王明慈版概率论与数理统计习题五.docx
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王明慈版概率论与数理统计习题五
习题五
1.设抽样得到样本观测值为：
计算样本均值、样本标准差、样本方差与样本二阶中心矩。
__1101
解:
x∑x
+++++++++;
i
10i110
110__1
∑（
−）2[−2−2…−2];
i
s9i1xx9
110__
2∑（
−）2;
9
sxix
i1
∼110
__9
2∑（
−）2
.
i
10
i1xx
10S
2.设抽样得到100个样本观测值如下：
观测值
xi
1
2
3
4
5
6
频数
ni
15
21
25
20
12
7
计算样本均值、样本方差与样本二阶中心矩。
解：
由书上127页（）（）（）式可知：
___161
x∑xn
（11522132542051267）;
100
ii
i
i1
100
16___1
2∑（−
）2[（1−215…（6−27];
s99
i1x
xni99
∼16___99
2∑（−
）2.
3.略
100
xi
i1
xni
100
n
4.从总体中抽取容量为n的样本X1,…,X
，设为任意常数，为任意正数，作变换
ck
Yk（X
−c）,i1,2,⋯,.
iin
证明：
（1）XY
x
2
c;
（2）S
k
2
2
X
2
x
Sy;其中X及S
k
分别是1,…,
X
n
的样本均值及样本
方差；及
Y
2分别是
Sy
Y1,…,Yn
的样本均值及样本方差。
1
证明
（1）
∑n
由（
−）得
Yi
XXi
1
ni
YikXic
Xic
k
n
1（Y）1n1Y
∴X
∑ic
∑Yi⋅ncc
ni1
kk⋅ni1nk
21∑n（
−）21∑n⎡−
2
−⎤
⎣⎦
SyYiY
ni1
ni1
2
kXi
ckXkc
（2）
1∑n
2⋅1∑n
（−）2
2⋅2
ni1
2
kXi
2
Sy
kXk
Xi
ni1
XkSx
∴Sx2
k
5.从总体中抽取两组样本，其容量分别为n1及n2，设两组的样本均值分别为X1及X2，
样本方差分别为
2及2，把这两组样本合并为一组容量为
S1S2
n1n2
的联合样本。
证明：
（1）.联合样本的样本均值n1X1n2X2；
X
n1n2
−1
2
−12
−2
S
（2）.联合样本的样本方差
2n1S1n2S2
n1n2X1X2
S1n1X1,
n1n2−1
S2n2X2
n1n2n1n2−1
umum
证明：
（1）
Sum1Sum2
X
n1n2
n
n1X1n2X2
n1n2
∑
n
∑（X1
−）2（
XX2i
−）2
X
21i1
ii
S−1
（2）n1n2
nn
∑（−−
）2∑（
−−）2
X1X1
X1XX2iX2X2X
1i1
ii
2
n1n2−1
n
又∑（
1−11−）
i
i1X
n
XXX
∑⎡2
2
2⎤
X
⎣
i1
1−1
X
i
X1−X
2
X1−XX1i−X1⎦
n
（−
）2
−0
i
∑1111
i1X
XnXX
n1
−12
S1
2
X
n1X1−
n
同理∑（
2
2
2−22−）
i
i1
XXXX
n2
−12
X
S2n2
X2−
2
而n1X1−X
n2
2
X2−X
2−2
2
2−2
2
n1X1
X1XXn2X2
X2XX
2−2
22−2
2
n1X1
n1X1Xn1Xn2X2
n2X2Xn2X
又n1X1n2X2
X
n1n2
2
2
211122
2121122
∴−
n1XnXnX
⋅
nXnX
−nXnXnX
2
111222
nXn1n2
nnn1n2nX
n1n2
化简得
n1n2
2
X1−X2
n1n2
−1
2
−12
−2
S
∴2n1S1n2S2
n1n2X1X2
n1n2−1
n1n2n1n2−1
（
6设随机变量X,Y,Z相互独立，都服从标准正态分布N.0,1）,求随机变量函数
22
2的分布函数与概率密度；并验证§定理1当
=3时成立，即U～
UXYZk
23
解：
X,Y,Z相互独立且都服从N（0,1）,则U～
23显然
3
⎧1−1−u
⎪
3
220
P2
⎪22
⎛3⎞Ueu
fUu
⎨⎜⎟
⎪⎝⎠
⎪⎩o,
u≤0
不然，直接求U的分布函数
222
PU≤u
PX
YZ≤u
∫∫∫
f,y,z
dydz
xdx
xyz≤u
∫∫∫
xyz≤u
fxfyfzdxdydz
当≤0,
u
≤0
P
u
U
3
−y
当0,
≤
⎛1⎞x2z
uPUu
∫∫∫
⎜⎟edxdydz
2
xyz≤u⎝⎠
利用三重积分的性质（略）也可得到结论。
7.设随机变量
X
服从自由度为的
kt
分布，证明：
随机变量
YX
2服从自由度为（1，k）
的分布。
F
t
证明：
X～k,则可将X记为XU,其
V
k
中～N（0,1）,V～2
U
k
2
2U
则2U1,
VV
kk
其中2～
U
21，V～
2
k
由F分布的定义知Y2
=
（1,k）.
～F
1
8.设随机变量X服从自由度为k1,
k2的F分布，证明：
随机变量Y服从自由度为
X
k1,
k2的F分布；从而证明等式（）：
1
F1k1,
k2
−
Fk2,k1
证明：
X～Fk1,
U
1
k2,则X可写成k,其中
∼2
1,
2
∼2,
VUk
k2
Vk
V
1k2其中
1
∼2，
2
∼2
，由F分布定义知
YXU
k1
Uk
Vk
Y∼Fk2,
k1
PXF1k1,
k21
⎠
−−
⎛11⎞
⎜⎟1−
P⎜
⎝XF1−
k1,
k2⎟
⎛11⎞
∴⎜⎟1−（1−）
P⎜
XF1−
k1,
k2⎟
⎝⎠
⎛⎞
1
∴⎜⎟,又
P⎜Y
⎟
PYFk2,
k1
⎝F1−
k1,k2⎠
∴1
Fk2,
k1
F
k
k
1−1,2
1
−
即
F1k1,
k2＝
Fk2,k1
9.设总体X服从正态分布N
52
（1）从总体中抽取容量为64的样本，求样本均值与总体均值之差的绝对值小于1
X
P
的概率X−
1;
P
（2）抽取样本容量n多大时，才能使概率X−
−
1达到
解：
（1）
∵X∼N0,1
n
∴PX−
1P−1X−1
⎛⎞
⎜−1
P⎜5
−1⎟
X55⎟
⎜⎟
⎜646464⎟
⎝⎠
⎛8⎞−⎛−8⎞2⎛8⎞−1
⎜5⎟⎜
5⎟⎜5⎟
（2）
PX−
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
2−1
1P−1X−1
⎛⎞
⎜−−⎟
P⎜nXn⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝n⎠
⎛⎞
2⎜n⎟−1
⎝⎠
⎛⎞
∴⎜n⎟
⎝5⎠
∴n
5
n
n96
10.从正态总体N
中抽取容量为10的样本
X1,
X2…,
，
X10
∑X
10
（1）已知0，求2
1i
i
≥4的概率。
10
（2）未知，求∑（
−2的概率。
2
i
i1XX
⎛10
⎞⎛1101⎞
解：
（1）
⎜∑2≥4
⎟⎜2∑
≥2⋅4⎟
P⎝1Xi
⎠P⎝
1Xi
⎠
ii
1
10
2
又∑X∼
210
（P133，定理3）
i
1
i
∴原式＝
P
210≥16
⎛10
⎞⎛1101⎞
（2）
⎜∑（
−）2
⎟⎜2∑（
−）2
2⎟
P⎝1Xi
i
110
X⎠P⎝
iX
X
i1
⎠
X
又2∑（
−）2∼
29
（定理4P133）
iX
i1
∴原式＝P
291−
P
29
1−
11.设总体
X∼N
50,62，总体
Y∼N
46,42，从总体X中抽取容量为10的样本，
从总体Y中抽取容量为8的样本，求下列概率：
S2
⎛2⎞
（1）
P0X−Y8
（2）
x
P⎜⎟
⎝Sy⎠
解：
（1）P0X−Y8P0−50−46X−Y−50−468−50−46
⎛⎞
⎜⎟
⎜0−50−46
P⎜
X−Y−50−46
8−50−46⎟
⎟
6242
6242
6242
⎜⎟
⎝108108108⎠
有136定理6知，
X−50−46
∼N0,1
6242
108
∴原式＝
⎛⎞
⎜X−Y−−⎟
⎜⎟
−450464
P⎜
6242
⎟
⎜
⎝
2⎛4
⎟
108⎠
−1
⎜⎟
⎝⎠
⎛2⎞
2
⎛2⎞
⎜Sx
62
42⎟
（2）
P⎜Sx
⎟P⎜
⎟
⎜
⎟
262
⎠
⎝Sy⎜y⎟
S
⎝42⎠
2
Sx
2
2
又由P139，6∼
Sy
42
F10−1,8−1
∴原式F9,7
1−F9,71−
12.设总体
∼,
2，抽取样本
…,
，样本均值为，样本方差为
2。
若
XN
X1XnXS
再抽取一个样本
X
，证明：
1
n
统计量
=nXn1−X∼
1
tn
−1
与相互独立。
XXn1
nS
证明：
∼,
2,∼
⎛2
⎝
,
∼⎛,
12⎞
Xn1
N
XN⎜
⎟Xn1
n⎠
XN⎜o
n⎟
⎝
n⎠
n
n
⋅
X1−X⋅1
n
n⋅n
n
nX1−X
n11
n1
SnS
Xn1−XXn1−X
n
n
11
⋅⋅
＝Xn1−X⋅nn
1S
212
n⋅
Sn−S
2
n
−1
n
−−12
2
P
∴分子Xn1X∼
1N
0,1,
nS2
∼
2
n−1133Th4
n⋅
n
∴nXn1−X∼
1
tn
−1
nS
13.设总体
X∼N
8,22，抽取样本
X1,
X2,…,
X10
，求下列概率：
P⎣⎦
（1）
⎡maxX1,X2,…,X1010⎤
⎣⎦
（2）P⎡minX1,X2,…,X10≤5⎤
P
解：
（1）
⎡maxX1,X2,…,X1010⎤＝1－P⎡maxX1,X2,…,X1010⎤
⎣⎦⎣⎦
1−PX110,X210,…,X1010
1−PX110PX210…PX1010
10
）
1−⎡
（X1−810−8⎤
⎢⎣P
22⎥⎦
1−⎡110
⎣⎤⎦
1−10
⎣⎦⎣⎦
（2）P⎡minX1,X2,…,X10≤5⎤1−P⎡minX1,X2,…,X105⎤
1−PX15,X25,…,X105
1−
P⎡⎣1−
PX1
5⎤10
⎦
10
）
1
1−⎡−
（X1−85−8⎤
⎢P22⎥
⎣⎦
1−⎡1−−10
⎣⎤⎦
1−10
n
14.设总体X服从泊松分布P，抽取样本X1,…,X
（1）样本均值X的期望与方差；
（2）样本均值X的概率分布。
，求：
1∑n
∑n
1∑n
解：
（1）
Xi
ni1
XXi
1
ni1
ni1
X1n1
DX2∑DXi2⋅n
ni1nn
（2）由泊松分布的可加性有：
YX1X2…Xn
P
∼⋯
�������
个
n
＝
Pn
⎜
⎞
∴Y，则⎛
XPX
y⎟PYy
（n）y
−n
e
y0,1,2,⋯
n⎝n⎠y!
n
15.设总体X服从指数分布e，抽取样本X1,…,X
（1）样本均值X的期望与方差；
，求：
（2）样本方差
2的数学期望。
S
解：
（1）
1
XXi
11
DX2
nn
（2）
2⎡1
⎢
S⎣n−1
n
∑
i1
（Xi
2⎤
⎥
−）
X⎦
⎢
⎡1（n
⎤
）
⎥
22
⎣n−1
∑Xi
i1
nX⎦
1
n−1
⎡n
⎢
∑
⎣1
i
2−2
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