实验九无穷级数 数学实验课件习题答案.docx

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实验九无穷级数数学实验课件习题答案

天水师范学院数学与统计学院

实验报告

实验项目名称实验九无穷级数

所属课程名称数学实验

实验类型上机实验

实验日期2013-5-14

班级10数应

（2）班

学号291010836

姓名吴保石

成绩

一、实验概述：

【实验目的】

掌握用Mathematica求无穷级数的和，求幂级数的收敛域，展开函数为幂级数以及展开周期函数为傅里叶级数的方法．

【实验原理】

1．求无穷和命令Sum

Sum命令也可以用来求无穷和．

Sum[1/n^2，{n，1，Infinity}]

2．把函数展开为幂级数命令Series

该命令的使用格式是

Series[y[x]，{x，x0，n}]

Series[y[x]，{x，0，5}]

3．去掉余项命令Normal

在把

展开成幂级数后，有时为了近似计算或作图，需要把余项去掉，只要使用Normal命令，例如输入

　　　Series[Exp[x]，{x，0，6}]

　Normal[%]

4．强制求值命令Evaluate

如果函数是用Norma1命令定义的，则当对它进行作图或其他数值计算时，可能会出现问题，例如输入

　　　fx=Normal[Series[Exp[x]，{x，0，3}]]

　Plot[fx，{x，-3，3}]

则只能得到去掉余项后的展开式，得不到函数的图形，这时要使用强制求值命令Evaluate，改成输入

　Plot[Evaluate[fx]，{x，-3，3}]

便可以得到函数的图形

5．作散点图命令ListPlot

ListPlot[Table[j^2，{j，16}]，PlotStylePointSize[0.012]]

6．用符号“／；”定义分段函数

符号“／；”用于定义某种规则，“／；”后面是条件，例如输入

　　　Clear[g，gf]；

　　　g[x_]:

=x/；0x<1

　　　g[x_]:

=-x/；-1x<0

　　　g[x_]:

=g[x-2]/；x1

　gf=Plot[g[x]，{x，-1，6}]

用which命令也可以定义分段函数，从这个例子中看到，用“…（表达式）/；…（条件）”来定义周期性分段函数更方便些．用Plot命令可以作出分段函数的图形，但用Mathematica命令求分段函数的导数或积分时往往会有问题．用which定义的分段函数可以求导，但不能积分．Mathematica内部函数中有一些也是分段函数，如：

Mod[x，1]，Abs[x]，Floor[x]和Unitstep[x]．其中只有单位阶跃函数Uniltstep[x]可以用Mathematica命令来求导和求定积分,因此在求分段函数的傅里叶系数时，对分段函数的积分往往要分区间来积,在被积函数可以用单位阶跃函数Unitstep的四则运算和复合运算表达时，计算傅里叶系数就比较方便了．

【实验环境】

MicrosoftWindowsXP

Professional

版本2002

ServicePack3

GhostXP_SP3电脑公司快速装机版V2011.07

Intel（R）Core（TM）i3CPU

550@3.20GHz

3.19GHz,1.74GB的内存

Mathematica5.2

二、实验内容：

【实验方案】通过用Mathematica5.2软件，在计算机上操作，计算以下问题：

1．数项级数

2．求幂级数的收敛域

3．函数的幂级数展开

4．傅里叶级数

【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析）

1．数项级数

　　Sum[1/（4n^2+8n+3），{n，1，Infinity}]

　　例9.1求级数

的和

　　例9.2　求级数

的和

　　　　　　　Sum[x^（3k），{k，1，Infinity}]

　　例9.3　设

，求

　　　　　　Clear[a]；

　　　　　　a[n_]=10^n/（n!

）；

　　　　　　vals=Table[a[n]，{n，1，25}]；

　　　　ListPlot[vals，PlotStylePointSize[0.012]]

　　　　Sum[a[n]，{n，1，Infinity}]

2．求幂级数的收敛域

　　例9.4　求

收敛域与和函数

　　　Clear[a]；

　　　a[n_]=4^（2n）*（x-3）^n/（n+1）；

　　　stepone=a[n+1]/a[n]//Simplify

　steptwo=Limit[stepone，nInfinity]

　　　ydd=Solve[steptwo1，x]

　zdd=Solve[steptwo-1，x]

　Simplify[a[n]/.x（49/16）]

　Simplify[a[n]/.x（47/16）]

　Sum[4^（2n）*（x-3）^n/（n+1），{n，0，Infinity}]

3．函数的幂级数展开

　　例9.5　求

的6阶麦克劳林展开式

Series[Cos[x]，{x，0，6}]

例9.6　求

在

处的6阶泰勒展开式．

Series[Log[x]，{x，1，6}]

　　例9.7　求

的5阶麦克劳林展开式．

　　　ser1=Series[ArcTan[x]，{x，0，5}]；

　poly=Normal[ser1]

　　　Plot[Evaluate[{ArcTan[x]，poly}]，{x，-3/2，3/2}，PlotStyle{Dashing[{0.01}]，GrayLevel[0]}，AspectRatio1]

　　例9.8　求

在

处的8阶泰勒展开，并通过作图比较函数和它的近似多项式．

　　　Clear[f]；

　　　f[x_]=Exp[-（x-1）^2*（x+1）^2]；

　　　poly2=Normal[Series[f[x]，{x，1，8}]]

　Plot[Evaluate[{f[x]，poly2}]，{x，-1.5，1.5}，PlotRange{-2，3/2}，PlotStyle{Dashing[{0.01}]，GrayLevel[0]}]

例9.9　求函数

在

处的3，5，7，…，9l阶泰勒展开，通过作图比较函数和它的近似多项式，并形成动画进一步观察

Do[Plot[{Sum[（-1）^j*x^（2j+1）/（2j+1）!

，{j，0，k}]，Sin[x]}，{x，-40，40}，PlotStyle{RGBColor[1，0，0]，RGBColor[0，0，1]}]，{k，1，45}]

4．傅里叶级数

例9.10　设

是周期为2的周期函数它在一个周期内的表达式为

求它的傅立叶级数展开式的前5项和前8项，作出

和它的近似三角级数的图形．

　Clear[f，a，b，fs，L]；

　　　f[x_]:

=1/；0x<1

　　　f[x_]:

=-x/；-1x<0

　　　f[x_]:

=f[x-2]/；1x

gf=Plot[f[x]，{x，-1，5}]

Clear[L，a，b，fs，f1，f2]；

L=1；

a[n_]:

=（Integrate[-x*Cos[n*Pi*x/L]，{x，-L，0}]+Integrate[Cos[n*Pi*x/L]，{x，0，L}]）/L

b[n_]:

=（Integrate[-x*Sin[n*Pi*x/L]，{x，-L，0}]+Integrate[Sin[n*Pi*x/L]，{x，0，L}]）/L

fs[k_，x_]:

=a[k]*Cos[k*Pi*x/L]+b[k]*Sin[k*Pi*x/L]

fourier[n_，x_]:

=a[0]/2+Sum[fs[k，x]，{k，1，n}]

f1=fourier[5，x]//N

f2=fourier[10，x]//N

Plot[Evaluate[{f[x]，f1}]，{x，-1，5}，PlotStyle{GrayLevel[0]，GrayLevel[0.4]}]

Plot[Evaluate[{f[x]，f2}]，{x，-1，5}，PlotStyle{GrayLevel[0]，GrayLevel[0.4]}]

例9.11设

是以2Pi为周期的周期函数，它在

的表达式是

，

将

展开成傅里叶级数．

　　　Clear[g]；

　　　g[x_]:

=-1/；-Pix<0

　　　g[x_]:

=1/；0x

　　　g[x_]:

=g[x-2Pi]/；Pix

　Plot[g[x]，{x，-Pi，5Pi}，PlotStyle{RGBColor[0，1，0]}]；

　　　Clear[b2，fourier2，tu，tu2，toshow]；

　　　b2[n_]:

=b2[n]=2Integrate[1*Sin[n*x]，{x，0，Pi}]/Pi；

　　　fourier2[n_，x_]:

=Sum[b2[k]*Sin[k*x]，{k，1，n}]；

　　　tu[n_]:

=Plot[{g[x]，Evaluate[fourier2[n，x]]}，{x，-Pi，5Pi}，　　　　　　PlotStyle{RGBColor[0，1，0]，RGBColor[1，0.3，0.5]}，DisplayFunctionIdentity]；

　　　tu2=Table[tu[n]，{n，1，30，5}]；

　　　toshow=Partition[tu2，2]；

　Show[GraphicsArray[toshow]]

【实验结论】（结果）

通过用mathematica5.2在计算机上输入相应的命令程序，解决了求解数项级数的问题，及相关题目；求幂级数的收敛域的问题；函数的幂级数展开的题目；以及傅里叶级数的求解问题。

【实验小结】（收获体会）

通过本节的学习，我基本掌握了以下的命令：

1求无穷和的命令Sum[1/n^2，{n，1，Infinity}]

2．把函数展开为幂级数命令Series[y[x]，{x，x0，n}]

3．去掉余项的命令Normal

4．强制求值的命令Evaluate

5．作散点图命令ListPlot

6．用符号“／；”定义分段函数

以及在计算机上实际操作对求解数项级数，求幂级数的收敛域，函数的幂级数展开，以及傅里叶级数的求解问题有了更深的理解，一边在以后的学习中更好的运用。

三、指导教师评语及成绩：

评语

评语等级

优

良

中

及格

不及格

1.实验报告按时完成,字迹清楚,文字叙述流畅,逻辑性强

2.实验方案设计合理

3.实验过程（实验步骤详细,记录完整,数据合理,分析透彻）

4实验结论正确.

成绩：

指导教师签名：

批阅日期：

附录1：

源程序

第1题

Sum[k/（2^k）,{k,1,Infinity}]

2

Sum[1/（2k-1）^2,{k,1,Infinity}]

Sum[1/（2k）^2,{k,1,Infinity}]

Sum[（-1）^（k-1）/k,{k,1,Infinity}]

Log[2]

第2题

Clear[a];

a[n_]=（（x-1）^（2n+1））/（-5）^n;

stepone=a[n+1]/a[n]//Simplify

steptwo=Limit[stepone,nInfinity]

y1=Solve[steptwo1,x]

z1=Solve[steptwo-1,x]

第3题

Series[（1+x）*Log[1+x],{x,0,6}]

第4题

Series[ArcSin[x],{x,0,6}]

第5题

Clear[f];

f[x_]=x/（x^2+1）;

poly1=Normal[Series[f[x],{x,0,5}]]

poly2=Normal[Series[f[x],{x,0,10}]]

Plot[Evaluate[{poly1,poly2}],{x,-3,3},PlotRange{-6,6},PlotStyle{Dashing[{0.01}],GrayLevel[0.2]}]

Graphics

第6题

Clear[f];

f[x_]:

=1-x^2;-1/2x<1/2

f[x_]:

=f[x-1]/;1/2<=x

gf=Plot[f[x],{x,-1/2,6}]

Graphics

L=1/2;

a[n_]:

=（Integrate[（1-x^2）*Cos[n*Pi*x/L],{x,-L,L}]）/L

fourier[n_,x_]:

=a[0]/2+Sum[a[k]*Cos[k*Pi*x/L],{k,1,n}]

f1=fourier[6,x]//N

0.916667+0.101321Cos[6.28319x]-0.0253303Cos[12.5664x]+0.0112579Cos[18.8496x]-0.00633257Cos[25.1327x]+0.00405285Cos[31.4159x]-0.00281448Cos[37.6991x]

Plot[Evaluate[{f[x],f1}],{x,-1/2,1/2},PlotStyle{GrayLevel[0],GrayLevel[0.5]}]

Graphics

第7题Clear[f,a,b,fs,L];

f[x_]:

=1/;0x<1

f[x_]:

=2-x/;1x<2

f[x_]:

=f[x-2]/;x2

gf=Plot[f[x],{x,0,4}]

Graphics

L=1;

a[n_]:

=（Integrate[Cos[n*Pi*x/L],{x,0,1}]+Integrate[（2-x）*Cos[n*Pi*x/L],{x,1,2}]）/L

b[n_]:

=（Integrate[Sin[n*Pi*x/L],{x,0,1}]+Integrate[（2-x）*Sin[n*Pi*x/L],{x,1,2}]）/L

fs[k_,x_]:

=a[k]*Cos[k*Pi*x/L]+b[k]*Sin[k*Pi*x/L]

fourier[n_,x_]:

=a[0]/2+Sum[fs[k,x],{k,1,n}]

f1=fourier[8,x]//N

0.75-0.202642Cos[3.14159x]-0.0225158Cos[9.42478x]-0.00810569Cos[15.708x]-0.00413556Cos[21.9911x]+0.31831Sin[3.14159x]+0.159155Sin[6.28319x]+0.106103Sin[9.42478x]+0.0795775Sin[12.5664x]+0.063662Sin[15.708x]+0.0530516Sin[18.8496x]+0.0454728Sin[21.9911x]+0.0397887Sin[25.1327x]

Plot[Evaluate[{f[x],f1}],{x,0,4},PlotStyle{GrayLevel[0],GrayLevel[0.4]}]

Graphics

第8题

1.0708+0.

附录2：

实验报告填写说明

1．实验项目名称：

要求与实验教学大纲一致。

2．实验目的：

目的要明确，要抓住重点，符合实验教学大纲要求。

3．实验原理：

简要说明本实验项目所涉及的理论知识。

4．实验环境：

实验用的软、硬件环境。

5．实验方案（思路、步骤和方法等）：

这是实验报告极其重要的内容。

概括整个实验过程。

对于验证性实验，要写明依据何种原理、操作方法进行实验，要写明需要经过哪几个步骤来实现其操作。

对于设计性和综合性实验，在上述内容基础上还应该画出流程图、设计思路和设计方法，再配以相应的文字说明。

对于创新性实验，应注明其创新点、特色。

6．实验过程（实验中涉及的记录、数据、分析）：

写明具体实验方案的具体实施步骤，包括实验过程中的记录、数据和相应的分析。

7．实验结论（结果）：

根据实验过程中得到的结果，做出结论。

8．实验小结：

本次实验心得体会、思考和建议。

9．指导教师评语及成绩：

指导教师依据学生的实际报告内容，给出本次实验报告的评价。