辽宁省大连市经济技术开发区得胜高中学年高.docx

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辽宁省大连市经济技术开发区得胜高中学年高

2016-2017学年辽宁省大连市经济技术开发区得胜高中高二（下）期中数学试卷（理科）

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．可导函数在闭区间的最大值必在（　　）

A．取得极值点B．导数为0的点

C．极值点或区间端点D．区间端点

2．双曲线x2﹣y2=3的渐近线方程为（　　）

A．y=±xB．y=±3xC．y=±xD．y=±x

3．下列求导运算正确的是（　　）

A．（x）′=1B．（x2cosx）′=﹣2xsinx

C．（3x）′=3xlog3eD．（log2x）′=

4．已知椭圆+=1上一点M到椭圆的一个焦点的距离等于4，那么点M到另一个焦点的距离等于（　　）

A．1B．3C．6D．10

5．曲线y=在点（1，1）处的切线方程为（　　）

A．x﹣y﹣2=0B．x+y﹣2=0C．x+4y﹣5=0D．x﹣4y﹣5=0

6．如图所示，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，若=，=，=，则下列向量中与相等的向量是（　　）

A．﹣++B．﹣+C．++D．+﹣

7．设曲线在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（　　）

A．2B．C．D．﹣2

8．已知f（x）=x2+2xf′

（1），则f′（0）等于（　　）

A．0B．﹣4C．﹣2D．2

9．在如图所示的空间直角坐标系中，正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为2，E为正方体的棱AA1的中点，F为棱AB上的一点，且∠C1EF=90°，则点F的坐标为（　　）

A．（2，，0）B．（2，，0）C．（2，，0）D．（2，，0）

10．设抛物线y2=8x上一点P到y轴距离是6，则点p到该抛物线焦点的距离是（　　）

A．12B．8C．6D．4

11．已知F1，F2是双曲线E：

﹣=1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=，则E的离心率为（　　）

A．B．C．D．2

12．已知f（x）为R上的可导函数，且对任意x∈R，均有f（x）＞f′（x），则以下说法正确的是（　　）

A．e2017f（﹣2017）＜f（0），f

B．e2017f（﹣2017）＜f（0），f

C．e2017f（﹣2017）＞f（0），f

D．e2017f（﹣2017）＞f（0），f

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）

13．若向量，，，满足条件，则x=　　．

14．若函数f（x）=在x=1处取极值，则a=　　．

15．已知函数f（x）=﹣x3+ax在区间（﹣1，1）上是增函数，则实数a的取值范围是　　．

16．已知抛物线方程为y2=4x，点Q的坐标为（2，3），P为抛物线上动点，则点P到准线的距离与到点Q的距离之和的最小值为　　．

三、解答题（共6小题，满分70分）

17．已知向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2）．

（Ⅰ）若向量k+与向量2﹣互相平行，求实数k的值；

（Ⅱ）求由向量和向量所确定的平面的单位法向量．

18．已知函数f（x）=x3+2x2﹣4x+5．

（Ⅰ）求f（x）的单调区间；

（Ⅱ）求f（x）在上的最大值和最小值．

19．如图，已知三棱锥O﹣ABC，OA=4，OB=5，OC=3，∠AOB=∠BOC=60°，∠COA=90°，M，N分别是OA，BC的中点，设=a，=b，=c．

（Ⅰ）用a，b，c表示和；

（Ⅱ）求直线MN与直线AC所成的角的余弦值．

20．已知椭圆C：

+=1（a＞b＞0）的离心率为，左焦点为F（﹣1，0），过点D（0，2）且斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）求k的取值范围．

21．设函数f（x）=．

求

（1）函数f（x）的单调区间；

（2）当x＞0时，求证：

ex≥ex．

22．如图，等边△ABC与直角梯形ABDE所在平面垂直，BD∥AE，AE⊥AB，BC=BD=2AE=2，O为AB的中点．

（1）证明：

CO⊥DE；

（2）求二面角C﹣DE﹣A的大小．

2016-2017学年辽宁省大连市经济技术开发区得胜高中高二（下）期中数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．可导函数在闭区间的最大值必在（　　）

A．取得极值点B．导数为0的点

C．极值点或区间端点D．区间端点

【考点】6E：

利用导数求闭区间上函数的最值．

【分析】根据函数在闭区间上单调、有唯一极值、多个极值进行讨论，可得结论．

【解答】解：

可导函数在闭区间上必然连续，

①若函数在闭区间上单调，则函数的最大值在区间端点处取得；

②若函数在闭区间上有唯一极大值，则该极大值即为最大值；若函数在闭区间上有唯一极小值，则最大值在区间端点处取得；

③若函数在闭区间上既有极大值，又有极小值，则对函数的极值、端点处函数值进行大小比较，其中最大者即为最大值；

综上可知，函数在闭区间上的最大值必在极值点或区间端点处取得，

故选：

C．

2．双曲线x2﹣y2=3的渐近线方程为（　　）

A．y=±xB．y=±3xC．y=±xD．y=±x

【考点】KC：

双曲线的简单性质．

【分析】由双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=x，即可得到所求方程．

【解答】解：

双曲线x2﹣y2=3即为=1，

由双曲线=1（a＞0，b＞0）

的渐近线方程为y=x，

则双曲线x2﹣y2=3的渐近线方程为y=±x．

故选A．

3．下列求导运算正确的是（　　）

A．（x）′=1B．（x2cosx）′=﹣2xsinx

C．（3x）′=3xlog3eD．（log2x）′=

【考点】63：

导数的运算．

【分析】根据导数的运算公式和运算法则进行判断即可．

【解答】解：

A．（x+）′=1﹣，∴A错误．

B．（x2cosx）′=﹣2xsinx﹣x2sinx，∴B错误．

C．（3x）′=3xln3，∴C错误．

D．（log2x）′=，正确．

故选：

D．

4．已知椭圆+=1上一点M到椭圆的一个焦点的距离等于4，那么点M到另一个焦点的距离等于（　　）

A．1B．3C．6D．10

【考点】K4：

椭圆的简单性质．

【分析】由椭圆的第一定义即得答案．

【解答】解：

由椭圆的方程知a=5，

由椭圆的第一定义知椭圆上任一点到两焦点的距离之和为2a，

又∵该椭圆上一点M到椭圆的一个焦点的距离等于4，

∴点M到另一个焦点的距离为2×5﹣4=6，

故选：

C．

5．曲线y=在点（1，1）处的切线方程为（　　）

A．x﹣y﹣2=0B．x+y﹣2=0C．x+4y﹣5=0D．x﹣4y﹣5=0

【考点】6H：

利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】求出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程．

【解答】解：

y=的对数为y′==﹣，

可得在点（1，1）处的切线斜率为﹣1，

则所求切线的方程为y﹣1=﹣（x﹣1），

即为x+y﹣2=0．

故选：

B．

6．如图所示，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，若=，=，=，则下列向量中与相等的向量是（　　）

A．﹣++B．﹣+C．++D．+﹣

【考点】M3：

空间向量的加减法．

【分析】利用空间向量的平行四面体法则即可得出．

【解答】解：

=++

=．

故选：

D．

7．设曲线在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（　　）

A．2B．C．D．﹣2

【考点】62：

导数的几何意义．

【分析】

（1）求出已知函数y在点（3，2）处的斜率；

（2）利用两条直线互相垂直，斜率之间的关系k1•k2=﹣1，求出未知数a．

【解答】解：

∵y=∴y′=﹣

∵x=3∴y′=﹣即切线斜率为﹣

∵切线与直线ax+y+1=0垂直

∴直线ax+y+1=0的斜率为﹣a．

∴﹣•（﹣a）=﹣1得a=﹣2

故选D．

8．已知f（x）=x2+2xf′

（1），则f′（0）等于（　　）

A．0B．﹣4C．﹣2D．2

【考点】63：

导数的运算．

【分析】把给出的函数求导得其导函数，在导函数解析式中取x=1可求2f′

（1）的值．

【解答】解：

由f（x）=x2+2xf′

（1），

得：

f′（x）=2x+2f′

（1），

取x=1得：

f′

（1）=2×1+2f′

（1），

所以，f′

（1）=﹣2．

故f′（0）=2f′

（1）=﹣4，

故答案为：

B．

9．在如图所示的空间直角坐标系中，正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为2，E为正方体的棱AA1的中点，F为棱AB上的一点，且∠C1EF=90°，则点F的坐标为（　　）

A．（2，，0）B．（2，，0）C．（2，，0）D．（2，，0）

【考点】JH：

空间中的点的坐标．

【分析】求出对应点的坐标，利用∠C1EF=90°转化为向量垂直关系即可．

【解答】解：

由题意得E（2，0，1），C1（0，2，2），设F（2，y，0），

则=（﹣2，2，1），=（0，y，﹣1），

∵∠C1EF=90°，

∴•=2y﹣1=0，解得y=，

则点F的坐标为（2，，0），

故选：

A

10．设抛物线y2=8x上一点P到y轴距离是6，则点p到该抛物线焦点的距离是（　　）

A．12B．8C．6D．4

【考点】K8：

抛物线的简单性质．

【分析】利用抛物线的定义将P到该抛物线焦点转化为它到准线的距离即可求得答案．

【解答】解：

∵抛物线的方程为y2=8x，设其焦点为F，

∴其准线l的方程为：

x=﹣2，

设点P（x0，y0）到其准线的距离为d，则d=|PF|，

即|PF|=d=x0﹣（﹣2）=x0+2

∵点P到y轴的距离是6，

∴x0=6

∴|PF|=6+2=8．

故选：

B．

11．已知F1，F2是双曲线E：

﹣=1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=，则E的离心率为（　　）

A．B．C．D．2

【考点】KC：

双曲线的简单性质．

【分析】设|MF1|=x，则|MF2|=2a+x，利用勾股定理，求出x=，利用sin∠MF2F1=，求得x=a，可得=a，求出a=b，即可得出结论．

【解答】解：

设|MF1|=x，则|MF2|=2a+x，

∵MF1与x轴垂直，

∴（2a+x）2=x2+4c2，

∴x=

∵sin∠MF2F1=，

∴3x=2a+x，

∴x=a，

∴=a，

∴a=b，

∴c=a，

∴e==．

故选：

A．

12．已知f（x）为R上的可导函数，且对任意x∈R，均有f（x）＞f′（x），则以下说法正确的是（　　）

A．e2017f（﹣2017）＜f（0），f

B．e2017f（﹣2017）＜f（0），f

C．e2017f（﹣2017）＞f（0），f

D．e2017f（﹣2017）＞f（0），f

【考点】63：

导数的运算．

【分析】由题意，首先构造函数F（x）=，对其求导并判断单调性，利用此性质判断﹣2017，0，的函数值大小．

【解答】解：

设F（x）=，

则F'（x）=[]'=，因为f（x）＞f'（x），

所以F'（x）＜0，所以F（x）为减函数，

因为﹣2017＜0，2017＞0，

所以F（﹣2017）＞F（0），F，

即，所以e2017f（﹣2017）＞f（0）；

，即f；

故选C．

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）

13．若向量，，，满足条件，则x=　2　．

【考点】M9：

空间向量运算的坐标表示．

【分析】先求出，再利用空间向量的数量积公式，建立方程，求出x

【解答】