空间几何.docx

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空间几何

知识梳理

棱柱的结构特征

1、定义：

一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱．在棱柱中，两个相互平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．侧面与底的公共顶点叫做棱柱的顶点．棱柱中不在同一平面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线．过不相邻的两条侧棱所形成的面叫做棱柱的对角面。

2、棱柱的分类：

底面是三角形、四边形、五边形、……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……

3、棱柱的表示方法：

①用表示底面的各顶点的字母表示棱柱，如下图，四棱柱、五棱柱、六棱柱可分别表示为

、

、

；

②用棱柱的对角线表示棱柱，如上图，四棱柱可以表示为棱柱A

C或棱柱D

B等；五棱柱可表示为棱柱AC

、棱柱AD

等；六棱柱可表示为棱柱AC

、棱柱AD

、棱柱AE

等．

4、棱柱的性质：

棱柱的两个底面平行且全等，侧面都是平行四边形，侧棱平行且相等。

棱锥的结构特征

1、定义：

有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．这个多边形面叫做棱锥的底面．有公共顶点的各个三角形叫做棱锥的侧面．各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点．相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；

2、棱锥的分类：

按底面多边形的边数，可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥……；

3、棱锥的表示方法：

用表示顶点和底面的字母表示，如四棱锥

；

圆柱的结构特征

1、定义：

以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几

何体叫做圆柱．旋转轴叫做圆柱的轴．垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的底面．平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面。

无论旋转到什么位置不垂直与轴的边都叫做圆柱的母线。

2、圆柱的表示方法：

用它的轴的字母表示，如圆柱OO’

圆锥的结构特征

1、定义：

以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．旋转轴叫做圆锥的轴．垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的底面．不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面．无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆锥的母线。

2、圆锥的表示方法：

用表示它的轴的字母表示，如圆锥SO．

棱台和圆台的结构特征

1、定义：

用一个平行于棱锥（圆锥）底面的平面去截棱锥（圆锥），底面和截面之间的部分叫做棱台（圆台）；原棱锥（圆锥）的底面和截面分别叫做棱台（圆台）的下底面和上底面；原棱锥（圆

锥）的侧面被去后剩余的曲面叫做棱台（圆台）的侧面；原棱锥的侧棱被平面截去后剩余的部分叫做棱台的侧棱；原圆锥的母线被平面截去后剩余的部分叫做圆台的母线；棱台的侧面与底面的公共顶点叫做棱台的顶点；圆台可以看做由直角梯形绕直角边旋转而成，因此旋转的轴叫做圆台的轴.

2、棱台的表示方法：

用各顶点表示，如四棱台

；　

3、圆台的表示方法：

用表示轴的字母表示，如圆台

；

　注：

圆台可以看做由圆锥截得，也可以看做是由直角梯形绕其直角边旋转而成.

球的结构特征

1、定义：

以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称球.半圆的半叫做球的半径.半圆的圆心叫做球心.半圆的直径叫做球.

2、球的表示方法：

用表示球心的字母表示，如球O.

特殊的棱柱、棱锥、棱台

特殊的棱柱：

侧棱不垂直于底面的棱柱称为斜棱柱；垂直于底面的棱柱称为直棱柱；底面是正多边形的直棱柱是正棱柱；底面是矩形的直棱柱叫做长方体；棱长都相等的长方体叫做正方体；

特殊的棱锥：

如果棱锥的底面是正多边形，且各侧面是全等的等腰三角形，那么这样的棱锥称为正棱锥；侧棱长等于底面边长的正三棱锥又称为正四面体；

特殊的棱台：

由正棱锥截得的棱台叫做正棱台；

简单组合体的结构特征

1、组合体的基本形式：

①由简单几何体拼接而成的简单组合体；②由简单几何体截去或挖去一部分而成的几何体；

2、常见的组合体有三种：

①多面体与多面体的组合；②多面体与旋转体的组合；③旋转体与旋转体的组合.

中心投影与平行投影

1、投影、投影线和投影面：

由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上会留下这个物体的影子，这种现象叫做投影，其中光线叫做投影线，屏幕叫做投影面.

2、中心投影：

把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影.

3、中心投影的性质：

①中心投影的投影线交于一点；②点光源距离物体越近，投影形成的影子越大.

4、平行投影：

把一束平行光线照射下形成的投影叫做平行投影，投影线正对着投影面时叫做正投影，否则叫做斜投影.

5、平行投影的性质：

平行投影的投影线相互平行.

常见的几何体的三视图

1、圆柱的正视图和侧视图是全等的矩形，俯视图为圆；

2、圆锥的正视图和侧视图是三角形，俯视图为圆和圆心；

3、圆台的正视图和侧视图都是等腰梯形，俯视图为两个同心圆；

4、球的三视图都是圆.

注：

1、三视图的排列方法是侧视图在正视图的右边；俯视图在正视图的下面；

2、一个几何体的侧视图和正视图高度一样，俯视图和正视图的长度一样，侧视图和俯视图的宽度一样，即：

长对正，高平齐，宽相等.

典型例题

类型一、概念判断

例1、如果两个面互相平行，其余各面均为四边形的几何体一定是棱柱．这种说法是否正确？

如果正确说明理由；如果不正确，举出反例

举一反三

变式1、如果一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体一定是棱锥．这种说法是否正确？

如果正确说明理由；如果不正确，举出反例．

例2、描述下列几何体的结构特征，并说出它的名称.

（1）由7个面围成，其中两个面是互相平行且全等的五边形，其它面都是全等的矩形；

（2）如图，一个圆环面绕着过圆心的直线l转180

类型二、基本计算

例1、若三棱锥的底面为正三角形，侧面为等腰三角形，侧棱长为2，底面周长为9，求棱锥的高

例2、用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1:

16，截去的圆锥的母线长是3cm，求圆台的母线长

例3、圆锥底面半径为1cm，高为

，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长.

类型三、由几何体画三视图

例1、如图，

ABC为正三角形，AA

//BB

//CC

，CC

平面ABC且3AA

=

BB

=CC

=AB，则多面体

的正视图（也称主视图）是

类型四、有三视图到立体图形　　　　　　　　　　　　　　

例1、画出下列三视图所表示的几何体

举一反三

变式1、如下图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为

随堂演练

1．一个棱柱是正四棱柱的条件是（）

A．底面是正方形，有两个侧面是矩形B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面

C．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直D．每个侧面都是全等矩形的四棱柱

2．下列说法中正确的是（）

A．以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥

B．以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台

C．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆

D．圆锥侧面展开图为扇形、这个扇形所在圆的半径等于圆锥的底面圆的半径

3．右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：

①存在三棱柱，其正（主）视图、俯视图如右图；

②存在四棱柱，其正（主）视图、俯视图如右图；

③存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如右图．其中真命题的个数是（）

A．3　　　B．2　　　C．1　　　D．0

4．用一个平面去截正方体，所得的截面不可能是（）

A．六边形　　　B．菱形　　　C．梯形　　　D．直角三角形

5．下列说法正确的是（）

A．平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形

B．平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形

C．过圆锥顶点的截面是等腰三角形

D．过圆台上底面中心的截面是等腰梯形

6.设圆锥母线长为L高为

，过圆锥的两条母线作一个截面，则截面面积的最大值为________.

7．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的条棱的长为______．　　　　　　　　

8．右图的几何体是由下面哪个平面图形旋转得到的（）.

9．下列几何体的轴截面一定是圆面的是（）.

A．圆柱　　　B．圆锥　　　C．球　　D．圆台

10.把直角三角形绕斜边旋转一周，所得的几何体是（）.

A．圆锥　　　B．圆柱　　　　C．圆台　　　D．由两个底面贴近的圆锥组成的组合体

11.将一个半径为R的木球削成尽可能大的正方体，则正方体的体积是________.

12.三棱柱的底面为正三角形，侧面是全等的矩形，内有一个内切球，已知球的半径为R，则这个三棱柱的底面边长为________

13.正视图为一个三角形的几何体可以是____________________．（写出三种）

14.长方体的全面积为11，十二条棱的长度之和为24，求这个长方体的一条对角线长.

15.如图所示，长方体

.

（1）这个长方体是棱柱吗？

如果是，是几棱柱？

为什么？

（2）用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？

如果是，是几棱柱，并用符号表示.如果不是，说明理由.

16．正四棱锥（棱锥底面是正方形，侧面都是全等等腰三角形）有一个内接正方体，它的顶点分别在正四棱锥的底面内和侧棱上.若棱锥的底面边长为a，高为h，求内接正方体的棱长.

17.一个四棱台的上、下底面均为正方形，且面积分别为

、

，侧面是全等的等腰梯形，棱台的高为h，求此棱台的侧棱长和斜高（侧面等腰梯形的高）.

课后练习

1：

判断下列语句是否正确。

⑴有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥。

⑵有两个面互相平行，其余各面都是梯形，则此几何体是棱柱。

2：

在棱柱中（）

A．只有两个面平行B．所有的棱都平行

C．所有的面都是平行四边形D．两底面平行，且各侧棱也互相平行

3：

下列命题中正确的是（）

A.以直角三角形的一直角边为轴旋转所得的旋转体是圆锥

B.以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台

C.圆柱、圆锥、圆台都有两个底面

D.圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径

4：

下面几何体中，过轴的截面一定是圆面的是（）

A.圆柱B.圆锥C.球D.圆台

5：

下列几个命题中，

①两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台;

②有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台;

③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体;

④分别以矩形两条不等的边所在直线为旋转轴，将矩形旋转，所得到的两个圆柱是两个不同的圆柱.其中正确的有__________个.（）

A.1B.2C.3D.4

6：

将图1所示的三角形线直线l旋转一周，可以得到如图2所示的几何体的是哪一个三角形（）

7：

如图一个封闭的立方体，它6个表面各标出1、2、3

、4、5、6这6个数字，现放成下面3个不同的位置，则数字l、2、3对面的数

字是（）

A．4、5、6B．6、4、5C．5、4、6D．5、6、4

8：

有下列命题

（1）在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；

（2）圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；

（3）在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；

（4）圆柱的任意两

条母线所在的直线是互相平行的．

其中正确的是（）

A．

（1）

（2）B．

（2）（3）C．

（1）（3）D．

（2）（4）

9：

下列命题中错误的是（）

A．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个

B．圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个

C．圆台的所有平行于底面的截面都是圆

D．圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形

10：

图1是由图2中的哪个平面图旋转而得到的（）

11：

如

图，长方体ABCD—A1BlClD1中，AD＝3，AAl＝4，AB＝5，则从A点沿表面到Cl的最短距离为______．

12：

在三棱锥S—ABC中，SA＝SB＝SC＝1，∠ASB＝∠ASC＝∠BSC＝30°，如图，一只蚂蚁从点A出发沿三棱锥的表面爬行一周后又回到A点，则蚂蚁爬过的最短路程为_____．

13：

高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状

是____．

14：

这是一个正方体的表面展开图，若把它再折回成正方体后，有下列命题：

①点H与点C重合；

②点D与点M与点R重合；

③点B与点Q重合；

④点A与点S重合．

其中正确命题的序号是____．（注：

把你认为正确的命题的序号都填上）

15：

观察以下几何体的变化，通过比较，说

出他们的特征．

16：

一个圆锥截成圆台，已知圆台的上下底面半径的比是1∶4，母线长为10cm，求圆锥的母线长____．

17：

已知圆锥的轴截面等腰三角形的腰长为5cm,面积为12cm2,求圆锥的底面半径.

18：

已知圆柱的底面半径为3cm，轴截面面积为24cm2，求圆柱的母线长.

19：

正四棱锥的底面积为48cm2，侧面等腰三角形面积为6cm2，求正四棱锥侧棱.