解众数、中位数、平均数的概念，会计算方差和标准差.3.进一步体会用样本估计总体的思想，会用样本的数字特征估计总体的数字特征．

知识点一　众数、中位数、平均数

思考1　平均数、中位数、众数中，哪个量与样本的每一个数据有关，它有何缺点？

思考2　在电视大奖赛中，计算评委打分的平均值时，为什么要去掉一个最高分和一个最低分？

梳理　众数、中位数、平均数定义

（1）众数：

一组数据中出现次数________的数．

（2）中位数：

把一组数据按______________________的顺序排列，处在______________位置的数（或中间两个数的________）叫做这组数据的中位数．

（3）平均数：

如果n个数x1，x2，…，xn，那么

＝____________________叫做这n个数的平均数．

知识点二　方差、标准差

思考1　当样本数据的标准差为0时，该组数据有何特点？

思考2　标准差、方差的意义是什么？

梳理　标准差、方差的概念及计算公式

（1）标准差是样本数据到平均数的一种__________，一般用s表示．s＝_______________（xn是样本数据，n是样本容量，

是样本平均数）．

（2）标准差的平方s2叫做方差．

s2＝__________________________________（xn是样本数据，n是样本容量，

是样本平均数）．

（3）标准差（或方差）越小，数据越稳定在平均数附近．s＝0时，每一组样本数据均为

.

知识拓展　平均数、方差公式的推广：

1．若数据x1，x2，…，xn的平均数为

，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是m

＋a.

2．设数据x1，x2，…，xn的平均数为

，方差为s2，则

a．s2＝

[（x

＋x

＋…＋x

）－n

2]；

b．数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也为s2；

c．数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2.

知识点三　用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征

1．样本的基本数字特征包括______、________、________、__________.

2．平均数向我们提供了样本数据的重要信息，但是平均数有时也会使我们作出对总体的片面判断，因为这个平均数掩盖了一些极端的情况，而这些极端情况显然是不能忽视的．因此，还需要用标准差来反映数据的分散程度．

3．现实中的总体所包含的个体数往往是很多的，虽然总体的平均数与标准差客观存在，但是我们无从知道．所以通常的做法是用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差．虽然样本具有________性，不同的样本测得的数据不一样，与总体的数字特征也可能不同，但只要样本的代表性好，这样做就是合理的，也是可以接受的．

类型一　众数、中位数和平均数的理解与应用

命题角度1　众数、中位数、平均数的计算

例1　某公司的33名职工的月工资（单位：

元）如下表：

职业

董事长

副董事长

董事

总经理

经理

管理员

职员

人数

1

1

2

1

5

3

20

工资

5500

5000

3500

3000

2500

2000

1500

（1）求该公司职工月工资的平均数；

（2）若董事长、副董事长的工资分别从5500元、5000元提升到30000元、20000元，那么公司职工月工资新的平均数又是什么？

反思与感悟　

（1）众数、中位数与平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量．

（2）众数考查各个数据出现的频率，大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中部分数据多次重复出现时，众数往往更能反映问题．

（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，中位数可能在所给的数据中，也可能不在所给的数据中．

（4）平均数的大小与一组数据里每个数据均有关系，任何一个数据的变动都会引起平均数的变动．

（5）因为平均数与每一个样本数据有关，所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，这是众数、中位数不具有的性质，也正因为这个原因，与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于全体样本数据的信息．但平均数受数据的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低．

跟踪训练1　对于数据3,3,2,3,6,3,10,3,6,3,2，有下列结论：

①这组数据的众数是3；

②这组数据的众数与中位数的数值不相等；

③这组数据的中位数与平均数的数值相等；

④这组数据的平均数与众数的数值相等．

其中正确结论的个数为（　　）

A．1B．2C．3D．4

命题角度2　在频率分布直方图中估算众数、中位数、平均数

例2　以教材2.2.1节调查的100位居民的月均用水量为例，样本数据的频率分布表和频率分布直方图如图所示，试估算月均用水量的中位数．

反思与感悟　样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息．平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大．

跟踪训练2　一批乒乓球，随机抽取100个进行检查，球的直径频率分布直方图如图．试估计这个样本的众数，中位数和平均数．

类型二　标准差、方差与应用

例3　计算数据89,93,88,91,94,90,88,87的方差和标准差（标准差结果精确到0.1）．

反思与感悟　

（1）方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小．

（2）样本标准差反映了各样本数据围绕样本平均数波动的大小，标准差越小，表明各样本数据在样本平均数周围越集中；反之，标准差越大，表明各样本数据在样本平均数的两边越分散．

（3）若样本数据都相等，则s＝0.

（4）当样本的平均数相等或相差无几时，就要用样本数据的离散程度来估计总体的数字特征，而样本数据的离散程度是由标准差来衡量的．

跟踪训练3　甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图．

（1）分别求出两人得分的平均数与方差；

（2）根据图和

（1）中算得的结果，对两人的训练成绩作出评价．

1．某市2016年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如图：

则这组数据的中位数是（　　）

A．19B．20

C．21.5D．23

2．设样本数据x1，x2，…，x10的平均数和方差分别为1和4，若yi＝xi＋a（a为非零常数，i＝1,2，…，10），则y1，y2，…，y10的平均数和方差分别为（　　）

A．1＋a,4B．1＋a,4＋a

C．1,4D．1,4＋a

3．已知一组数据4,6,5,8,7,6，那么这组数据的平均数为________．

4．若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为________．

5．某校医务室抽查了高一10位同学的体重（单位：

kg）如下：

74,71,72,68,76,73,67,70,65,74.

（1）求这10个学生体重数据的平均数、中位数、方差、标准差；

（2）估计高一所有学生体重数据的平均数、中位数、方差、标准差．

1．利用直方图求数字特征：

①众数是最高的矩形的底边的中点．②中位数左右两边直方图的面积应相等．③平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．

2．标准差的平方s2称为方差，有时用方差代替标准差测量样本数据的离散程度．方差与标准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差．

3．现实中的总体所包含的个体数往往很多，总体的平均数与标准差是未知的，我们通常用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差，但要求样本有较好的代表性．

答案精析

问题导学

知识点一

思考1　平均数与样本的每一个数据有关，它可以反映出更多的关于样本数据总体的信息，但它的缺点是平均数受数据中极端值的影响较大．

思考2　为了避免平均值受数据中个别极端值的影响，增大它在估计总体时的可靠性，故计算评委打分时要去掉一个最高分和一个最低分．

梳理　

（1）最多　

（2）从小到大（或从大到小）　中间　平均数

（3）

（x1＋x2＋…＋xn）．

知识点二　

思考1　当样本数据的标准差为0时，该组数据都相等．

思考2　标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．

梳理　

（1）平均距离

（2）

[（x1－

）2＋（x2－

）2＋…＋（xn－

）2]

知识点三　

1．众数　中位数　平均数　标准差　3.随机

题型探究

类型一　

例1　解　

（1）公司职工月工资的平均数为

＝

＝

≈2091（元）．

（2）若董事长、副董事长的工资提升后，职工月工资的平均数为

＝

＝

≈3288（元）．

跟踪训练1　A　[在这11个数中，数3出现了6次，频率最高，故众数是3；将这11个数按从小到大的顺序排列得2,2,3,3,3,3,3,3,6,6,10，中间数据是3，故中位数是3；而平均数

＝

＝4.故只有①正确．]

例2　解　在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积是相等的，由此可以估计中位数的值．下图中虚线代表居民月均用水量的中位数的估计值，此数据值为2.02.

跟踪训练2　解　众数＝

＝40；

四个矩形的面积分别是0.02×5＝0.1,0.02×10＝0.2,

0．02×25＝0.5,0.02×10＝0.2.

中位数为39.99＋

＝39.998；

平均数为39.96×0.1＋39.98×0.2＋40×0.5＋40.02×0.2＝39.996.

类型二　

例3　解　①

＝90＋

[（－1）＋3＋（－2）＋1＋4＋0＋（－2）＋（－3）]＝90＋

×0＝90；

②计算xi－

（i＝1,2，…，8），得各数据为－1,3，－2,1,4,0，－2，－3；

③计算（xi－

）2（i＝1,2，…，8），得各数据为1,9,4,1,16,0,4,9；

④计算方差：

s2＝

（1＋9＋4＋1＋16＋0＋4＋9）＝

＝5.5；

⑤计算标准差：

s＝

≈2.3.

所以这组数据的方差为5.5，标准差约为2.3.

跟踪训练3　解　

（1）由题图可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为甲：

10分，13分，12分，14分，16分；

乙：

13分，14分，12分，12分，14分．

甲＝

＝13，

乙＝

＝13，

s

＝

[（10－13）2＋（13－13）2＋（12－13）2＋（14－13）2＋

（16－13）2]＝4，

s

＝

[（13－13）2＋（14－13）2＋（12－13）2＋（12－13）2＋

（14－13）2]＝0.8.

（2）由s

＞s

可知乙的成绩较稳定．

从折线图来看，甲的成绩基本上呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩无明显提高．

当堂训练

1．B　[由茎叶图知，平均气温在20℃以下的有5个月，在20℃以上的也有5个月，恰好是20℃的有2个月，由中位数的定义知，这组数据的中位数为20.故选B.]

2．A　[∵x1，x2，…，x10的平均数

＝1，方差s

＝4，且yi＝xi＋a（i＝1,2，…，10），

∴y1，y2，…，y10的平均数

＝

·（y1＋y2＋…＋y10）

＝

·（x1＋x2＋…＋x10＋10a）

＝

·（x1＋x2＋…＋x10）＋a＝

＋a＝1＋a，

其方差s

＝

·[（y1－

）2＋（y2－

）2＋…＋（y10－

）2]

＝

[（x1－1）2＋（x2－1）2＋…＋（x10－1）2]

＝s

＝4.

故选A.]

3．6

解析　由已知得，所求平均数为

＝6.

4．16

解析　设样本数据x1，x2，…，x10的标准差为s，则s＝8，可知数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为2s＝16.

5．解　

（1）这10个学生体重数据的平均数为

＝

×（74＋71＋72＋68＋76＋73＋67＋70＋65＋74）＝71.

这10个学生体重数据从小到大依次为65,67,68,70,71,72,73,74,74,76，位于中间的两个数是71,72，

∴这10个学生体重数据的中位数为

＝71.5.

这10个学生体重数据的方差为

s2＝

×[（74－71）2＋（71－71）2＋（72－71）2＋（68－71）2＋

（76－71）2＋（73－71）2＋（67－71）2＋（70－71）2＋（65－71）2＋（74－71）2]＝11，

这10个学生体重数据的标准差为s＝

＝

.

（2）由样本估计总体得高一所有学生体重数据的平均数为71，

中位数为71.5，方差为11，标准差为

.