《离散数学》试题与答案.docx

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《离散数学》试题与答案

一、填空题

1设集合A,B，其中A＝{1,2,3},B={1,2},则A-B＝________{3}____________;ρ（A）-ρ（B）＝_____{{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}}_______.

2.2.设有限集合A,|A|=n,则|ρ（A×A）|=__

3.设集合A={a,b},B={1,2},则从A到B的所有映射是__α1={（a,1）,（b,1）},α2={（a,2）,（b,2）},α3={（a,1）,（b,2）},α4={（a,2）,（b,1）};_,其中双射的是____α3,α4._

4.已知命题公式G＝⌝（P→Q）∧R，则G的主析取范式是______（P∧⌝Q∧R）__________________.

5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为___12_______，分枝点数为_______3_________.

6设A、B为两个集合,A={1,2,4},B={3,4},则从A⋂B＝_______{4}__________________;A⋃B＝_____{1,2,3,4}____________;A－B＝____{1,2}_________________.

3.7.设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是__自反性；对称性；传递性_______________________________.

8.设命题公式G＝⌝（P→（Q∧R）），则使公式G为真的解释有____（1,0,0）________，____（1,0,1）_________,____（1,1,0）______________________.

9.设集合A＝{1,2,3,4},A上的关系R1={（1,4）,（2,3）,（3,2）},R1={（2,1）,（3,2）,（4,3）},则R1∙R2=_{（1,3）,（2,2）,（3,1）}__________,R2∙R1=___{（2,4）,（3,3）,（4,2）}_______,R12=_____{（2,2）,（3,3）}__________________.

4.10.设有限集A,B，|A|=m,|B|=n,则||ρ（A⨯B）|=___2m⨯n_____.

11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A={x|-1≤x≤1,x∈R},B={x|0≤x<2,x∈R},则A-B=_{x|-1≤x<0,x∈R}_______,B-A=__{x|1

A∩B=___{x|0≤x≤1,x∈R}_______________________,.

5.13.设集合A＝{2,3,4,5,6}，R是A上的整除，则R以集合形式（列举法）记为__{（2,2）,（2,4）,（2,6）,（3,3）,（3,6）,（4,4）,（5,5）,（6,6）}_____________________________.

6.14.设一阶逻辑公式G=∀xP（x）→∃xQ（x），则G的前束范式是__∃x（⌝P（x）∨Q（x））_.

15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加__21_______条边才能把G变成完全图。

16.设谓词的定义域为{a,b},将表达式∀xR（x）→∃xS（x）中量词消除，写成与之对应的命题公式是____（R（a）∧R（b））→（S（a）∨S（b））_______________________.

17.设集合A＝{1,2,3,4}，A上的二元关系R＝{（1,1）,（1,2）,（2,3）},S＝{（1,3）,（2,3）,（3,2）}。

则R⋅S＝_{（1,3）,（2,2）}_____________________________,

R2＝___{（1,1）,（1,2）,（1,3）}.______________________.

二、选择题

1设集合A={2,{a},3,4}，B={{a},3,4,1}，E为全集，则下列命题正确的是（C）。

（A）{2}∈A（B）{a}⊆A（C）∅⊆{{a}}⊆B⊆E（D）{{a},1,3,4}⊂B.

2设集合A={1,2,3},A上的关系R＝{（1,1）,（2,2）,（2,3）,（3,2）,（3,3）}，则R不具备（D）.

（A）自反性（B）传递性（C）对称性（D）反对称性

3设半序集（A,≤）关系≤的哈斯图如下所示，若A的子集B={2,3,4,5},则元素6为B的（B）。

（A）下界（B）上界（C）最小上界（D）以上答案都不对

4下列语句中，（B）是命题。

（A）请把门关上（B）地球外的星球上也有人

（C）x+5>6（D）下午有会吗？

5设I是如下一个解释：

D＝{a,b},

则在解释I下取真值为1的公式是（D）.

（A）∃x∀yP（x,y）（B）∀x∀yP（x,y）（C）∀xP（x,x）（D）∀x∃yP（x,y）.

6.若供选择答案中的数值表示一个简单图中各个顶点的度，能画出图的是（C）.

（A）（1,2,2,3,4,5）（B）（1,2,3,4,5,5）（C）（1,1,1,2,3）（D）（2,3,3,4,5,6）.

7.设G、H是一阶逻辑公式，P是一个谓词，G＝∃xP（x）,H＝∀xP（x）,则一阶逻辑公式G→H是（C）.

（A）恒真的（B）恒假的（C）可满足的（D）前束范式.

8设命题公式G＝⌝（P→Q），H＝P→（Q→⌝P），则G与H的关系是（A）。

（A）G⇒H（B）H⇒G（C）G＝H（D）以上都不是.

9设A,B为集合，当（D）时A－B＝B.

（A）A＝B（B）A⊆B（C）B⊆A（D）A＝B＝∅.

10设集合A={1,2,3,4},A上的关系R＝{（1,1）,（2,3）,（2,4）,（3,4）},则R具有（B）。

（A）自反性（B）传递性（C）对称性（D）以上答案都不对

11下列关于集合的表示中正确的为（B）。

（A）{a}∈{a,b,c}（B）{a}⊆{a,b,c}（C）∅∈{a,b,c}（D）{a,b}∈{a,b,c}

12命题∀xG（x）取真值1的充分必要条件是（）.

（A）对任意x，G（x）都取真值1.（B）有一个x0，使G（x0）取真值1.

（C）有某些x，使G（x0）取真值1.（D）以上答案都不对.

13.设G是连通平面图，有5个顶点，6个面，则G的边数是（A）.

（A）9条（B）5条（C）6条（D）11条.

14.设G是5个顶点的完全图，则从G中删去（A）条边可以得到树.

（A）6（B）5（C）10（D）4.

15.设图G的相邻矩阵为，则G的顶点数与边数分别为（D）.

（A）4,5（B）5,6（C）4,10（D）5,8.

三、计算证明题

1.设集合A＝{1,2,3,4,6,8,9,12}，R为整除关系。

（1）画出半序集（A,R）的哈斯图；

（2）写出A的子集B={3,6,9,12}的上界，下界，最小上界，最大下界；

（3）写出A的最大元，最小元，极大元，极小元。

（1）

（2）B无上界，也无最小上界。

下界1,3;最大下界是3.

（3）A无最大元，最小元是1，极大元8,12,90+;极小元是1.

2.设集合A＝{1,2,3,4}，A上的关系R＝{（x,y）|x,y∈A且x≥y},求

（1）画出R的关系图；

（2）写出R的关系矩阵.

R={（1,1）,（2,1）,（2,2）,（3,1）,（3,2）,（3,3）,（4,1）,（4,2）,（4,3）,（4,4）}.

（1）

（2）

3.设R是实数集合，σ,τ,ϕ是R上的三个映射，σ（x）=x+3,τ（x）=2x,ϕ（x）＝x/4,试求复合映射σ•τ，σ•σ,σ•ϕ,ϕ•τ，σ•ϕ•τ.

（1）σ•τ＝σ（τ（x））＝τ（x）+3＝2x+3＝2x+3.

（2）σ•σ＝σ（σ（x））＝σ（x）+3＝（x+3）+3＝x+6,

（3）σ•ϕ＝σ（ϕ（x））＝ϕ（x）+3＝x/4+3,

（4）ϕ•τ＝ϕ（τ（x））＝τ（x）/4＝2x/4=x/2,

（5）σ•ϕ•τ＝σ•（ϕ•τ）＝ϕ•τ+3＝2x/4+3＝x/2+3.

4.设I是如下一个解释：

D={2,3},

a

b

f

（2）

f（3）

P（2,2）

P（2,3）

P（3,2）

P（3,3）

3

2

3

2

0

0

1

1

试求

（1）P（a,f（a））∧P（b,f（b））;

（2）∀x∃yP（y,x）.

（1）P（a,f（a））∧P（b,f（b））=P（3,f（3））∧P（2,f

（2））

=P（3,2）∧P（2,3）

=1∧0

=0.

（2）∀x∃yP（y,x）=∀x（P（2,x）∨P（3,x））

=（P（2,2）∨P（3,2））∧（P（2,3）∨P（3,3））

=（0∨1）∧（0∨1）

=1∧1

=1.

5.设集合A＝{1,2,4,6,8,12}，R为A上整除关系。

（1）画出半序集（A,R）的哈斯图；

（2）写出A的最大元，最小元，极大元，极小元；

（3）写出A的子集B={4,6,8,12}的上界，下界，最小上界，最大下界.

1）

（2）无最大元，最小元1，极大元8,12;极小元是1.

（3）B无上界，无最小上界。

下界1,2;最大下界2.

6.设命题公式G=⌝（P→Q）∨（Q∧（⌝P→R））,求G的主析取范式。

G=⌝（P→Q）∨（Q∧（⌝P→R））

=⌝（⌝P∨Q）∨（Q∧（P∨R））

=（P∧⌝Q）∨（Q∧（P∨R））

=（P∧⌝Q）∨（Q∧P）∨（Q∧R）

=（P∧⌝Q∧R）∨（P∧⌝Q∧⌝R）∨（P∧Q∧R）∨（P∧Q∧⌝R）∨（P∧Q∧R）∨（⌝P∧Q∧R）

=（P∧⌝Q∧R）∨（P∧⌝Q∧⌝R）∨（P∧Q∧R）∨（P∧Q∧⌝R）∨（⌝P∧Q∧R）

=m3∨m4∨m5∨m6∨m7=∑（3,4,5,6,7）.

7.（9分）设一阶逻辑公式：

G=（∀xP（x）∨∃yQ（y））→∀xR（x），把G化成前束范式.

G=（∀xP（x）∨∃yQ（y））→∀xR（x）

=⌝（∀xP（x）∨∃yQ（y））∨∀xR（x）

=（⌝∀xP（x）∧⌝∃yQ（y））∨∀xR（x）

=（∃x⌝P（x）∧∀y⌝Q（y））∨∀zR（z）

=∃x∀y∀z（（⌝P（x）∧⌝Q（y））∨R（z））

9.设R是集合A={a,b,c,d}.R是A上的二元关系,R={（a,b）,（b,a）,（b,c）,（c,d）},

（1）求出r（R）,s（R）,t（R）；

（2）画出r（R）,s（R）,t（R）的关系图.

（1）r（R）＝R∪IA＝{（a,b）,（b,a）,（b,c）,（c,d）,（a,a）,（