实验四传染病模型微分方程模型.docx
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实验四传染病模型微分方程模型
实验六
实验项目：
传染病模型——微分方程模型实验
实验目的：
1.进一步巩固、加强微分方程模型的建模、求解能力；
2.学习掌握用数学软件包求解微分方程数值解的相关命令。
实验内容：
1.建模实例，传染病问题等；
2.编程求解。
一、模型实例-----传染病模型
•问题:
有一种传染病（如SARS、甲型H1N1）正在流行。
现在希望建立适当的数学模型，利用已经掌握的一些数据资料对该传染病进行有效地研究，以期对其传播蔓延进行必要的控制，减少人民生命财产的损失。
考虑如下的几个问题，建立适当的数学模型，并进行一定的比较分析和评价展望。
•
1、不考虑环境的限制，设单位时间内感染人数的增长率是常数，建立模型求
时刻的感染人数。
•2、假设环境条件下所允许的最大可感染人数为。
单位时间内感染人数的增长率是感染人数的线性函数，最大感染时的增长率为零。
建立模型求时刻
的感染人数。
实验方法与步骤
1、问题分析
a、这是一个涉及传染病传播情况的实际问题，其中涉及传染病感染人数随时间的变化情况及一些初始资料，可通过建立相应的微分方程模型加以解决。
b、问题表述中已给出了各子问题的一些相应的假设。
c、在实际中，感染人数是离散变量，不具有连续可微性，不利于建
立微分方程模型。
但由于短时间内改变的是少数人口，这种变化与整体人口相比是微小的。
因此，为了利用数学工具建立微分方程模型，我们还需要一个基本假设：
感染人数是时间的连续可微函数。
2、问题求解
2.1问题一的解答——模型一
A、模型假设
1）、感染人数是时间的连续可微函数；
2）、单位时间内感染人数的增长率是常数，或单位时间内感染人数的增长量与当时的感染人数成正比。
B、模型构成
设
时刻的感染人数为，初始时刻（）的感染者人数为
，感染者的增长率为
，根据单位时间内感染人数的增长率是常数的假设，
到
时间内感染人数的增量为：
因此，满足如下的微分方程：
C、模型求解：
MATLAB计算求解（介绍完MATLAB求解微分方程数值解的相关命令后再运行）
>>x=dsolve（'Dx-r*x=0','x（0）=x0','t'）
x=
x0*exp（r*t）
即
D、模型分析
由上述解的形式，可以看出，感染人数将随着时间的增长按指数规律无限增长。
特别地，当时间趋向于无穷时，感染人数也将趋向于无穷大。
这显然是不符合现实的，说明该模型不可能用于传染病的长期预报，同时也说明迫切需要对该模型进行必要的修正。
E、改进方向
单位时间内感染人数的增长率不是常数，而是逐渐下降的。
原因：
感染人数增长到一定数量后，环境条件、人口总数等因素将对感染者数量的增长起阻滞作用，且阻滞作用随感染者数量增加而变大。
增长率是感染人数的减函数：
感染者越多，增长率越低。
2．2问题二的解答——模型二
A、模型假设
•
1）、感染人数是时间的连续可微函数；
•2）、感染人数受环境条件的限制，有一个最大的可感染人数。
•3）、单位时间内感染人数的增长率和感染人数有关，是其线性函数，最大感染时对应增长率为零。
B、模型构成
•
仍然设
时刻的感染人数为，初始时刻（）的感染者人数为，感染者人数为0时，感染人数的增长率为。
根据单位时间内感染人数的增长率和感染人数有关，是其线性函数的假设，可得增长率关于感染者人数的线性函数关系式：
•进一步，由最大感染时对应的增长率为零可确定参数k的值为：
•因此，在该模型的假设下，感染人数应满足如下的微分方程：
C、模型求解：
MATLAB计算求解（介绍完MATLAB求解微分方程数值解的相关命令后再运行）
x=dsolve（'Dx-r0*（1-x/xm）*x=0','x（0）=x0','t'）
即
D、模型分析
•a）、根据前述微分方程作出
的曲线图，见图1-1，这是一条抛物线。
由该图可看出感染人数增长率随感染人数的变化规律：
增长率随着感染人数的增加而先增后减，在
时达到最大。
这预示着传染病高潮的到来，是医疗卫生部门关注和需要密切注意的时刻。
因为感染人数增长率在一定程度上代表了医疗卫生水平，增长率越小卫生水平越高。
所以改善保健设施、提高卫生水平可以推迟传染病高潮的到来。
.b）、根据模型求解得到的结果作出
~
曲线，见图1-2，这是一条S型曲线。
由该图可看出感染人数随时间的变化规律：
可以看出，当时间趋于无穷时，趋于
，且对一切
，
。
此性质说明感染者数量不可能达到最大容量，但可无限趋近于最大容量。
二、利用MATLAB求解微分方程数值解的相关命令
1指令函数及调用格式
1.1指令函数：
dsolve
注：
此指令函数用于求解微分方程（组）的符号（解析）解。
1.2单变量常微分方程的调用格式：
f=dsolve（‘eq’,‘cond’,‘v’）
注：
此调用格式用于求符号微分方程的通解或特解，其中eq代表微分方程，cond代表微分方程的初始条件（若缺少，则求微分方程的通解），v为指定自变量（如未指定，系统默认t为自变量）。
1.3常微分方程组的调用格式：
f=dsolve（‘eq1’,‘eq2’,…,‘eqn’,‘cond1’,‘cond2’,…,‘condn’,‘v1’,‘v2’,…,‘vn’）
注：
此调用格式用于求解符号常微分方程组。
其中eq1，…，eqn代表n个微分方程构成的微分方程组；cond1，…，condn代表微分方程组的初始条件（若缺少，则求微分方程组的通解），v1，…，vn为指定自变量（如未指定，系统默认t为自变量）。
1.4记述规定：
MATLAB中，用D（注意：
一定是大写）记述微分方程中函数的导数。
当y是因变量时，用‘Dny’表示‘y的n阶导数’。
如，Dy表示y的一阶导数y'，Dny表示y的n阶导数。
Dy（0）=5表示y'（0）=5。
D3y+D2y+Dy-x+5=0表示微分方程y'''+y''+y'-x+5=0。
2实例演示
例1、求微分方程的通解
命令输入：
>>y=dsolve（'Dy+2*x*y=2*x*exp（-x^2）','x'）
得结果为：
y=
（x^2+C1）*exp（-x^2）
若输入命令：
>>y=dsolve（'Dy+2*x*y=2*x*exp（-x^2）'）
则系统默认t为自变量，而把真正的自变量x当作常数处理，把y当作t的函数，得到错误的结果：
y=
exp（-2*x*t-x*（x-2*t））+exp（-2*x*t）*C1
例2、求微分方程的通解
命令输入：
>>x=dsolve（'4*D2x-20*Dx+25*x=0'）
得结果为：
x=
C1*exp（5/2*t）+C2*exp（5/2*t）*t
%系统默认t为自变量
例3、求微分方程在条件
下的特解。
命令输入：
>>y=dsolve（'D2y+5*Dy-4*y+10=0','y（0）=6','Dy（0）=4','x'）
得结果为：
y=
exp（1/2*（-5+41^（1/2））*x）*（51/164*41^（1/2）+7/4）+exp（-1/2*（5+41^（1/2））*x）*（7/4-51/164*41^（1/2））+5/2
例4、求下述微分方程组的解
命令输入：
>>[xy]=dsolve（'Dx=-3*y','Dy=2*x'）
得结果为：
x=
1/2*6^（1/2）*（C1*cos（6^（1/2）*t）-C2*sin（6^（1/2）*t））
y=
C1*sin（6^（1/2）*t）+C2*cos（6^（1/2）*t）
3上机练习（可选择其中一部分习题）
1、将讲授过的例子中的命令输入MATLAB命令窗口，执行命令，观察输出结果并体会MATLAB在求解微分方程符号解方面的功能。
2、解下列微分方程（组）：
（1）、
（2）、
（3）、
3、求微分方程
在初始条件
下的特解。
4、求微分方程
在初始条件
下的特解。
5、求下列
二阶微分方程的通解。
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