湖南省衡阳市 高一数学下学期第一次月考试题理科实验班.docx

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湖南省衡阳市高一数学下学期第一次月考试题理科实验班

湖南省衡阳市2016-2017学年高一数学下学期第一次月考试题（理科实验班）

注意事项：

1.本卷为衡阳八中高一年级理科实验班第一次月考试卷，分两卷。

其中共22题，满分150分，考试时间为120分钟。

2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。

开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。

3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm签字笔书写。

考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。

★预祝考生考试顺利★

第I卷选择题（每题5分，共60分）

本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。

1.已知扇形的周长是4cm，则扇形面积最大时候扇形的中心角弧度数是（　　）

A．2B．1C．D．3

2.若cosx=sin63°cos18°+cos63°cos108°，则cos2x=（　　）

A．B．C．0D．

3.已知，且，则的值为（）

A．B．C．D．

4.下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（　　）

A．y=sin（2x+）B．y=cos（2x+）

C．y=sin2x+cos2xD．y=sinx+cosx

5.已知菱形ABCD边长为2，∠B=，点P满足=λ，λ∈R，若•=﹣3，则λ的值为（　　）

A．B．﹣C．D．﹣

6.若sinx+cosx=，则tan（x+）=（　　）

A．B．C．D．

7.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列．若sinB=，cosB=，则a+c=（　　）

A．B．C．3D．2

8.在直角坐标系中，一动点从点A（1，0）出发，沿单位圆（圆心在坐标原点半径为1的圆）圆周按逆时针方向运动π弧长，到达点B，则点B的坐标为（）

A．（﹣，）B．（﹣，﹣）

C．（﹣，﹣）D．（﹣，）

9.要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象（　　）

A．向左平移单位B．向右平移单位

C．向左平移单位D．向右平移单位

10.如图所示，两个非共线向量，的夹角为θ，M、N分别为OA与OB的中点，点C在直线MN上，且=x+y（x，y∈R），则x2+y2的最小值为（　　）

A．B．C．D．

11.已知向量，，，若向量，的夹角为，

则有（）

A．B．C．D．

12.已知M是△ABC内一点，且，若△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为，则xy的最大值是（　　）

A．B．C．D．

第II卷非选择题（共90分）

二.填空题（每题5分，共20分）

13.如果sin（x+）=，则cos（﹣x）=　　．

14.已知平面上四点O、A、B、C，若=+，则=　　．

15.已知向量，，则在方向上的投影等于．

16.如图所示是函数y=2sin（ωx+φ）（|φ|≤，ω＞0）的一段图象，则f（）=　　．

三.解答题（共6题，共70分）

17.（本题满分10分）

已知向量=（cosθ，sinθ），=（2，﹣1）．

（1）若⊥，求的值；

（2）若|﹣|=2，，求的值．

18.（本题满分12分）

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2，E是PB上的点．

（Ⅰ）求证：

平面EAC⊥平面PBC；

（Ⅱ）若E是PB的中点，若AE与平面ABCD所成角为45°，求三棱锥P﹣ACE的体积．

19.（本题满分12分）

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a+b﹣5，c=，且4sin2﹣cos2C=．

（1）求角C的大小；

（2）求△ABC的面积．

20.（本题满分12分）

如图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是矩形ABCD，上部是圆AB，该圆弧所在的圆心为O，为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH（其中E，F在圆弧AB上，G，H在弦AB上）．过O作OP⊥AB，交AB于M，交EF于N，交圆弧AB于P，已知OP=10，MP=6.5（单位：

m），记通风窗EFGH的面积为S（单位：

m2）

（1）按下列要求建立函数关系式：

（i）设∠POF=θ（rad），将S表示成θ的函数；

（ii）设MN=x（m），将S表示成x的函数；

（2）试问通风窗的高度MN为多少时？

通风窗EFGH的面积S最大？

21.（本题满分12分）

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，点（a，b）在直线2xcosB﹣ycosC=ccosB上．

（1）求cosB的值；

（2）若a=，b=2，求角A的大小及向量在方向上的投影．

22.（本题满分12分）

已知函数f（x）=1﹣（a为常数）为R上的奇函数．

（Ⅰ）求实数a的值；

（Ⅱ）对x∈（0，1]，不等式s•f（x）≥2x﹣1恒成立，求实数s的取值范围；

（Ⅲ）令g（x）=，若关于x的方程g（2x）﹣mg（x）=0有唯一实数解，求实数m的取值范围．

2017年上期高一年级理科实验班第一次月考数学参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

A

C

A

B

A

D

C

A

B

B

C

B

13.

14.

15.

16.1

17.

（1）若⊥，

则=2cosθ﹣sinθ=0，tanθ==2，

∴===．

（2）∵||=1，||=，

若|﹣|=2，，

则有﹣2+=4，即1﹣2+5=4，解得=1，

即2cosθ﹣sinθ=1，平方可得4cos2θ﹣4sinθcosθ+sin2θ=1，

化简可得3cos2θ﹣4sinθcosθ=0，

即tanθ=．

再利用同角三角函数的基本关系sin2θ+cos2θ=1，

求得cosθ=，sinθ=，

∴=sinθ+cosθ=．

18.

（Ⅰ）∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，

∴AC⊥PC，

∵AB=2，AD=CD=1，

∴AC=BC=．

∴AC2+BC2=AB2，

∴AC⊥BC．

又BC⊂平面PBC，PC⊂平面PBC，BC∩PC=C，

∴AC⊥平面PBC，

又∵AC⊂平面EAC，

∴平面EAC⊥平面PBC．

解：

（Ⅱ）取BC的中点F，连接EF，AF，

∵E，F是PB，BC的中点，

∴EF∥PC，

由PC⊥平面ABCD，

∴EF⊥平面ABCD．

∴∠EAF为AE与平面ABCD所成角．即∠EAF=45°．

∵AF==，

∴EF=AF=．

∵E是PB的中点，

∴VP﹣ACE=VE﹣ABC===．

19.

（1）∵A+B+C=180°，

∴=90°﹣，

由得：

，

∴，

整理得：

4cos2C﹣4cosC+1=0，

解得：

，

∵0°＜C＜180°，

∴C=60°；

（2）由余弦定理得：

c2=a2+b2﹣2abcosC，即7=a2+b2﹣ab，

∴7=（a+b）2﹣3ab=25﹣3ab⇔ab=6，

∴

20.

（1）由题意知，OF=OP=10，MP=6.5，故OM=3.5．

（i）在Rt△ONF中，NF=OFsinθ=10sinθ，ON=OFcosθ=10cosθ．

在矩形EFGH中，EF=2MF=20sinθ，FG=ON﹣OM=10cosθ﹣3.5，

故S=EF×FG=20sinθ（10cosθ﹣3.5）=10sinθ（20cosθ﹣7）．

即所求函数关系是S=10sinθ（20cosθ﹣7），0＜θ＜θ0，其中cosθ0=．

（ii）因为MN=x，OM=3.5，所以ON=x+3.5．

在Rt△ONF中，NF===．

在矩形EFGH中，EF=2NF=，FG=MN=x，

故S=EF×FG=x．

即所求函数关系是S=x，（0＜x＜6.5）．

（2）方法一：

选择（i）中的函数模型：

令f（θ）=sinθ（20cosθ﹣7），

则f′（θ）=cosθ（20cosθ﹣7）+sinθ（﹣20sinθ）=40cos2θ﹣7cosθ﹣20．

由f′（θ）=40cos2θ﹣7cosθ﹣20=0，解得cosθ=，或cosθ=﹣．

因为0＜θ＜θ0，所以cosθ＞cosθ0，所以cosθ=．

设cosα=，且α为锐角，

则当θ∈（0，α）时，f′（θ）＞0，f（θ）是增函数；当θ∈（α，θ0）时，f′（θ）＜0，f（θ）是减函数，

所以当θ=α，即cosθ=时，f（θ）取到最大值，此时S有最大值．

即MN=10cosθ﹣3.5=4.5m时，通风窗的面积最大．

方法二：

选择（ii）中的函数模型：

因为S=，

令f（x）=x2（351﹣28x﹣4x2），

则f′（x）=﹣2x（2x﹣9）（4x+39），

因为当0＜x＜时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，

当＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，

所以当x=时，f（x）取到最大值，此时S有最大值．

即MN=x=4.5m时，通风窗的面积最大．

21.

（1）因为点（a，b）在直线2xcosB﹣ycosC=ccosB上．

所以2acosB﹣bcosC=ccosB，由正弦定理变形得2sinAcosB﹣sinBcosC=sinCcosB，

所以2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA，又sinA≠0，

所以cosB=；

（2）由

（1）得B=60°，因为a=，b=2，

所以cosA=，所以A=arccos；

因为∠B=60°，所以向量在方向上的投影为acos60°=．

22.（Ⅰ）由题意知f（0）=0．即，

所以a=2．此时f（x）=，

而f（﹣x）=，

所以f（x）为奇函数，故a=2为所求．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

因为x∈（0，1]，所以2x﹣1＞0，2x+1＞0，

故s•f（x）≥2x﹣1恒成立等价于s≥2x+1恒成立，

因为2x+1∈（2，3]，所以只需s≥3即可使原不等式恒成立．

故s的取值范围是[3，+∞）．

（Ⅲ）由题意g（x）=，化简得g（x）=2x+1，

方程g（2x）﹣mg（x）=0，即22x﹣m•2x+1﹣m=0有唯一实数解

令t=2x，则t＞0，

即等价为t2﹣mt+1﹣m=0，（t＞0）有一个正根或两个相等正根…

设h（t）=t2﹣mt+1﹣m，则满足h（0）≤0或

由h（0）≤0，得1﹣m≤0，即m≥1

当m=1时，h（t）=t2﹣t，满足题意

由得m=2﹣2，

综上，m的取值范围为m≥1或m=2﹣2