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结构动力学习题解答一二章docx
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第一章单自由度系统
1.1总结求单自由度系统固有频率的方法和步骤。
单自由度系统固有频率求法有：
牛顿第二定律法、动量距定理法、拉格朗日方程法和能量守
恒定理法。
1、牛顿第二定律法
适用范围：
所有的单自由度系统的振动。
解题步骤：
（1）对系统进行受力分析,得到系统所受的合力；
（2）利用牛顿第二定律mxF,得到系统的运动微分方程；
（3）求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。
2、动量距定理法
适用范围：
绕定轴转动的单自由度系统的振动。
解题步骤：
（1）对系统进行受力分析和动量距分析；
（2）利用动量距定理JM,得到系统的运动微分方程；
（3）求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。
3、拉格朗日方程法：
适用范围：
所有的单自由度系统的振动。
解题步骤：
（1）设系统的广义坐标为，写出系统对于坐标的动能T和势能U的表达式；
进一步写求出拉格朗日函数的表达式：
L=T-U；
（2）由格朗日方程（L）L=0，得到系统的运动微分方程；
dt
（3）求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。
4、能量守恒定理法
适用范围：
所有无阻尼的单自由度保守系统的振动。
解题步骤：
（1）对系统进行运动分析、选广义坐标、写出在该坐标下系统的动能T和势能U
的表达式；进一步写出机械能守恒定理的表达式T+U=Const
（2）将能量守恒定理
T+U=Const对时间求导得零,即d（TU）
0，进一步得到系
dt
统的运动微分方程；
（3）求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。
1.2叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。
用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个：
衰减曲线法和共振法。
方法一：
衰减曲线法。
求解步骤：
（1）利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线，
并测得周期和相邻波峰和波谷
的幅值Ai、Ai1。
（2）由对数衰减率定义
ln（Ai
），
进一步推导有
Ai
1
2
，
2
1
.
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因为较小，所以有
。
2
方法二：
共振法求单自由度系统的阻尼比。
（1）通过实验，绘出系统的幅频曲线，如下图：
单自由度系统的幅频曲线
（2）分析以上幅频曲线图，得到：
1,2max/22/4；
于是
2
（12）
2
；
1
n
进一步
2
（12）
2
；
2
n
最后
21/2n/2n；
1.3叙述用正选弦激励求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。
用正选弦激励求单自由度系统阻尼比的方法有两个：
幅频（相频）曲线法和功率法。
方法一：
幅频（相频）曲线法
当单自由度系统在正弦激励F0sint作用下其稳态响应为：
x
Asin（
t
）,
其中：
A
F0
xst
；
（1）
m
2
2
4n
2
2
1
2
4
2
2
n
0
arctan2
/1
2
（2）
.
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从实验所得的幅频曲线和相频曲线图上查的相关差数，由上述
（1），
（2）式求得阻尼比。
方法二：
功率法：
（1）单自由度系统在
F0sin
t作用下的振动过程中，在一个周期内，
弹性力作功为
Wc0
、
阻尼力做功为
Wd
cA2
、
激振力做作功为
Wf
F0
sin
；
（2）由机械能守恒定理得，弹性力、阻尼力和激振力在一个周期内所作功为零，
即：
Wc+Wd+Wf
0；
于是
F0sin
-
cA2
0
进一步得：
A
F0sin
c
；
（3）
当
n
时，sin
1，
则
Amax
xst
2
，
得
max
12
2
max
。
1.4求图1-35
中标出参数的系统的固有频率。
（1）此系统相当于两个弹簧串联，弹簧刚度为
k1、简支梁
刚度为
k2
48EI
；等效刚度为k;有1
1
1
m
；
L3
k
k1
k2
k
1
48EIk
L/2
L/2
1
1
48EI
k1l3
k1
k2
则固有频率为：
k
48EIl3
；
图1-33（a）
m
48EIk1l3
m
（2）此系统相当于两个弹簧串联
等效刚度为:
m
48EI
;
L/2
L/2
kk1
3
l
k1
则固有频率为:
k
k1l3
48EI
m
ml3
图1-33（b）
.
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（3）系统的等效刚度为
m
k1
k1
kk1
3EI
k1
3EI
l
3
l
3
则系统的固有频率为
k
k1l3
3EI
图1-33
（c）
m
ml3
（4）
由动量距定理
m0
F
I0得：
m
（1l
k1
1l
1l
k1
1l）=1ml2
k1
k1
2
2
2
2
2
得：
k1
0
，
2m
则
k1
。
2m
图1-33（d）
1.5求下图所示系统的固有频率。
图中匀质轮
A半径R,重物B的重量为P/2,弹簧刚度为k.
解：
以
为广义坐标，则
系统的动能为
TT
T
轮子
1（m）x2
1I
2
A
重物
2
20
k
1P
2
11P
2
x
2
P
2
P
2
x
图1-34
（
2g
）x
（
R
）
x
4g
2
22g
R
4g
B
P
x2
0
2g
系统的势能能为：
x
1kx2
U
U重物
U弹簧
Px
；
2
拉格朗日函数为
L=T-U;
由拉格朗日方程（L）L0得
dtxx
P
g
xkx0
.
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则，
kg
0
=
P
所以：
系统的固有频率为
kg
P
1.6求图1-35所示系统的固有频率。
图中磙子半径为
R，质量为M，作纯滚动。
弹簧刚度
为K。
解：
磙子作平面运动，
K
R
其动能T=T平动+T转动
。
x
M
图1-35
T平动
1
&2
;
Mx
2
T转动
1I
&
2
MR
2
&2
;
x
1
x
2
R
2
2
R
T
1Mx2
1Mx2
3Mx2
；
2
4
4
而势能
U1Kx2；
2
系统机械能
3
2
1
2
C;
TUMx
Kx
4
2
由dTU
0得系统运动微分方程
dt
3MxKx0
；
2
得系统的固有频率
n
2K
3M
；
1.7求图1-36
所示齿轮系统的固有频率。
已知齿轮
A的质量为mA，半径为rA，齿轮B的质
量为m，半径为
r
B,
杆AC的扭转刚度为
K,
杆BD的扭转刚度为K,
B
A
B
解：
由齿轮转速之间的关系
ArA
BrB
得角速度
rA
A；转角B
rA
B
rB
A；
rB
系统的动能为：
T
1
2
1
JB
2
TATB
JAA
2
B
2
C
A
1
mr
2
21
mr
2
2
T
AA
B
B
B
2
A
2
2
2
1mAmBrA2
A2；B
D
4
.
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图1-36
系统的势能为：
U
1KAA2
1KBB2
2
2
系统的机械能为
1
KAA
2
KBB
2
2
1
KB
rA
2
2
KA
rB
2
A;
2
TU
1
m
m
B
r
2
2
4
A
A
A
2
1
KA
KB
rA2
A2
C；
2
rB
由dTU0得系统运动微分方程dt
1
2
KA
rA
2
0；
mAmBrAA
KB
2
A
2
rB
因此系统的固有频率为：
2KA
rA
2
2KA
rA
2
KB
2
KB
2
rB
1
rB
n
mBrA2
rA
mA
mB
；
mA
1.8已知图１－３７所示振动系统中，匀质杆长为L，质量为m，两弹簧刚度皆为K，阻尼系
数为C，求当初始条件000时
（１）f（t）Fsint的稳态解；Cf（t）
（２）f（t）（t）t的解；L/2L/2
解：
利用动量矩定理建立系统运动微分方程
2
2
f（t）L
KL
2
J
CL
KL
；K
2
2
2
2
L
L
2
2
r2mdr
mL2
而J
r2dm
；
L
L
L
12
2
2
得
mL2
3CL2
6KL2
6Lf（t）；
化简得
3C
6K
6
m
m
f（t）
mL
（１）
求f（t）Fsin
t的稳态解；
将f（t）
Fsin
t代入方程
（1）得
3C
6K
6Fsint
m
m
mL
K
图１－３７
（1）
（2）
.
令2n3C;m
2
n
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6K;h6F;得
mmL
2n
2
hsint
（3）
n
设方程（3）的稳态解为
xAsin（t）
（4）
将（4）式代入方程（3）可以求得：
h
6F
；
A
n222
4n22
L6Km22
9C22
arctg
2n
arctg
3C
；
2
2
6Km
2
n
（２）
求f（t）
（t）的解；
将f（t）
（t）代入方程
（1）得
令2n3C;m
2
n
3C
6K
6
（5）
m
m
（t）
mL
6K;h6;得
mmL
2n
n
2
h（t）
（6）
方程（6）成为求有阻尼的单自由度系统对于脉冲激励
h（t）的响应。
由方程（
6）可以得到
初始加速度
0
h
（t）；
然后积分求初始速度
0
0
0
0
0dt
h（t）dt
h
（t）dth；
0
0
0
再积分求初位移
0
0
0
0dt
h
）dt
0；
0
0
这样方程（6）的解就是系统对于初始条件
0
、0
和
0的瞬态响应
x
Aent
sin
d
t
；
将其代入方程（
6）可以求得：
A
h
;
0;
md
最后得
xAentsin
dt
h
ent
sin
dt
md
.
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1.9图１－３８所示盒内有一弹簧振子，其质量为
m，阻尼为C，刚度为K，处于静止状态，
方盒距地面高度为
H，求方盒自由落下与地面粘住后弹簧振子的振动历程及振动频率。
解：
因为在自由落体过程中弹簧无变形，所以振子与盒子之间无相对位移。
在粘地瞬间，
由机械能守恒定理
mgH
1mV0
2的振子的初速度V0
2gH；
2
底版与地面粘住后，弹簧振子的振动是对于初速度
V0
2gH
的主动隔振
m
系统的运动微分方程为：
mx
Cx
Kx
0
；
K/2
c
K/2
或
x
Cx
Kx
0;
m
m
或
x
2nx
n
2x
0;
H
系统的运动方程是对于初始条件的响应：
xAe
ntsin
dt
；
x0
nx0
2
x0
2gH
A
x02
；
d
d
d
arctg
dx0
0
；
x0
nx0
x
2gH
sindt;
d
1.10
汽车以速度
V在水平路面行使。
其单自由度模型如图。
设
m、k、c已知。
路面波动情
况可以用正弦函数
y=hsin（at）
表示。
求：
（1）建立汽车上下振动的数学模型；
（2）汽车振
动的稳态解。
解：
（1）建立汽车上下振动的数学模型；由题意可以列出其运动方程：
my
k（yy1）c（yy1）
Y
m
1
其中：
y表示路面波动情况；
y
1表示汽车上下波动位移。
K/2
CK/2
将其整理为：
my
cy
ky
ky1
cy1
（1）
Y（t）
将yhsin（at）代入得
mycykyachcos（at）khsin（at）
图１－３９
（2）汽车振动的稳态解:
设稳态响应为：
yAsin（ta）
.
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代入系统运动微分方程（
1）可解得：
k2
c2
2
A
（km2）2
c22h；
a
acrtan（
mc
3
2）；
m
2
）
c
2
k（k
1.11.若电磁激振力可写为
F（t）
Hsin2
0t，求将其作用在参数为
m、k、c的弹簧振子上
的稳态响应。
解：
首先将此激振力按照傅里叶级数展开：
F（t）
a0
（aicos（i
t）
bi
sin（i
t））
2
i1
其中：
2
T
2
升级会员 