(2)设x1<x2<1,则a
<a
<a(因为a>1).所以a-a
>a-a
>0,所以loga(a-a
)>loga(a-a
),即f(x1)>f(x2).所以f(x)这(-∞,1)上的减函数.
(3)设y=loga(a-ax),则a-ax=ay,ax=a-ay,x=loga(a-ay),所以
f-1(x)=loga(a-ax)(x∈(-∞,1)),f(x)=f-1(x).
由f-1(x2-2)>f(x)有f(x2-2)>f(x),且f(x)为(-∞,1)上的减函数,所以
x2-2<x,x<1,解得-1<x<1.
评析 知道函数值大小关系和函数单调性,要研究自变量取值范围,应直接用单调性得关于x的不等式,但要注意单调区间.
例5 已知f(x)=2+log3x,x∈[1,9],求y=[f(x)]2+f(x2)的最大值,及y取最大值时,x的值.
分析 要求函数y=[f(x)]2+f(x2)的最大值,要做两件事,一是要求其表达式;二是要求出它的定义域,然后求值域.
解:
∵f(x)=2+log3x,
∴y=[f(x)]2+f(x2)=(2+log3x)2+2+log3x2
=(2+log3x)2+2+2log3x
=log23x+6log3x+6
=(log3x+3)2-3.
∵函数f(x)的定义域为[1,9],
∴要使函数y=[f(x)]2+f(x2)有定义,就须
∴1≤x≤3. ∴0≤log3x≤1
∴6≤y=(log3x+3)2-3≤13
∴当x=3时,函数y=[f(x)]2+f(x2)取最大值13.
说明 本例正确求解的关键是:
函数y=[f(x)]2+f(x2)定义域的正确确定.如果我们误认为[1,9]是它的定义域.则将求得错误的最大值22.
其实我们还能求出函数y=[f(x)]2+f(x2)的值域为[6,13].
例6
(1)已知函数y=log3(x2-4mx+4m2+m+
)的定义域为R,求实数m的取值范围;
(2)已知函数y=loga[x2+(k+1)x-k+
(a>0,且a≠1)的值域为R,求实数k的取值范围.
点拨:
题
(1)中,对任意实数x,x2-4mx+4m2+m+
>0恒成立;题
(2)中,x2+(k+1)x-k+
取尽一切正实数.
解:
(1)∵x2-4mx+4m2+m+
>0对一切实数x恒成立,
∴△=16m2-4(4m2+m+
)=-4(m+
)<0,
∴
>0.
又∵m2-m+1>0,∴m-1>0,∴m>1.
(2)∵y∈R,
∴x2+(k+1)x-k+
可取尽一切正实数.
∴△=(k+1)2-4(-k+
)≥0,
∴k2+6k≥0,∴k≥0,或k≤-6.
评析 本题两小题的函数的定义域与值域正好错位.
(1)中函数的定义域为R,由判别式小于零确保;
(2)中函数的值域为R,由判别式不小于零确定.
例7 求函数y=log0.5(-x2+2x+8)的单调区间.
分析 由于对函数的底是一个小于1的正数,故原函数与函数u=-x2+2x+8(-2<x<4)的单调性相反.
解.∵-x2+2x+8>0,
∴ -2<x<4,
∴ 原函数的定义域为(-2,4).
又∵ 函数u=-x2+2x+8=-(x-1)2+9在(-2,1]上为增函数,在[1,4)上为减函数,
∴函数y=log0.5(-x2+2x+8)在(-2,1]上为减函数,在[1,4)上为增函数.
评析 判断函数的单调性必须先求出函数的定义域,单调区间应是定义域的子集.
例8 已知a>0且a≠1,f(logax)=
·(x-x-1).
(1)求f(x);
(2)判断f(x)的奇偶性和单调性;
(3)对于f(x),当x∈(-1,1)时,有f(1-m)+f(1-m2)<0,求m的取值范围.
分析 先用换元法求出f(x)的表达式;再利用有关函数的性质判断其奇偶性和单调性;然后利用以上结论解第(3)小题.
解:
(1)令t=logax(t∈R),则x=at,且f(t)=
(at-a-t),
∴f(x)=
(ax-a-x)(x∈R).
(2)∵f(-x)=
(a-x-ax)=-f(x),且x∈R,∴f(x)为奇函数.
a>1时,ax-a-x为增函数,并且注意到
,∴这时,f(x)为增函数.
0<a<1时,类似可证f(x)为增函数.
∴f(x)在R上是增函数.
(3)∵f(1-m)+f(1-m2)<0,且f(x)为奇函数.
∴f(1-m)<f(m2-1).
∵f(x)在(-1,1)上是增函数,
∴
∴1<m<
.
评析 题(3)的求解脱离了f(x)的具体形式,仅用到前面得到的函数的性质