深圳二模理数word0.docx
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深圳二模理数word0
2011深圳二模——理数（（word0）
2011深圳二模——理数（（word0）
绝密★启用前试卷类型：
A
2011年深圳市高三年级第二次调研考试
数学（理科）2011.4
本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．
参考公式：
若锥体的底面积为，高为，则锥体的体积为．
若，则，．
一、选择题：
本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，，，则等于
A．B．C．D．
2．复数（为虚数单位）在复平面上对应的点位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．已知，是非零向量，则与不共线是的
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件
4．已知双曲线的一条渐近线方程为，则此双曲线的离心率为
A．B．C．D．
5．甲，乙，丙三名运动员在某次测试中各射击20次，三人测试成绩的频率分布条形图分别如图1，图2
17．（本小题满分12分）
为了评估天气对大运会的影响，制定相应预案，深圳市气象局通过对最近50多年的气象数据资料的统计分析，发现8月份是我市雷电天气高峰期，在31天中平均发生雷电14.57天（如图7）．如果用频率作为概率的估计值，并假定每一天发生雷电的概率均相等，且相互独立．
（1）求在大运会开幕（8月12日）后的前3天比赛中，恰好有2天发生雷电天气的概率（精确到0.01）；
（2）设大运会期间（8月12日至23日，共12天），发生雷电天气的天数为，求的数学期望和方差．
18．（本小题满分14分）
如图8，在直角梯形中，，，且．
现以为一边向形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使平面
与平面互相垂直，如图9．
（1）求证：
平面平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的大小．
19．（本小题满分14分）
平面直角坐标系中，已知直线:
，定点，动点到直线的距离是到定点的距离的2倍.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）若为轨迹上的点，以为圆心，长为半径作圆，若过点可作圆的两条切线,（，为切点），求四边形面积的最大值．
20．（本小题满分14分）
执行下面框图所描述的算法程序，记输出的一列数依次为，，…，，，．（注：
框图中的赋值符号“”也可以写成“”或“：
”）
（1）若输入，写出输出结果；
（2）若输入，求数列的通项公式；
（3）若输入，令，求常数（），使得是等比数列．
21．（本小题满分14分）
已知函数满足如下条件：
当时，，且对任意，都有．
（1）求函数的图象在点处的切线方程；
（2）求当，时，函数的解析式；
（3）是否存在，，使得等式
成立？
若存在就求出（），若不存在，说明理由．
2011年深圳市高三年级第二次调研考试
数学（理科）试题参考答案及评分标准
一、选择题：
本大题共8个小题；每小题5分，共40分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
B
A
A
D
D
C
C
二、填空题：
本大题共7小题，每小题5分，满分30分．第9～13题为必做题，第14、15题为选做题，两题全答的，只计算前一题的得分．
9．1010．11．412．
13．55 14． 15．
三、解答题：
本大题共6小题，满分80分．
16．解
（1），………………1分
当时，，……………………2分
而，所以的最大值为，……………………4分
此时，，Z，即，，
相应的的集合为．……………………6分
（2）（法一）因为，
所以，是的一个零点，……………………8分
即，，整理，得，
又，所以，，而，所以，，…10分
，的最小正周期为．……………………12分
（法二）是的一个零点，
即．……………………8分
所以，，整理，得，
又，所以，，而，所以，，…10分
，的最小正周期为．……………………12分
17．解
（1）设8月份一天中发生雷电天气的概率为，
由已知．……………2分
因为每一天发生雷电的概率均相等，且相互独立，所以，在大运会开幕后的前3天比赛中，恰好有2天发生雷电天气的概率．……………6分
（2）由已知～．…………………8分
所以，的数学期望．………………………………10分
的方差．………………………………12分
18．证明
（1）（法一）因为平面平面，
且平面平面，
又在正方形中，，
所以，平面．………………2分
而平面，
所以，．………………3分
在直角梯形中，,，
，
所以，，
所以，．………………4分
又，平面，，
所以，平面．………………6分
而平面，
所以，平面平面．……………7分
（法二）同法一，得平面．…………………………………2分
以为原点，，，分别为，轴，建立空间直角坐标系．
则，，，．…………………………………3分
所以，，，,
，，
所以，，．…………………………………5分
又，不共线，，平面，
所以，平面．…………………………………6分
而平面，
所以，平面平面．…………………………………7分
解
（2）（法一）因为，平面，平面，
所以，平面．…………………………………9分
因为平面与平面有公共点，
所以可设平面平面，．
因为平面，平面，平面平面，
所以．………………………………10分
从而，，
又，且，，所以为中点，也为正方形．……12分
易知平面，所以，．
所以，是平面与平面所成锐二面角的平面角，
而，
所以平面与平面所成锐二面角为．………………………………14分
（法二）由
（1）知，平面的一个法向量是．……………………9分
设平面的一个法向量为，
因为，
所以，取，得，所以．……………………11分
设平面与平面所成锐二面角为，
则．……………………………………13分
所以平面与平面所成锐二面角为．………………………………14分
19．解
（1）设点到的距离为，依题意得，
即，………………………2分
整理得，轨迹的方程为．……………………………………4分
（2）（法一）设，圆：
，其中
由两切线存在可知，点在圆外，所以，，即，
又为轨迹上的点，所以．而，所以，，
即．………6分
由
（1）知，为椭圆的左焦点，
根据椭圆定义知，，
所以，而，
所以，在直角三角形中，
，
，
由圆的性质知，四边形面积，其中．……………10分
即（）．
令（），则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
所以，在时，取极大值，也是最大值，
此时．………………………………14分
（法二）同法一，四边形面积，其中．……10分
所以．
由，解得，所以．……………………………14分
20．解
（1）输出结果是：
0，，．……3分
（2）（法一）由程序框图可知，
，，，．
所以，当时，
，…………………5分
，
而中的任意一项均不为1，
（否则的话，由可以得到，
…，与矛盾），
所以，，
（常数），，．
故是首项为，公差为的等差数列，……………………………………7分
所以，，数列的通项公式为，，．………8分
（法二）当时，由程序框图可知，，，，，……
猜想，，．…………………………………………………5分
以下用数学归纳法证明：
①当时，，猜想正确；
②假设（，）时，猜想正确．即，……………………7分
那么，当时，
由程序框图可知，．即时，猜想也正确．
由①②，根据数学归纳法原理，猜想正确，，．…………8分
（3）（法一）当时，
，
令，则，，．………………10分
此时，，……………………………………12分
所以，，，又，
故存在常数（），
使得是以为首项，为公比的等比数列．…………………………………14分
（法二）当时，令，即，解得，…10分
因为，，．
所以，①
，②……12分
①÷②，得，即，，，又，
故存在常数（）
使得是以为首项，为公比的等比数列．…………………………………14分
21．解
（1）时，，，………………………………2分
所以，函数的图象在点处的切线方程为，即．…3分
（2）因为，
所以，当，时，，……………………………4分
．………6分
（3）考虑函数，，，
则，
当时，，单调递减；
当时，；
当时，，单调递增；
所以，当，时，，
当且仅当时，．…………………………………10分
所以，
而，
令，则，
两式相减得，
．
所以，，
故．…………………………12分
所以，．
当且仅当时，
．
所以，存在唯一一组实数，，
使得等式成立．…………………………………14分
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