7A版1990考研数二真题及解析.docx
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7A版1990考研数二真题及解析
1990年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、填空题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.）
（1）曲线
上对应于点
点处的法线方程是＿＿＿＿＿＿.
（2）设
则
＿＿＿＿＿＿.
（3）
＿＿＿＿＿＿.
（4）下列两个积分的大小关系是：
＿＿＿＿＿＿
.
（5）设函数
则函数
＿＿＿＿＿＿.
二、选择题（每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.）
（1）已知
其中
是常数,则（）
（A）
（B）
（C）
（D）
（2）设函数
在
上连续,则
等于（）
（A）
（B）
（C）
（D）
（3）已知函数
具有任意阶导数,且
则当
为大于2的正整数时,
的
阶导数
是（）
（A）
（B）
（C）
（D）
（4）设
是连续函数,且
则
等于（）
（A）
（B）
（C）
（D）
（5）设
其中
在
处可导,
则
是
的（）
（A）连续点（B）第一类间断点
（C）第二类间断点（D）连续点或间断点不能由此确定
三、（每小题5分,满分25分.）
（1）已知
求常数
.
（2）求由方程
所确定的函数
的微分
.
（3）求曲线
的拐点.
（4）计算
.
（5）求微分方程
满足条件
的特解.
四、（本题满分9分）
在椭圆
的第一象限部分上求一点
使该点处的切线、椭圆及两坐标轴所围图形面积为最小（其中
）.
五、（本题满分9分）
证明：
当
有不等式
.
六、（本题满分9分）
设
其中
求
.
七、（本题满分9分）
过点
作抛物线
的切线,该切线与上述抛物线及
轴围成一平面图形,求此平面图形绕
轴旋转一周所围成旋转体的体积.
八、（本题满分9分）
求微分方程
之通解,其中
为实数.
1990年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析
一、填空题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.）
（1）【答案】
【解析】将
代入参数方程得
在
处的函数值:
得切点为
.
过已知点
的法线方程为
当函数在点
处的导数
时,
.所以需求曲线在点
处的导数.
由复合函数求导法则,可得
；
法线斜率为
所以过已知点的法线方程为
【相关知识点】复合函数求导法则：
如果
在点
可导,而
在点
可导,则复合函数
在点
可导,且其导数为
或
.
（2）【答案】
【解析】原函数对
求导,有
【相关知识点】1.两函数乘积的求导公式：
.
2.复合函数的求导法则:
如果
在点
可导,而
在点
可导,则复合函数
在点
可导,且其导数为
或
.
（3）【答案】
【解析】对于原定积分,有换元法或拆项法可选择,不管是何种方法,最终的目的都是去
掉积分式子中的根式或使得根式积分可以单独积分出结果.
方法1：
换元法,令
原积分区间为
则
进而
新积分区间为
；当
时,
当
时,
故新积分上限为0,下限为1.
则
.
原式
方法2：
拆项法,
原式
（4）【答案】
【解析】由于
在
连续且
根据比较定理得到
.
【相关知识点】对于相同区间上的定积分的比较,有“比较定理”如下：
若
与
在区间
（
为常数,
）上连续且可积,且
则有
（5）【答案】
【解析】对于分段函数的复合函数求解必须取遍内层函数的值域,不能遗漏,求出复合后函数的所有可能的解析式.
根据
的定义知,当
时,有
代入
又
于是当
时,复合函数
；
当
时,有
代入
又
即当
时,也有
.
因此,对任意的
有
.
二、选择题（每小题3分,满分15分.）
（1）【答案】C
【解析】本题考查多项式之比当
时的极限.
由题设条件,有
分析应有
否则
.
所以解以上方程组,可得
所以此题应选C.
（2）【答案】B
【解析】由函数的不定积分公式:
若
是
的一个原函数,
有
所以本题应该选（B）.
（3）【答案】A
【解析】本题考查高阶导数的求法.
为方便记
.由
逐次求导得
由第一归纳法,可归纳证明
.
假设
成立,即
则
所以
亦成立,原假设成立.
（4）【答案】A
【解析】对
两边求导数得
故本题选A.
【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：
若
均一阶可导,则
.
2.复合函数求导法则：
如果
在点
可导,而
在点
可导,则复合函数
在点
可导,且其导数为
或
.
（5）【答案】B
【解析】由于
由函数在一点处导数的定义,
得
所以函数不连续,且极限存在但不等于函数值,故为第一类（可去）间断点,故本题选B.
【相关知识点】1.函数
在点
连续：
设函数
在点
的某一邻域内有定义,如果
则称函数
在点
连续.
2.函数
的间断点或者不连续点的定义：
设函数
在点
的某去心邻域内有定义,只要满足一下三种情况之一即是间断点.
（1）在
没有定义；
（2）虽在
有定义,但
不存在；
（3）虽在
有定义,且
存在,但
通常把间断点分成两类：
如果
是函数
的间断点,但左极限
及右极限
都存在,那么
称为函数
的第一类间断点；不是第一类间断点的任何间断点,称为第二类间断点.
三、（每小题5分,满分25分.）
（1）【解析】此题考查重要极限：
得
.
或由
同理可得
.
（2）【解析】方程两边求微分,得
整理得
.
（3）【解析】对分式求导数,有公式
所以
令
得
在此变号,即是
时,
时,
故拐点为
.
【相关知识点】1.拐点的定义：
设函数
在点
的某一邻域连续,函数
的图形在点
处的左右侧凹凸性相反,则称
为曲线
的拐点.
2.拐点判别定理：
（1）设函数
在
连续,在去心邻域
就是区间
内不包括点
二阶可导,且
在
上不变号,则
为拐点.
（2）设函数
在
二阶可导,
又
则
为拐点.
本题利用第一个判别定理就足够判定所求点是否是拐点了.
（4）【解析】由
有
为任意常数.
注：
分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题,如果选择不当可能引起更繁杂的计算,最后甚至算不出结果来.在做题的时候应该好好总结,积累经验.
【相关知识点】分部积分公式：
假定
与
均具有连续的导函数,则
或者
（5）【解析】所给方程为一阶线性非齐次方程,其标准形式为
.
由于
两边乘以
得
.
积分得
通解为
.
代入初始条件
可得
所求特解为
.
四、（本题满分9分）
【解析】对椭圆方程进行微分,有
.
过曲线上已知点
的切线方程为
当
存在时,
.
所以点
处的切线方程为
化简得到
.
分别令
与
得切线在
上的截距分别为
；
又由椭圆的面积计算公式
其中
为半长轴和半短轴,故所求面积为
.
为常数,欲使得
的最小,则应使得
最大；从而问题化为求
（
由椭圆方程所确定）当
时的最大值点.
令
得
再对
两边求导得
联合可得
（唯一驻点）,即在此点
取得最大,
取得最小值.
由于
所以
在
上存在最小值,
必为最小点,所求
点为
.
五、（本题满分9分）
【解析】证明不等式的一般方法是将表达式移到不等号的一边,令其为
另一边剩下0,再在给定区间内讨论
的单调性即可证明原不等式.
令
则
.因此,
在
上单调减；又有
所以
故
时,
所以原不等式得证.
六、（本题满分9分）
【解析】方法1：
由换元积分
；
所以
.
由区间相同的积分式的可加性,有
=
.
方法2：
令
则
由牛顿-莱布尼兹公式,有
而
故
.
【相关知识点】牛顿-莱布尼兹公式：
设函数
在
上连续,
为
在
上的任意一个原函数,则有
七、（本题满分9分）
【解析】先求得切线方程：
对抛物线方程求导数,得
过曲线上已知点
的切线方程
为
当
存在时,
.
所以点
处的切线方程为
此切线过点
所以把点
代入切线方程得
再
代入抛物线方程得
由此,与抛物线相切于
斜率为
的切线方程为
.
旋转体是由曲线
直线
与
轴所围成的平面图形绕
轴旋转一周所形成的,求旋转体体积
：
方法1：
曲线表成
是
的函数,
是两个旋转体的体积之差,套用已有公式得
.
方法2：
曲线表成
是
的函数,并作水平分割,相应于
小横条的体积微元,如上图所示,
于是,旋转体体积
.
【相关知识点】1.由连续曲线
、直线
及
轴所围成的曲边梯形绕
轴旋转一周所得的旋转体体积为：
.
2.设
在
连续,非负,
则曲线
直线
及
轴围成的平面图形绕
轴旋转所得旋转体体积为：
（可用微元法导出）.
八、（本题满分9分）
【解析】所给方程为常系数二阶线性非齐次方程,特征方程
的根为
原方程右端
中的
.
当
时,可设非齐次方程的特解
代入方程可得
当
时,可设非齐次方程的特解
代入方程可得
所以通解为
.
【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：
设
是二阶线性非齐次方程
的一个特解.
是与之对应的齐次方程
的通解,则
是非齐次方程的通解.
2.二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：
对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解
可用特征方程法求解：
即
中的
、
均是常数,方程变为
.其特征方程写为
在复数域内解出两个特征根
；
分三种情况：
（1）两个不相等的实数根
则通解为
（2）两个相等的实数根
则通解为
（3）一对共轭复根
则通解为
其中
为常数.
3.对于求解二阶线性非齐次方程
的一个特解
可用待定系数法,有结论如下：
如果
则二阶常系数线性非齐次方程具有形如
的特解,其中
是与
相同次数的多项式,而
按
不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.
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