上海市静安区高三第一学期期末一模学科质量检测数学试题及答案word版.docx
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上海市静安区高三第一学期期末一模学科质量检测数学试题及答案word版
静安区2018-2019年第一学期高三年级质量调研考试
数学试卷2019.1
考生注意：
1．本场考试时间120分钟.试卷共4页，满分150分．
2．作答前，在试卷与答题纸正面填写学校、班级、考生号、姓名等．
3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分．
4．用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）
考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1．函数的定义域是______________．
2．已知向量，，则向量的坐标是____________．
3．在二项式的展开式中，项的系数为__________．（结果用数值表示）
4．若直线轴平行，则a的值是__________．
5．若、是一元二次方程的两个根，则__________．
6．在数列中，，且是公比为的等比数列．设，则__________．（）
7．某用人单位为鼓励员工爱岗敬业，在分配方案中规定：
年度考核合格的员工，从下一年一月份开始在上一年平均月工资收入基础上增加7%作为新一年的月工资收入．假设某员工自2004年一月以来一直在该单位供职，且同一年内月工资收入相同，2004年的月工资收入为5000元，则2019年一月该员工的月工资收入为__________元．（结果保留两位小数）
8．已知，则_________．
9．以两条直线的交点为圆心，并且与直线相切的圆的方程是__________．
10．已知球的半径为24cm，一个圆锥的高等于这个球的直径，而且球的表面积等于圆锥的表面积，则这个圆锥的体积是__________cm3．（结果保留圆周率）
11．集合，，若，则实数的取值范围是__________．
12.若定义在实数集R上的奇函数的图像关于直线对称，且当时，，则方程在区间（）内的所有实根之和为__________．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考
生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．电视台在电视剧开播前连续播放6个不同的广告，其中4个商业广告2个公益广告，现要求2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有（）.
（A）（B）（C）（D）
14．已知椭圆的标准方程为，焦点在轴上，则其焦距为（ ）.
（A） （B） （C） （D）
15．已知下列4个命题：
①若复数的模相等，则是共轭复数．
②都是复数，若是虚数，则的共轭复数．
③复数是实数的充要条件是．（是的共轭复数）．
④已知复数（是虚数单位），它们对应的点分别为A，B，C.O为坐标原点．若（），则.
则其中正确命题的个数为（）.
（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个
16．设都是小于9的正整数，且满足，，则的夹角大小为（）.
（A）（B）
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出
必要的步骤．
17．（本题满分14分）
如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角为60°，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95米，AB与水平线之间的夹角为6°20′，AC的长为1.40米，计算BC的长（结果保留3个有效数字，单位:
米）．
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，，、分别是、的中点．
（1）求证：
平面；
（2）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．
19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
设，．
（1）求函数的最大值；
（2）对
（1）中的，是否存在常数（），使得当时，有意义，且的最大值是？
若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
设，椭圆：
与双曲线：
的焦点相同．
（1）求椭圆与双曲线的方程；
（2）过双曲线的右顶点作两条斜率分别为，的直线，，分别交双曲线于点，（，不同于右顶点），若，求证：
直线的倾斜角为定值，并求出此定值；
（3）设点，若对于直线，椭圆上总存在不同的两点与关于直线对称，且，求实数的取值范围．
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
将个数，，…，的连乘积记为，将个数，，…，的和记为．（）
（1）若数列满足，，，设，，求；
（2）用表示不超过的最大整数，例如，，．若数列满足，，，求的值；
（3）设定义在正整数集上的函数满足：
当（）时，，问是否存在正整数，使得？
若存在，求出的值；若不存在，说明理由（已知）．
静安区2018-2019年第一学期高三年级质量调研考试
数学试卷参考答案
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）
考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1．.2．.3．10.
4．．5．．6．.
7．13795.16元8．．9．.
10．12288cm3．11．.12.24.
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考
生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．~~~~16．ABBC
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出
必要的步骤．
17．（本题满分14分）
解：
根据题意，在△ABC中，，BAC=66O20/，
由余弦定理，得
计算得：
..
答：
顶杆约长1.89米．
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
G
解：
（1）由题意，△是等边三角形，因为是的中点，所以，
又平面，所以，
所以平面．
（2）取中点，连结，，则∥，
所以，为异面直线与所成角，
设，在△中，，，
，
所以，
．
所以，异面直线与所成角的大小为．
19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
解：
（1）
设，因为，所以.
.
（2）当时，，该函数当时递减，当时递增。
要使有意义且取得最大值，关于自变量的单调性必是当时增,当时递减，所以根据题意得：
，
于是，得．所以存在，使得当时，的最大值是
20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
解：
（1）由题意，，所以．
所以椭圆的方程为，双曲线的方程为．
（2）双曲线的右顶点为，因为，不妨设，则，
设直线的方程为，
由,得，
则,（），.
同理，，，
又，所以，.
因为，所以直线与轴平行，即为定值，倾斜角为0．
（3）设，，直线的方程为，
由整理得，
△，故．
，，
设的中点为，则，，
又在直线上，所以，．
因为，，
所以
，所以．又，。
即.
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
解：
（1）
由，得,或
且，
所以．又，所以，．
从而=1.
（2）由，，因为，
所以，，
所以，，
因为，所以．
（3）若存在正整数n，则由已知得，
，且，
因此所求和的最后一项必定出现在1+2+3+…+17=153项之后，且，共有个，
所以，,
所以，，解得．
所以存在正整数n=166，使得.
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