版高中数学人教B版必修二学案第一单元+117 柱锥台和球的体积+Word版含答案.docx
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版高中数学人教B版必修二学案第一单元+117柱锥台和球的体积+Word版含答案
1．1.7 柱、锥、台和球的体积
学习目标 1.理解祖暅原理的内容.2.了解柱、锥、台体的体积公式的推导.3.掌握柱、锥、台和球的体积公式．
知识点一 祖暅原理
思考 取一摞纸张堆放在桌面上（如图所示），并改变它们的放置方法，观察改变前后的体积是否发生变化？
从这个事实中你得到什么启发？
梳理 祖暅原理的含义及应用
（1）内容：
幂势既同，则积不容异．
（2）含义：
夹在________________的两个几何体，被平行于这两个平面的________________所截，如果截得的____________________，那么这两个几何体的体积相等．
（3）应用：
____________的两个柱体或锥体的体积相等．
知识点二 柱、锥、台、球的体积公式
思考 已知直四棱柱A1B1C1D1－ABCD，底面ABCD为矩形．AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则四棱柱A1B1C1D1－ABCD与三棱锥A1－ABCD的体积分别为多少？
梳理 柱、锥、台、球的体积公式
名称
体积（V）
柱体
棱柱
圆柱
锥体
棱锥
圆锥
台体
棱台
圆台
球
其中S′、S分别表示上、下底面的面积，h表示高，r′和r分别表示上、下底面的半径，R表示球的半径．
类型一 柱体、锥体、台体的体积
例1 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．2π＋2B．4π＋2
C．2π＋D．4π＋
反思与感悟
（1）求简单几何体的体积．若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解．
（2）求以三视图为背景的几何体的体积．应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．
跟踪训练1
（1）一个几何体的三视图如图所示（单位：
m），则该几何体的体积为________m3.
（2）已知一个三棱台上、下底面分别是边长为20cm和30cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积．
类型二 球的体积
例2
（1）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器厚度，则球的体积为（ ）
A.cm3
B.cm3
C.cm3
D.cm3
（2）设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的体积为________．
反思与感悟
（1）求球的体积，关键是求球的半径R.
（2）球与其他几何体组合的问题，往往需要作截面来解决，所作的截面尽可能过球心、切点、接点等．
跟踪训练2
（1）一平面截一球得到直径为2cm的圆面，球心到这个平面的距离是2cm，则该球的体积是（ ）
A．12πcm3B．36πcm3
C．64πcm3D．108πcm3
（2）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A．πa2B.πa2
C.πa2D．5πa2
类型三 几何体体积的求法
例3 如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A－DED1的体积为________．
反思与感悟
（1）利用转换底面以便于找到几何体的高，从而求出几何体的体积．
（2）利用等体积法可求点到平面的距离．
跟踪训练3 如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，求点A到平面A1BD的距离d.
例4 如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积．
反思与感悟 当一个几何体的形状不规则时，无法直接运用体积公式求解，这时一般通过分割与补形，将原几何体分割或补形成较易计算体积的几何体，从而求出原几何体的体积．
跟踪训练4 如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，求该几何体的体积．
1.已知高为3的棱柱ABC—A1B1C1的底面是边长为1的正三角形（如图），则三棱锥B1—ABC的体积为（ ）
A.B.
C.D.
2．一个球的表面积是16π，则它的体积是（ ）
A．64πB.
C．32πD.π
3．现有一个底面直径为20cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6cm，高为20cm的圆锥形铅锤，铅锤完全浸没在水中．当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降（ ）
A．0.6cmB．0.15cm
C．1.2cmD．0.3cm
4．圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16π，则圆锥的体积是（ ）
A.B.
C．64πD．128π
5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________．
1．计算柱体、锥体和台体的体积时，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题．旋转体的轴截面是用过旋转轴的平面去截旋转体而得到的截面．例如，圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形，球的轴截面是过球心的平面截球所得的圆面．
2．在求不规则的几何体的体积时，可利用分割几何体或补全几何体的方法转化为柱、锥、台、球的体积计算问题．
答案精析
问题导学
知识点一
思考 体积没有发生变化，从这个事实中能够猜测出两等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．
梳理
（2）两个平行平面间 任意平面 两个截面的面积总相等
（3）等底面积、等高
知识点二
思考 ＝abc，
＝abc.
梳理 V＝Sh V＝πr2h V＝Sh
V＝πr2h
V＝h（S＋＋S′）
V＝πh（r2＋rr′＋r′2） V＝πR3
题型探究
例1 C [该空间几何体由一圆柱和一正四棱锥组成，圆柱底面半径为1，高为2，体积为2π，四棱锥的底面边长为，高为，所以体积为×（）2×＝，所以该几何体的体积为2π＋.]
跟踪训练1
（1）
解析 根据三视图知，该几何体上部是一个底面直径为4m，高为2m的圆锥，下部是一个底面直径为2m，高为4m的圆柱．
故该几何体的体积
V＝π×22×2＋π×12×4＝（m3）．
（2）解 如图，在三棱台ABC－A′B′C′中，取上、下底面的中心分别为O′，O，BC，B′C′的中点分别为D，D′，则DD′是梯形BCC′B′的高．
所以S侧＝3××（20＋30）×DD′＝75DD′.
又因为A′B′＝20cm，AB＝30cm，则上、下底面面积之和为
S上＋S下＝×（202＋302）＝325（cm2）．
由S侧＝S上＋S下，得75DD′＝325，
所以DD′＝（cm），O′D′＝×20＝（cm），
OD＝×30＝5（cm），
所以棱台的高
h＝O′O＝
＝
＝4（cm）．
由棱台的体积公式，可得棱台的体积为
V＝（S上＋S下＋）＝×（×202＋×302＋×20×30）
＝1900（cm3）．
例2
（1）A [作出该球轴的截面如图所示，
依题意BE＝2，AE＝CE＝4，设DE＝x，故AD＝2＋x，因为AD2＝AE2＋DE2，解得x＝3，故该球的半径AD＝5，
所以V＝πR3
＝（cm3）．]
（2）a3
解析 长方体的体对角线是其外接球的直径，由长方体的体对角线为＝a，
得球的半径为a，V＝π（a）3＝a3.
跟踪训练2
（1）B [设球心为O，截面圆心为O1，连接OO1，则OO1垂直于截面圆O1，如图所示．
在Rt△OO1A中，O1A＝cm，
OO1＝2cm，
∴球的半径R＝OA＝
＝3（cm），
∴球的体积V＝×π×33＝36π（cm3）．]
（2）B [由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a.如图，P为三棱柱上底面的中心，O为球心，
易知AP＝×a＝a，OP＝a，所以球的半径R满足R2＝OA2＝（a）2＋（a）2＝a2，故S球＝4πR2＝πa2.]
例3
解析
＝××1×1×1＝.
跟踪训练3 解 在三棱锥A1－ABD中，AA1⊥平面ABD，AB＝AD＝AA1＝a，
A1B＝BD＝A1D＝a，
∵
∴×a2·a＝××a×·a·d，
∴d＝a.
例4 解 如图，连接EB，EC.
四棱锥E－ABCD的体积
V四棱锥E－ABCD
＝×42×3＝16.
∵AB＝2EF，
EF∥AB，
∴S△EAB＝2S△BEF，
∴V三棱锥F－EBC＝V三棱锥C－EFB
＝V三棱锥C－ABE＝V三棱锥E－ABC
＝×V四棱锥E－ABCD＝4.
∴多面体的体积V＝V四棱锥E－ABCD＋V三棱锥F－EBC＝16＋4＝20.
跟踪训练4 解 用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.
当堂训练
1．D 2.D 3.A 4.A
5．16π－16
解析 由三视图可知该几何体是一个圆柱内部挖去一个正四棱柱，圆柱底面圆半径为2，高为4，故体积为16π；正四棱柱底面边长为2，高为4，故体积为16，故题中几何体的体积为16π－16.
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