厦门市届高三下学期第一次质量检查数学理Word版.docx

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厦门市届高三下学期第一次质量检查数学理Word版

厦门市2018届高中毕业班第一次质量检查

数学（理科）试题

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：

本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合，则（）

A．B．C．D．

2.复数满足，则（）

A．B．2C．D．

3.等差数列中，，则（）

A．B．C．5D．

4.袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是（）

A．B．C．D．

5．计算机科学的创始人麦卡锡先生发明的“91”函数具有一种独特的情趣，给人的心智活动提供了一种愉悦的体验.执行如图所示的程序框图，输入，则输出（）

A．3B．4C．5D．6

6.设满足约束条件则的最大值是（）

A．B．1C．D．2

7.双曲线的左焦点为，过右顶点作轴的垂线分別交两渐近线于两点，若为等边三角形，则的离心率是（）

A．B．C．2D．

8.如图，某棱锥的正视图和侧视图都是等边三角形，该棱锥的体积为，则该棱锥内切球的表面积是（）

A．B．C．D．

9．函数与的图象交点的横坐标之和为，则（）

A．B．0C．1D．2

10.圆台的高为2，上底面直,，下底面直径，与不平行，则三棱锥体积的最大值是（）

A．B．C．D．

11.定义在上的函数满足，若关于的方程有3个实根，则的取值范围是（）

A．B．C．D．

12.函数与（其中）在的图象恰有三个不同的交点，为直角三角形，则的取值范围是（）

A．B．C．D．

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.的展开式中常数项是．

14.已知三点，若为锐角，则的取值范围是．

15．等比数列的首项为2，数列满足，则．

16．过抛物线焦点的直线与交于两点，在点处的切线分别与轴交于两点，则的最大值是．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.的内角的对边分别是，满足.

（1）若，求的面积；

（2）求.

18.如图，四棱锥中，是等边三角形，，分别为的中点.

（1）证明:

平面；

（2）若平面，求直线与平面所成角的正弦值.

19.2018年2月4日，中央一号文件《中共中央国务院关于实施乡村振兴战略的意见》发布，对农村电商发展提出新的指导性意见，使得农村电商成为精准扶贫、乡村振兴的新引擎.某电商2018年计划与所在地区的樱桃果园合作进行樱桃销售，为了解该地区果园的樱桃销售量情况，现从中随机抽取60个樱桃果园，统计各果园2017年的销售量（单位：

万斤）.得到下面的频率分布直方图.

（1）从样本中销售量不低于9万斤的果园随机选取3个，求销售量不低于10万斤的果园个数的分布列及其数学期望；

（2）该电商经过6天的试运营，得到销售量（单位:

万斤）情况统计表如下：

根据相关性分析，前天累计总销售量与之间具有较强的线性相关关系，由最小二乘法得回归直线方程.用样本估计总体的思想，预测该电商至少运营多少天可使总销量不低于该地区各果园2017年平均销售量的两倍.

注：

1.前天累计总销售量；

2.在频率分布直方图中，同一组教据用该区间的中点值作代表.

20.在平面直角坐标系中，点，点在直线上，过中点作，交于点，设的轨迹为曲线.

（1）求的轨迹方程；

（2）过点的直线与交于两点，直线分别与直线交于两点.线段的中点是否在定直线上，若搓，求出该直线方程；若不是，说明理由.

21.函数（其中）.

（1）当时，讨论函数的单调性；

（2）当时，恒成立，求正整数的最大值.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.选修4-4：

坐标系与参数方程

在立角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）若曲线上一点的极坐标为，且过点，求的普通方程和的直角坐标方程；

（2）设点，与的交点为，求的最大值.

23.选修4-5：

不等式选讲

已知函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）设关于的不等式的解集为，且，求的取值范围

参考答案

一、选择题

1-5:

BBDDB6-10:

DCCBB11、12：

AA

二、填空题

13.1514.15.16.8

三、解答题

17.

（1）由余弦定埋，得，

又，得，因为，所以，

由三角形面积公式，

（2）法一：

由，得

结合余弦定理，得

因为，则

结合正弦定理，，得

因为，得

整理得：

因为，

所以，即

法二:

整理得：

由，得

整理得：

.

18.

（1）取的中点，连接，

∵为的中点，∴，

又∵平面

∵，同理平面，

又，∴平面平面，

∵平面，∴平面.

（2）（法—）∵平面，∴，

以为坐标原点，以分别为轴的正方向，过垂直于平面的直线为轴，如图建立空间直角坐标系，

在中，，∴，

∴

∴，

设平面的法向量为，∴∴，

取，∴，即，

设直线与平面所成角为，

∴。

∴直线与平面所成角的正弦值为.

（法二）连接，∴，为的中点，为的中点，

∴∵平面，∴平面，∴两两互相垂直，

∴以为坐标原点，以分别为轴的正方向，如图建立空间直角坐标系，

∵,可得,∴,

∴

∴，

设平面的法向量为，∴∴，

取，∴，即，

设直线与平面所成角为，

∴。

∴直线与平面所成角的正弦值为.

19.

（1）由频率分布直方图可得样本中2017年销将量不低于9万斤的果园有个，销售量不低于10万斤的果园有个.

随机变量的可能取值为0，1，2，3.

，，

，，

所以随机变量的分布列为

∴数学期望.

（2）由运营期间销售量情况统计表可得前天累计总销售量如下：

∴，

将样本中心点代入回归直线方程，得，

∴，

下面用直方图中各区间中点值作为代表，估计该地区2017年平均销售量：

由题意得：

，解得.

∵，∴该电商至少运营9天可使总销量不低于该地区各果园2017年平均销售量的两倍.

20.

（1）法一：

设，因为为中点，故点的坐标为；

当时，点的坐标为；当时，

由三点共线知，，即①

，即②；

得，

化简得曲线的轨迹方程为.

法二：

设，则直线的方程为，

令，得点的坐标为，即，

又及,.即，

化简得，即，

故曲线的轨迹方程为.

（2）法一：

由题意知，直线的斜率恒大于0，且直线不过点，其中；

设直线的方程为，则.

设，

直线的方程为，故，

同理；

所以，

即③

联立，化简得，

所以

代入③得，

所以点都在定直线上.

法二：

设，

设直线的方程分别为，

则，

故①，

联立得，

所以，同理，.

由三点共线知，

即，

②

又，故②式可化为，

代入①式，得.

所以点都在定直线上.

法三：

设，

设直线的方程分别为，

则，

故

设直线方程的统一形式为，

直线的方程为，

联立，得点的统—形式为，

又均在椭圆上，故其坐标满足椭圆的方程，即

，得，

即，

为该二次方程的两根，由韦达定理得，

代入①式，得.

所以点都在定直线上.

21.

（1）函数定义域是，，

（i）当时，，当时，函数的单调递减区间是；

（ⅱ）当，的两根分别是，，

当时.函数的单调递减.当时，函数的单调速递增，当时，函数的单调递减；

综上所述，（i）当时的单调递减区间是，

（ⅱ）当时，的单调递增区间是，单调递减区间是和

（2）当时，，即，

设，∴，

∴当时，，

设，则，∴在递增，

又∵在区间上的图象是一条不间断的曲线，

且，

∴使得，即，

当时，；当时，；

∴函数在单调递减，在单调递增，

∴，

∵在递减，

∵，∴，

∴当时，不等式对任意恒成立，

∴正整数的最大值是3.

22.

（1）把代入曲线可得

化为直角坐标为，

又过点，得直线的普通方程为；

可化为.

由可得，

即曲线的直角坐标方程为.

（2）把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程得，，

化简得，①

可得，故与同号

，

所以时，有最大值.

此时方程①的，故有最大值.

23.

（1）当时，，.

即或或

解得或或，所以或或.

所以原不等式的解集为.

（2）因为，

所以当时，不等式恒成立，

即在上恒成立，

当时，，即，

所以，所以在上恒成立，

所以，即；

当时，，即，即，

所以在上恒成立，

所以，即；

综上，的取值范围为.