版高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形42同角三角函数基本关系及诱导公式理.docx

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版高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形42同角三角函数基本关系及诱导公式理

第四章三角函数、解三角形4.2同角三角函数基本关系及诱导公式理

1．同角三角函数的基本关系

（1）平方关系：

sin2α＋cos2α＝1.

（2）商数关系：

＝tanα.

2．各角的终边与角α的终边的关系

角

2kπ＋α（k∈Z）

π＋α

－α

图示

与角α终边的关系

相同

关于原点对称

关于x轴对称

角

π－α

－α

＋α

图示

与角α终边的关系

关于y轴对称

关于直线y＝x对称

3.六组诱导公式

组数

一

二

三

四

五

六

角

2kπ＋α（k∈Z）

π＋α

－α

π－α

－α

＋α

正弦

sinα

－sinα

－sinα

sinα

cosα

cosα

余弦

cosα

－cosα

cosα

－cosα

sinα

－sinα

正切

tanα

tanα

－tanα

－tanα

口诀

函数名不变

符号看象限

函数名改变

符号看象限

【知识拓展】

1．诱导公式的记忆口诀：

奇变偶不变，符号看象限．

2．同角三角函数基本关系式的常用变形：

（sinα±cosα）2＝1±2sinαcosα；

（sinα＋cosα）2＋（sinα－cosα）2＝2；

（sinα＋cosα）2－（sinα－cosα）2＝4sinαcosα.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.（　×　）

（2）若α∈R，则tanα＝

恒成立．（　×　）

（3）sin（π＋α）＝－sinα成立的条件是α为锐角．（　×　）

（4）诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指

的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．（　√　）

1．（2015·福建）若sinα＝－

，且α为第四象限角，则tanα的值等于（　　）

A.

B．－

C.

D．－

答案　D

解析　∵sinα＝－

，且α为第四象限角，∴cosα＝

，

∴tanα＝

＝－

，故选D.

2．（教材改编）已知sin（π＋α）＝

，则cosα的值为（　　）

A．±

B.

C.

D．±

答案　D

解析　∵sin（π＋α）＝－sinα＝

.

∴sinα＝－

，cosα＝±

＝±

.

3．（2016·东营模拟）计算：

sin

π＋cos

π等于（　　）

A．－1B．1

C．0D.

－

答案　A

解析　∵sin

π＝sin（π＋

π）＝－sin

＝－

，

cos

π＝cos（2π＋

）＝cos

＝－

，

∴sin

π＋cos

π＝－1.

4．（教材改编）若tanα＝2，则

＝.

答案　

解析　

＝

＝

＝

.

5．已知函数f（x）＝

则f（f（2018））＝.

答案　－1

解析　∵f（f（2018））＝f（2018－18）＝f（2000），

∴f（2000）＝2cos

＝2cos

π＝－1.

题型一　同角三角函数关系式的应用

例1　

（1）已知sinαcosα＝

，且

<α<

，则cosα－sinα的值为（　　）

A．－

B.

C．－

D.

（2）化简：

（1＋tan2α）（1－sin2α）＝.

答案　

（1）B　

（2）1

解析　

（1）∵

＜α＜

，

∴cosα＜0，sinα＜0且cosα>sinα，

∴cosα－sinα＞0.

又（cosα－sinα）2＝1－2sinαcosα＝1－2×

＝

，

∴cosα－sinα＝

.

（2）（1＋tan2α）（1－sin2α）＝（1＋

）·cos2α

＝

·cos2α＝1.

思维升华　

（1）利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用

＝tanα可以实现角α的弦切互化．

（2）应用公式时注意方程思想的应用：

对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用（sinα±cosα）2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．

（3）注意公式逆用及变形应用：

1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.

　已知sinα－cosα＝

，α∈（0，π），则tanα等于（　　）

A．－1B．－

C.

D．1

答案　A

解析　由

消去sinα得2cos2α＋2

cosα＋1＝0，

即（

cosα＋1）2＝0，

∴cosα＝－

.

又α∈（0，π），

∴α＝

，

∴tanα＝tan

＝－1.

题型二　诱导公式的应用

例2　

（1）（2016·长春模拟）已知f（x）＝

，则f（－

）＝.

（2）已知A＝

＋

（k∈Z），则A的值构成的集合是（　　）

A．{1，－1,2，－2}B．{－1,1}

C．{2，－2}D．{1，－1,0,2，－2}

答案　

（1）－1　

（2）C

解析　

（1）f（x）＝

＝－tan2x，

f（－

）＝－tan2（－

）＝－tan2

π＝－1.

（2）当k为偶数时，A＝

＋

＝2；

当k为奇数时，A＝

－

＝－2.

∴A的值构成的集合是{2，－2}．

思维升华　

（1）诱导公式的两个应用

①求值：

负化正，大化小，化到锐角为终了．

②化简：

统一角，统一名，同角名少为终了．

（2）含2π整数倍的诱导公式的应用

由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos（5π－α）＝cos（π－α）＝－cosα.

（1）化简：

＝.

（2）已知角α终边上一点P（－4,3），则

的值为．

答案　

（1）－1　

（2）－

解析　

（1）原式＝

＝

＝

＝－

＝－

·

＝－1.

（2）原式＝

＝tanα，

根据三角函数的定义得tanα＝－

.

题型三　同角三角函数关系式、诱导公式的综合应用

例3　

（1）已知α为锐角，且有2tan（π－α）－3cos（

＋β）＋5＝0，tan（π＋α）＋6sin（π＋β）－1＝0，则sinα的值是（　　）

A.

B.

C.

D.

答案　C

解析　2tan（π－α）－3cos（

＋β）＋5＝0化简为

－2tanα＋3sinβ＋5＝0，①

tan（π＋α）＋6sin（π＋β）－1＝0化简为

tanα－6sinβ－1＝0.②

由①②消去sinβ，解得tanα＝3.

又α为锐角，根据sin2α＋cos2α＝1，

解得sinα＝

.

（2）已知－π

.

①求sinx－cosx的值；

②求

的值．

解　①由已知，得sinx＋cosx＝

，

sin2x＋2sinxcosx＋cos2x＝

，

整理得2sinxcosx＝－

.

∵（sinx－cosx）2＝1－2sinxcosx＝

.

由－π

又sinx＋cosx>0，

∴cosx>0，sinx－cosx<0，

故sinx－cosx＝－

.

②

＝

＝

＝

＝－

.

引申探究

本例

（2）中若将条件“－π

解　若0

，

∴sinx>0，cosx<0，

∴sinx－cosx>0，故sinx－cosx＝

.

思维升华　

（1）利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．

（2）注意角的范围对三角函数符号的影响．

　已知sin

＝

，α∈

，则sin（π＋α）等于（　　）

A.

B．－

C.

D．－

答案　D

解析　由已知sin

＝

，

得cosα＝

，

∵α∈

，

∴sinα＝

，

∴sin（π＋α）＝－sinα＝－

.

7．分类讨论思想在三角函数中的应用

典例　

（1）已知sinα＝

，则tan（α＋π）＋

＝.

（2）（2016·湛江模拟）已知k∈Z，化简：

＝.

思想方法指导　

（1）在利用同角三角函数基本关系式中的平方关系时，要根据角的范围对开方结果进行讨论．

（2）利用诱导公式化简时要对题中整数k是奇数或偶数进行讨论．

解析　

（1）∵sinα＝

＞0，

∴α为第一或第二象限角．

tan（α＋π）＋

＝tanα＋

＝

＋

＝

.

①当α是第一象限角时，cosα＝

＝

，

原式＝

＝

.

②当α是第二象限角时，cosα＝－

＝－

，

原式＝

＝－

.

综上①②知，原式＝

或－

.

（2）当k＝2n（n∈Z）时，

原式＝

＝

＝

＝－1；

当k＝2n＋1（n∈Z）时，

原式＝

＝

＝

＝－1.

综上，原式＝－1.

答案　

（1）

或－

（2）－1

1．（2016·西安模拟）已知cosα＝

，α∈（0，π），则tanα的值等于（　　）

A.

B.

C．－

D．－

答案　B

解析　∵α∈（0，π），

∴sinα＝

＝

＝

，

由tanα＝

，得tanα＝

.

2．已知tan（α－π）＝

，且α∈（

，

），则sin（α＋

）等于（　　）

A.

B．－

C.

D．－

答案　B

解析　由tan（α－π）＝

，得tanα＝

，∴α∈（π，

），

由

及α∈（π，

），

得cosα＝－

，

而sin（α＋

）＝cosα＝－

.

3．若角α的终边落在第三象限，则

＋

的值为（　　）

A．3B．－3

C．1D．－1

答案　B

解析　由角α的终边落在第三象限，

得sinα＜0，cosα＜0，

故原式＝

＋

＝

＋

＝－1－2＝－3.

4．若sin（π－α）＝－2sin（

＋α），则sinα·cosα的值等于（　　）

A．－

B．－

C.

或－

D.

答案　A

解析　由sin（π－α）＝－2sin（

＋α），可得sinα＝－2cosα，则tanα＝－2，sinα·cosα＝

＝

＝－

.

5．已知函数f（x）＝asin（πx＋α）＋bcos（πx＋β），且f（4）＝3，则f（2017）的值为（　　）

A．－1B．1

C．3D．－3

答案　D

解析　∵f（4）＝asin（4π＋α）＋bcos（4π＋β）

＝asinα＋bcosβ＝3，

∴f（2017）＝asin（2017π＋α）＋bcos（2017π＋β）

＝asin（π＋α）＋bcos（π＋β）

＝－asinα－bcosβ

＝－3.

*6.（2016·揭阳模拟）若sinθ，cosθ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两根，则m的值为（　　）

A．1＋

B．1－

C．1±

D．－1－

答案　B

解析　由题意知sinθ＋cosθ＝－

，sinθcosθ＝

，

又（sinθ＋cosθ）2＝1