上海工程技术大学概率论第一章标准答案.docx
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上海工程技术大学概率论第一章标准答案
上海工程技术大学概率论第一章答案
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习题一
2.设A,B为随机事件，且P（A）=0.7,P（A_B）=0.3，求P（AB..解：
P（AB）
=1_P（AB）=1-[P（A）_P（A_B）]
=1—[0.7-0.3]=0.6。
3.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，
P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率。
解：
因为ABCAB^以0乞P（ABC）乞P（AB），又P（AB）=0，则P（ABC）=0,
P（AUBUC）
=P（A）+P（B）+P（C）—P（AB）—P（BC）—P（AC）+P（ABC）11113
=—+—+=—。
443124
4•将3个不同的球随机地放入4个杯子中去，求所有杯中球的最大个数分别为1,2,3的
概率。
解：
设A=｛杯中球的最大个数为i｝,i=1,2,3。
将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有43种，杯中球的最大个数为1时，每个杯
中最多放一球，故
P（A）=竽
438
而杯中球的最大个数为3,
即三个球全放入一个杯中，故卩（人）二密-，因此
4316
P（A戶j（"P（3A潟2—16或P（aw警嗥
6.从1,2,3,4,5,6,7,8,9,0这10个数字中任取五个数按先后顺序组成多位数，求下列事件的概率：
（1）这五个数字组成一个五位偶数；
（2）2和3都被抽到且靠在一起
59876—487641
解
（1）P5
A90
/c、C4X2P<^<^<64
（2）P45
A045
7.对一个五人学习小组考虑生日'可题：
（1）求五个人的生日都在星期日的概率；
（2）求五个人的生日都不在星期日的概率;
（3）求五个人的生日不都在星期日的概率.
解：
基本事件总数为75,
（1）设A1=｛五个人的生日都在星期日｝，所求事件包含基本事件的个数为1个，故
p（A1）=*=g）5；
（2）设A2=｛五个人生日都不在星期日
p（a）=65=（7）5；
（3）设A3=｛五个人的生日不都在星期日
｝，所求事件包含样本点的个数为
65,故
P（A）=1_P（Ai）=i—
｝，利用对立事件的性质，可得
A
（1）
P（BA）
P（AB）
P（A）
0.1
05
=0.2，
所以
201910
302928
0.16.
&某地某天下雪的概率为0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1，求:
（1）在下雨条件下下雪的概率；
（2）这天下雨或下雪的概率。
解：
设A=｛下雨｝，B=｛下雪｝。
（2）p（AUB）=P（A）P（B）-P（AB）=0.30.5-0.1=0.7。
9.设A,B为随机事件，且P（B）>0,P（A|B）=1，试比较P（AUB）与P（A）的大小。
解：
由加法公式，P（AUB）=P（A）•P（B）-P（AB），再根据乘法定理，有
P（AB）二P（B）P（AB）二P（B）
P（AUB）=P（A）P（B）-P（B）=P（A）。
10.袋中有红球和白球共30个，其中白球有10个。
每次从袋中任取一球不放回，求第三次
才取到白球的概率。
11.一盒子中装有10个零件，其中8只是正品，2只是次品，从中抽取两次，每次任取一只不放回，求：
（1）两次都取得正品的概率；
（2）第一次取得次品，第二次取得正品的概率；
（3）一次取得次品，另一次取得正品的概率；（4）第二次取得正品的概率.
（1）
8
7
=28
或
=28
P
X—
P
10
9
45
C0
45
（2）
8
2
=_8_
PP
X—
10
9
45
（3）
P
8
2
2
8
16.
P3二
16
r8228门“
X—
+-
X—
=或
2=
P0.36
10
9
10
9
45
C10
45
107
（4）
8
7
2
8
P
X—
+-
X-
=0.8.
10
9
10
9
解
12.某种动物由出生活到30岁的概率为0.9,活到40岁的概率为0.5.问现年30岁的这种动
物活到40岁的概率是多少？
设A=｛活到30岁｝,B=｛活到40岁｝，则
13.某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率
为0.02,—个次品被误认为是合格品的概率为0.05，求
（1）一产品检查为合格品的概率
（2）在被检查后认为是合格品的产品确实是合格品的概率。
解：
设A=｛产品确为合格品｝,B=｛产品被认为是合格品｝
（1）由全概率公式得
P（B）=P（A）P（BA）+P（A）P（B0）=0.96父0.98+0.04汉0.05=0.9428
（2）由贝叶斯公式得
P（AB）=氏BU一P（A）P（BA），一
P（B）P（A）P（B|A）+P（A）P（BA）
0.96x0.98
0.960.980.040.05
14.甲、乙、丙三厂生产同一型号产品，设三个厂生产的产品的次品率分别是
0.1，他们的产品的数量比为5:
3:
2。
现随机抽取一件该型号的产品，
（1）求该产品为次品
的概率；
（2）现知所取产品是次品，求该次品是乙厂生产的概率。
解：
设A=｛该产品为次品｝,B1=｛该产品是甲厂生产｝,B2=｛该产品是乙厂生产｝,B3=｛该产品是丙三厂生产｝，则由全概率公式得
（1）P（A）=P（BJP（A|B1）P（B2）P（A|B2）P（B3）P（A|B3）
50.3©0.2—0.123
101010100
P（B2）P（A|B2）
P（B）P（A|B1）P（B2）P（A|B2）P（B3）P（A|B3）
100
15•某保险公司把被保险人分为三类：
“谨慎的”，“一般的”，“冒失的”.统计资料
表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30;如果“谨慎的”被
保险人占20%“一般的”占50%“冒失的”占30%试求
（1）—年内被保险人出事故的概率；
（2）现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？
解：
设A=｛该客户是“谨慎的”｝,B=｛该客户是“一般的”｝,C=｛该客户是“冒失的”｝,
D=｛该客户在一年内出了事故｝，则由全概率公式得
（1）P（A）=P（A）P（D|A）P（B）P（D|B）P（C）P（D|C）
=0.20.050.50.150.30.3=
（2）由贝叶斯公式得
P（D）P（A）P（D|A）P（B）P（D|B）P（C）P（D|C）
0.20.052
0.20.050.50.150.30.^35
111
16•三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为-,-,丄，求将此密码破译出
的概率。
解设Ai=｛第i人能破译｝（i=1,2,3），则密码被破译的概率为
P（UA）-P（A^A2Ab^^P（^）P（A2）P（a3）
17.甲，乙，丙三人向同一目标各射击一次，命中率分别为0.4,0.5和0.6,是否命中，相互
独立，求下列概率：
（1）恰好命中一次,
（2）至少命中一次。
解：
（1）设恰好命中一次为A事件，则
P（A）=0.40.50.40.60.50.40.60.50.6=0.38
（2）设至少命中一次为B事件，则
P（B）=1-P（B）=1-0.60.50.4=0.88
19.掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止
（1）问正好在第6次停止的概率；
（2）问正好在第6次停止的情况下，第5次也是出现正面的概率
20.设每次射击的命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概
率不小于0.9?
解：
设必须进行n次独立射击，则至少击中一次的概率为1-0.8n，由题意
1-0.8n-0.9
即为（0.8）n兰0.1，故n>log0.80.1,n》10.3,，即至少必须进行11次独立射击.
21.为了提高抗菌素生产的产量和质量，需要对生产菌种进行诱变处理，然后从一大批经过
处理的变异菌株中抽取一小部分来培养、测定，从中找出优良的菌株.如果某菌种的优良变
异率为0.03，试问从一大批经诱变处理的菌株中，采取多少只来培养、测定，才能以95%的
把握从中至少可以选到一只优良菌株？
解设采取n只来培养满足条件，则该问题是一个n重贝努利概型，利用对立事件的概率求解较简单，即
=1—C»O.O30".97n30.95,即n>logo.9y0.05,解得n兰98.35,
即至少培养99只菌株才能以95%的把握从中至少可以选到一只优良菌株.
22.某仪器有三个独立工作的元件，损坏的概率都是0.1,当一个元件损坏时，机器发生故
障的概率是0.25，当两个元件损坏时，机器发生故障的概率是0.6，三个元件全损坏时，机
器发生故障的概率是0.95，求仪器发生故障的概率.
解设A=｛机器发生故障｝,Bi珂i个元件损坏｝，则由全概率公式，
3
P（A）»P（A|BJP（BJ,
i-0
其中，P（Bi）用3重贝努利概型求解，所以
P（A）=0.25xC3><0.1X0.92+0.6XC；x0.12x0.9+0.95xC3><0.13=0.0779.
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