全国卷 高二数学 第08讲 导数的概念与运算.docx

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全国卷高二数学第08讲导数的概念与运算

第08讲导数的概念与运算

导数的引入

我们在必修一的时候学习了函数单调性的知识，可以从变化趋势来研究函数．比如增函数就是越来越大的，减函数就是越来越小的．我们知道了函数的增和减之后，自然引出的问题就是增和减的速度．就好比我们还是婴儿的时候，最开始掌握的运动方式是爬，开始是练习向前爬和向后爬，能掌握方向了之后，就要开始关注爬的速度．有些社区还会组织婴儿爬行比赛．回到函数的角度，我们原始的函数定义解决的是“在哪里”的问题（代入坐标求解），必修一的《函数单调性》这一节中我们初步解决了“往哪走”的问题．现在我们要研究的就是在大概知道“往哪走”的前提之下，解决具体“怎么走”“走多快”的问题．为了研究此类问题，聪明的人类引入了导数的概念．在介绍导数之前，我们先来了解一个简单概念：

平均变化率．

１．函数的平均变化率：

一般地，已知函数，，是其定义域内不同的两点，记，

，

则当时，商称作函数在区间（或）上的平均变化率．

【教师备案】讲变化率的时候可以和速度结合到一起，比如小车问题（课件中有图）

有一个小车在忽忽悠悠的往前开，我们每隔1秒钟拍一张照片，就可以得到如下的图：

时：

这时计算平均速度就可以用位移差除以时间差，这其实也是速度的定义：

速度就是位移的变化率．那么平均速度也就是位移的平均变化率．我们也可以把时间间隔变成秒，就会变成下图：

时：

比如我们要计算1到秒间的平均速度，也需要用位移差．

如果我们排除位移、速度这样的具体物理概念，只研究“变化“这件事的话，我们就可以得到更广泛的平均变化率的概念．建议老师可以换一个例子，比如从圆的面积随半径的变化率入手．

很自然的我们可以知道圆面积随半径的平均变化率是

我们很容易发现，在半径均匀变化的时候，圆面积随半径的平均变化率并不是均匀的，而是越变越快．这个现象在生活中有很实际的例子，比如我们去买蛋糕的时候，六寸、九寸、十二寸的蛋糕价格并不是均匀增长的，从九寸到十二寸的价格增长一定比从六寸到九寸的价格增长大．

平均变化率有本身的缺陷，比如小车问题中，我们看到从到的平均速度是，但是我们并不能说这一段时间每一个时刻的速度都是．蛋糕问题也是一样的，比如我们有一个神奇的蛋糕，会越变越大，原来是六寸的，一段时间后涨到了七寸，然后出现一个神奇的小狗，把新出来的宽为一寸“蛋糕环”吃了，最后剩下的还是一个六寸的蛋糕．那么这段时间蛋糕大小的平均变化率应该是，从这个角度讲是蛋糕没变的，但实际过程中有很复杂的变化．平均变化率在刻画此类问题的时候显得不够精确了．

还有很多的例子，比如有一个人投资股票，一开始投入了块钱，一年之后收回块钱，那么这一年中的平均变化率就是，但是这一年中肯定有起伏的变化．老师可以选取自己比较擅长的例子进行讲解

产生这个问题的重要原因是平均变化率只能刻画一个上的平均情况，只考虑起点和终点两个时刻的状态，而对于中间状态没有刻画（这里的可以指时间，也可以指刚才提过的半径变化）．而当我们精确处理每一个瞬间变化情况的时候，自然的想法就是让无限的小．此时得出的变化率就是瞬时变化率．

我们可以重新看刚才举的例子，比如小车的问题，当时间间隔无限小的时候，得到的结果就是瞬时速度．圆的例子也是一样的，圆的面积随半径的平均变化率是，当趋向于零的时候，瞬时变化率也就变成了．这样我们就可以从平均变化率的问题引入到瞬时变化率的问题

【教师备案】教师可以由前两个小车问题讲解平均变化率，在学生理解什么是平均变化率后，让学生做例1⑴．尖

子班学案1也是平均变化率的问题，老师也可以选择性的让学生做做．建议老师在让学生计算平均变化率之前多举

一些简单的例子，可以参考铺垫题中使用具体的某个数来计算平均变化率，然后再让学生去做用解平均变化率的

题．对于学生来说，一个比较合理的学习顺序是这样的：

最后我们加入的易错门诊，强调的是导数的定义．然后就可以进入第二板块：

导数的运算了．

2．函数的瞬时变化率、函数的导数：

设函数在附近有定义，当自变量在附近改变量为时，函数值相应的改变．

如果当趋近于时，平均变化率趋近于一个常数，那么常数称为函数在点的瞬时变化率．

“当趋近于零时，趋近于常数”可以用符号“”记作：

“当时，”，或记作“”，符号“”读作“趋近于”．

函数在的瞬时变化率，通常称为在处的导数，并记作．

这时又称在处是可导的．于是上述变化过程，可以记作

“当时，”或“”．

考点1：

导数的定义

【铺垫】求下列函数在区间和上的平均变化率

①②

【解析】

①在区间上的平均变化率为；在区间上的平均变化率为；

②在区间上的平均变化率为；

在区间上的平均变化率为；

【总结】可以让学生感受一下函数变化快慢，比如从上题的结果来看，在相同的时间内一次函数的变化是一直不变

的；二次函数的变化是越来越快的．

【教师备案】教师可以先讲铺垫，根据铺垫让学生从具体的区间体会函数的平均变化率，再由具体的区间引申出一

般区间的平均变化率，然后讲例1⑴．

【例1】平均变化率与瞬时变化率

⑴求下列函数在区间上的平均变化率．

①②③④⑤

⑵求下列函数分别在，和处的瞬时变化率．

①②③④⑤

【追问】从瞬时变化率角度分析每个函数的整体变化趋势，我们可以很明显的看出对于一次函数，二次函数，三次函数来说，次数越高，往后变化越快．

【教师备案】求例1⑵的瞬时变化率时，前三个是让学生体会简单函数的瞬时变化率，老师可以重点讲前三个，然后让学生自己体会后两个；如果学生的程度特别特别好，可以求下面两个函数在处的瞬时变化率

⑥⑦

【解析】⑴①；②；③；④；

⑤.

⑵①在处的瞬时变化率为；在处的瞬时变化率为；在处的瞬时变化率为．

②在处的瞬时变化率为；在处的瞬时变化率为；在处的瞬时变化率为．

③在处的瞬时变化率为；在处的瞬时变化率为；在处的瞬时变化率为．

④在处的瞬时变化率为；在处的瞬时变化率为；在处的瞬时变化率为．

⑤在处的瞬时变化率为；在处的瞬时变化率为；在处的瞬时变化率为．

【总结】由例1⑵看出一次函数的增长速度不变，二次函数三次函数的增长速度越来越快，也是在增长的，只

不过增长速度越来越慢．

【教师备案】⑥⑦只求在处的瞬时变化率，解析为：

⑥

，

在处的瞬时变化率为

⑦，在处的瞬时变化率为

．

【教师备案】⑥⑦的解析用到了的思想：

证明：

【解析】为偶函数，只考虑的情形，

，从图上直接读出；容易证明；

于是由夹逼定理，于是．（这个证明过程是不严格的，只从对极限的直观上作个说明）

提高班学案1

【拓1】求函数在上附近的平均变化率，在处的瞬时变化率与导数．

【解析】函数在上附近的平均变化率为：

，

在处的瞬时变化率与导数相等，为．

尖子班学案1

【拓2】已知，且在区间上的平均变化率是，则＿＿＿＿．

【解析】

【总结】一次函数的平均变化率就是斜率．

目标班学案1

【拓3】质点按规律作直线运动，若质点在时的瞬时速度为，求的值．

【解析】

若在处可导，则（）．

A．B．C．D．0

【分析】此题很容易出错．教师可以引导学生根据导数的定义来求解，从而加深学生对导数定义的真正理解，原来的是，跟是一回事，所以这里用给学生讲更直观，建议板书：

【解析】

【教师备案】在讲完易错门诊后，学生对导数的定义可能还有一些模糊，这时老师可以选择下面的４道小题让学生做做，让学生把导数的定义理解透彻．

⑴若函数在区间内可导且，则的值为（）

A．B．C．D．0

⑵设，则（）

A．B．C．D．

⑶若，则等于（）

A．B．C．D．

⑷设在可导，则等于（）

A．B．C．D．

【解析】⑴C⑵⑶⑷

现在我们要做的是从某一个点处的导数向一个函数的导数过渡．

延续我们刚才的学习顺序：

关于求导公式：

常见的求导公式我们可能并不会推导，但是建议和学生提及一下推导的要点，并说明这个推导并不是高中知识范畴之内的．这样可以让学生比较信服，也可以和学生强调公式是前人推导出来给我们做题用的．

1．可导与导函数：

如果在开区间内每一点都是可导的，则称在区间可导．这样，对开区间内每个值，都对应一个确定的导数．于是，在区间内，构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数的导函数．记为或（或）．

导函数通常简称为导数．如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数．

2．常用函数的导数推导．

【教师备案】常用函数的推导过程如下：

；；

；

；

．

3．基本初等函数的导数公式

⑴若（为常数），则；

⑵若，则；

⑶若，则；特别地，若，则；

⑷若，则；特别地，若，则；

⑸若，则；

⑹若，则．

【教师备案】基本初等函数的推导过程不要求学生掌握，学生只需把导数公式记住就行，老师在讲完

导数公式后可以让学生做例2⑴，本题可以老师带领学生一起做．

4．导数的四则运算法则：

其中都是可导函数，为常数：

；；

；（）．

【教师备案】这里只证一个加法的四则运算设，则

，，即

我们也可以换一种方式来解释这个公式：

基本上所有学生都学过“水上行舟”问题，我们可以把看做是时间，看做是船的位移，看做是水的位移，那么和分别指的就是船和水的瞬时变化率，也就是速度．这样我们的公式也就很好理解了．总的位移，就是总的速度，自然等于右边，也就是船速加水速．

四则运算记忆法则：

①加法的导数等于导数的加法；

②常数与函数之积的导数等于常数乘以函数的导数；

③乘法的导数等于第一个导数乘以第二个第二个导数乘以第一个；

④除法的导数等于分母不动乘以分子导数减去分子不动乘以分母导数，再除以分母平方．

【教师备案】讲完导数的四则运算，可以让学生做例2⑵⑶；例2⑵属于简单函数的四则运算，例2⑶

属于需要先把函数化简，再用四则运算；对于目标班的学生，因为程度比较好，所以可以让学生做做目标班学案2；在例2的后边还有一个【挑战十分钟】，【挑战十分钟】的主要目的是让学生熟练导数的四则运算，可以让学生在规定的时间内做做．

考点2：

导数的运算

【例2】导数的运算

⑴求下列函数的导数

①②③④

⑵求下列函数的导数

①②③④⑤

⑶求下列函数的导数

①②③

【解析】⑴①；②；③；④．

⑵①；②；③；④；⑤

⑶①；②．③．

【挑战十分钟】让学生熟练的掌握求导公式以及导数的运算法则

求下列函数的导数

⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；

⑹；⑺；⑻；⑼；⑽；⑾

⑿；⒀；⒁；⒂；⒃；⒄；

⒅；⒆；⒇．

【解析】⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；

⑹；⑺；⑻；⑼；⑽；⑾；⑿；⒀；⒁；⒂；

⒃；⒄；⒅；⒆；⒇．

提高班学案2

【拓1】设函数，，则．

【解析】

尖子班学案2

【拓2】已知，若，则．

【解析】

【例3引入】导数实际也是一个函数，和原函数密切相关，关于导函数的单调性、奇偶性等等我们会

在春季课上重点介绍．在预习课里我们先介绍一个函数的基本性质．

在函数中我们有这样的结论：

是一个函数，是可以“动”的，而就是一个数，因为自变量已经取

了，他就不能“动”了．所以在函数考察中曾经有过这样的问题：

“，求”，我们的做法很简单，

就是把代入，求出的值即可．解这类题的关键就在于理解其实是一个固定的数．例3就是这类题在

导数中的考察．比如例3

（1）中的表示的就是这个函数在处的导数，这是一个固定的数．这类

题解法的基本过程是：

通过求导把原式转化为一个导函数的等式，然后代入需要求的值．强调这个概念的目的是防

止学生在计算导数的时候把它当做两个函数相乘求导．

【例3】实际是一个数

⑴已知，则______