工程图学解题指导.docx

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工程图学解题指导

第1章点、直线和平面的投影

1.1内容要点

本章基于正投影的原理，从三面投影体系的建立开始，论述了空间几何元素点、线、面的投影及有关投影的几个重要性质、定理。

讨论了点、线、面之间的相对位置及其在投影图上的反映。

知识结构图：

点、线、面在第一分角中各种位置的投影特性

投影求直线、平面的倾角，线段实长、平面图形实形

点、直线和平面直线上点的投影特性

在平面上取点、取直线的方法

相对位置平行、相交、交叉两直线的投影特性及直角定理

线、面与特殊位置面平行、相交、垂直的投影作法

线、面与一般位置面平行、相交、垂直的投影作法

本章习题围绕上述内容设置，主要包括：

1）求一般位置线段的实长和倾角、平面图形的实形。

2）在已知直线上取点的作图法（直线上的点的投影具有从属性和定比性）。

3）在已知平面上取点和直线的投影作法（利用点和直线在平面上的几何条件作图）。

4）求直线和平面相交的交点、两平面相交的交线的投影并判别可见性。

5）直线与平面平行、平面与平面平行的基本作图法。

6）直线与平面垂直、平面与平面垂直的基本作图方法（利用直角投影定理及直线与平面垂直的几何条件）。

7）点、直线、平面之间的定位问题及度量问题。

1.2解题要领

在解答本章习题时应从题给条件及要求出发，根据投影的基本理论、性质、定理，充分运用平面几何、立体几何知识分析题给条件的几何要素在空间的位置，几何要素之间的相对位置关系及它们在投影图上的反映，确定解题方法及步骤。

解题时要求题目理解准确，理论运用熟练，解题思路清晰，作图步骤清楚。

在学习本章内容时，既要注重理论知识的学习又要注重空间想象力的培养。

一般地，我们研究的对象与我们生活周围的常见模型有关，在学习初期，要注意利用生活空间中的一些常见模型（如墙面、地面可看做投影面）来思考问题，以此来锻炼自己的空间想象、空间分析和空间构思能力。

其次，对书本上已经归纳起来的投影规律、定理等应认真地领会，并结合平面几何、立体几何知识，通过着重研究各种图例，达到能够灵活运用这些投影规律和定理的能力，在学习的过程中还应养成良好的作图习惯，勤作图、作好图。

1.3习题与解答

1.3.1点的投影

1-1第一分角点A与H面的距离等于其与V面的距离,并知a',试画出其他两面投影。

分析：

点A在Ⅰ分角的角平分面上,故其Z坐标值等于Y坐标值，据此可求出a,a'。

图1-1题图1-1解

作图过程或作图要点说明：

1）由a'作OX轴的垂线，垂足为ax，并延长。

2）在该延长线上量取aax=a'ax得a。

3）利用45°辅助线作出a"。

1-2指出下列各图中的错误,并改正。

图1-2题

分析：

由a、a"可知空间点A在W面上，a应同时在Y轴及H面上，所以a应在YH轴上。

空间点B在H面上，b"应同时在Y轴及W面上，所以b"应在Yw轴上。

由c、c’可知空间点C在X轴上，故c"应画在原点处。

图1-2解

作图过程或作图要点说明：

略。

1-3点B在点A之左10mm、之上15mm、之后7mm，点C在点A的正后方且距A点7mm，求作B、C两点的三面投影，重影点需判别可见性。

图1-3题图1-3解

分析：

在OX轴下方距OX轴越近表明该点越靠后，其Y坐标值越小。

据题意可知B、C两点的Y坐标值都比A点小7mm，点B在点C的左边。

A、C两点为V面的重影点，A在C的正前方，故a'可见，c'不可见。

作图过程或作图要点说明：

略

1-4点A与点B（12,10,15）对称于OX轴，作出点A与点B的直观图及投影图。

分析：

点A与点B对称于OX轴表示空间点A与点B的连线垂直相交于OX轴，故点A的坐标应为（12,-10,-15），即点A在第三分角内。

作图过程或作图要点说明：

1）按坐标数值作点B的投影。

2）在同一条投影连线上，在OX轴的上方量取10mm得a，在OX轴的下方量取15mm得a'。

图1-4题

图1-4解

1.3.2直线的投影

1-5已知A点的水平投影a，并知AB为铅垂线且A点在B点上方，AB=BC=25mm，BC为水平线，C点距V面为20mm，距H面为10mm，试完成AB、BC、AC的两面投影。

图1-5题图1-5解

分析：

因为BC为水平线，所以其水平投影bc=25mm，正面投影b'c'平行于OX轴，又知c、c'距OX轴分别为20mm、10mm，这样可先求出C点的两面投影，再求出b'。

因为AB是正垂线，所以水平投影为一点，正面投影垂直于OX轴且a'b'=25mm，由此求出a'。

作图过程或作图要点说明：

1）以a为圆心，25mm为半径画弧，由OX轴向下量20mm，交所画弧线于c点。

2）由c作投影连线，并在该线上从OX轴向上量10mm得c'。

3）过c'作c'b'平行于OX轴，得b'。

4）由b'竖直向上量25mm,得a'点。

1-6在已知线段AB上求一点M（m',m），使其将AB分成1:

3，再求一点N（n',n），使AN=25mm。

图1-6题图1-6解

分析：

M点将AB分为1:

3,可先把AB四等分即可求得M。

AB上的N点是决定AN=25mm的一点,因此先要利用直角三角形法则求出AB的实长才能决定N。

作图过程或作图要点说明：

1）由b'任引一斜线，将其四等分，端点A1与a'相连，由第三点作A1a'的平行线得m'；再作出m。

2）在水平投影上作直角三角形求得AB=aB1，量取aN1=25作出N1,返回投影上得n，n'。

1-7已知线段AB的两投影，求AB上与H、V面等距的点C的面两投影。

分析：

解法一：

点C与H、V面等距,即YC=ZC,故利用平面几何原理作a'b'对称于OX轴的线段a1b1，则a1b1与ab的交点即为c点的水平投影。

解法二：

因点的侧面投影能同时反映其Y、Z两坐标，故也可以借助侧面投影作图。

作图过程或作图要点说明：

解法一：

1）作出a'点对称于OX轴的线段a1及b'点对称于OX轴的线段b1。

2）连接a1b1交ab与c,由c作出c'。

解法二：

1）求出线段AB的侧面投影a''b''。

2）过原点作ZOYW的分角线OM，交a''b''于c'',由c''作出c'及c。

图1-7题图1-7解

1-8已知直线AB及点C，作直线DC交AB于点D，交点D距OX轴30mm。

图1-8题图1-8解

分析：

本题作图要点是在直线AB上确定距OX轴为30mm的点D,由于OX轴在侧面投影中积聚为一点O，因此空间一点与OX轴的距离可以在侧面投影中得以反映。

作图过程或作图要点说明：

1）求出AB及C的侧面投影a''b''、c''；

2）以O为圆心，半径30mm画弧交a''b''于d'',由d''作出d'及d；

3）连接cd、c'd'、c''d''即为所求。

1-9求AB线段的α角；CD线段的β角。

图1-9题

分析：

求AB的α角须用AB的水平投影和AB两点的Z坐标差组成直角三角形（注意Z差不受线段端点在OX轴上或下的位置影响），水平投影长和斜边的夹角为α；求CD的β角，须用CD的正面投影长和CD两点的Y坐标差组成三角形，这里的Y差就等于cd，正面投影长和斜边的夹角为β。

图1-9解

作图过程或作图要点说明：

略。

1-10已知线段AB实长等于38mm，其β=30°，且已知a'b'的部分投影，试补全线段AB的两投影。

分析：

由线段AB的部分正面投影和β角可组成直角三角形，利用AB实长已知可求A、B两点的Y坐标差，由此可作出b和b'点。

作图过程或作图要点说明：

1）在a'b'的部分投影上任取一点c',作投影连线c'C0,过a作aC0⊥c'C0,并在其延长线上截取C0A0=a'c'，以C0A0为一直角边作30°的直角三角形定出c点。

2）延长A0c到B0，使A0B0=38mm，过B0作aC0的平行线，在ac的延长线上定出b。

3）延长正面投影a'c'至b'。

图1-10题图1-10解

1-11作一直线平行于线段EF，且与AB、CD两线段都相交。

图1-11题图1-11解

分析：

所给线段EF为一般位置线，线段CD为正垂线，因此，在正面投影中过c'（d'）且与e'f'平行即得直线KL的正面投影k'l'；线段AB是侧平线,要确定其上的点L的水平投影l，则要用点分线段成比例的特性引比例线段求得。

作图过程或作图要点说明：

略。

1-12作直线MN与直线EF正交，且与AB、CD两直线都相交。

图1-12题图1-12解

分析：

直线MN与EF正交,且EF为水平线,由直角投影定理可知其水平投影上成直角,而AB为铅垂线，交线MN的水平投影mn必过a（b），由此可先作出水平投影。

作图过程或作图要点说明：

1）过a（b）作mn垂直于ef，垂足为n，过n引投影连线交e'f'于n'。

2）再确定MN与CD的交点L的正面投影l'，连n'、l'并延长至a'b'得m'。

1-13作两交叉直线的公垂线EF，分别与AB、CD交于E、F，并标出AB、CD间的真实距离。

图1-13题

分析：

（一）中AB线段为铅垂线，与其垂直的线段必定是水平线，CD为一般位置线，但与之垂直的水平线可以在水平投影中表现为直角。

（二）中AB是正垂线，EF的正面投影必过a'（b'），且CD为侧平线，与之垂直的线段必定是侧垂线。

图1-13解

作图过程或作图要点说明：

（一）中：

过a（b）作cd的垂线交cd于f，由f引投影连线交c'd'于f'，过f'做OX轴的平行线交a'b'于e'，即得EF的两面投影。

（二）中：

过a'（b'）作OX轴的平行线交c'd'于f'，在cd上确定f点（利用点分线段成比的特性作图），过f作OX轴的平行线交ab于e。

1-14作线段MN的两面投影，其α=30°，N点在直线AB上。

图1-14题图1-14解

分析：

N点在水平线AB上,从正面投影可看出MN两端点的Z坐标差无论N点在AB的哪一处都是一样的，以该坐标差为一直角边和α角构成一直角三角形,另一直角边即为要求的MN的水平投影。

作图过程或作图要点说明：

1）由m'点c引a'b'的垂线,以此垂线为一直角边和α角构成直角三角形;

2）以另一直角边的长为半径,以m为圆心作圆弧交ab于n,由n引投影连线交a'b'于n'。

1-15作线段CD的垂直平分线EF，点E距V面40mm，EF=CD且同时也被CD平分。

图1-15题图1-15解

分析：

CD为正平线，EF的正面投影必在CD正面投影的垂直平分线上；E点距V面40mm，则E点到CD中点O的Y坐标差是一定的,由于EF=CD，且同时也被CD平分,则OE=OC，由OE的Y差和实长构造直角三角形即可求得OE的正面投影长。

作图过程或作图要点说明：

1）作c'd'的中垂线得o'点并作投影连线交cd于o点。

2）延长o'o并在其上截取到OX轴40mm的点E0，以OE0为一直角边，o'c'长为斜边作一直角三角形，则另一直角边为o'e'长，由e'得出e。

3）由OE=OF定出f和f'。

1.3.3平面的投影

1-16完成等腰直角三角形ABC的两面投影。

已知AC为斜边，顶点B在直线NC上。

分析：

ABC是等腰直角三角形，故两腰AB、BC垂直且相等。

图中NC是水平线,B在NC上，故水平投影ab⊥bc且bc=BC，再利用直角三角形法作出a'。

作图过程或作图要点说明：

1）由a作ab垂直于cn，垂足为b，在c'n'上定出b'。

2）以AB的Y坐标差为直角边及AB的实长（=bc）为斜边作直角三角形，则另一直角边为a'b'长。

图1-16题图1-16