概率论基础复习题及答案.docx
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概率论基础复习题及答案
《概率论基础》本科
填空题（含答案）
1．设随机变量ξ的密度函数为p（x）,则p（x）0;=1；Eξ=。
考查第三章
2．设为三个事件，则至少有一个发生可表示为：
；发生而B不发生可表示；恰有一个发生可表示为：
。
考查第一章
3．设随机变量，其概率密度函数为，分布函数为，则等于，等于0.5。
考查第三章
4．设随机变量ξ具有分布P{ξ}=，1,2,3,4,5，则Eξ=3，Dξ=2。
考查第五章
5．已知随机变量X，Y的相关系数为,若,其中>0.则U，V的相关系数等于。
考查第五章
6．设，用车贝晓夫不等式估计：
考查第五章
7．设随机变量ξ的概率函数为P{ξ=}=则0；=1；Eξ=。
考查第一章
8．设为三个事件，则都发生可表示为：
；A发生而不发生可表示为：
；恰有一个发生可表示为：
。
考查第一章
9．，，则5。
考查第三章
10．设随机变量在[1，6]上服从均匀分布，则方程有实根的概率为。
考查第三章较难
11．若随机变量X，Y的相关系数为21510则U，V的相关系数=。
考查第三章
12．若服从的均匀分布，，则的密度函数＝。
考查第五章
13．设，，若与互不相容，则0.3；若与相互独立，则0.5。
考查第一章
14．将数字1，2，3，4，5写在5张卡片上，任意取出三张排列成三位数，这个数是奇数的概率P（A）=。
考查第一章
15．若，8，1.6，最可能值8。
考查第二、五章
16．设随机变量X的概率密度为，则=6,
=
考查第四、五章
17．任取三线段分别长为且均小于等于a，则可构成一三角形的概率
考查第一章（较难）
18．设随机变量X，Y的相关系数为1，若0.4,则Y与Z的相关系数为1
考查第五章
19．若，3，0.16.
考查第五章
20. 若，16，8.4.
考查第五章
21.某公司有A、B、C三个生产基地生产同一种产品，产量分别占20%，45%和35%．三个基地的产品各有30%，20%，25%在北京市场销售．则该公司任取此产品一件，它可能在销往北京市场的概率为0.2475．
考查第二章
22.为一维连续型随机变量的概率密度函数，则有1；若离散型随机变量具有分布列则1．
考查第三章
23.若是相互独立的随机变量，均服从二项分布，参数为及，则服从参数为参数为的二项分布分布．
考查第四章
24.设随机变量服从参数为和的正态分布,则0;2．
考查第五章
25．设为任意三个事件，则其中至少有两个事件发生应表示为。
考查第一章
27．若二维随机向量（）的联合密度函数
P（）=
则,,,（）=.
考查第五章
28．两人相约7点到8点在某地会面，先到者等另一个人20分钟，过时就可离开，则两人能会面的概率为5/9。
考查第一三章
选择题（含答案）
1.一模一样的铁罐里都装有大量的红球和黑球，其中一罐（取名“甲罐”）内的红球数与黑球数之比为2：
1，另一罐（取名“乙罐”）内的黑球数与红球数之比为2：
1，今任取一罐并从中依次取出50只球，查得其中有30只红球和20只黑球，则该罐为“甲罐”的概率是该罐为“乙罐”的概率的（D）
（A）2倍（B）254倍（C）798倍（D）1024倍
2.在[0,1]线段上随机投掷两点，两点间距离大于0.5的概率为（A）
（A）0.25（B）0.5（C）0.75（D）1
3.设独立随机变量X，Y分别服从标准正态分布，则X+Y服从（C）
（A）N（2,0）（B）自由度为2的分布（C）N（0,2）（D）不能确定
4.设P（）且1，则a为（B）
（A）1（B）（C）（D）
5．下列论述不正确的是（B）
（A）若事件A与B独立则与B独立（B）事件AB不相容则A与B独立
（C）n个事件两两独立不一定相互独立（D）随机变量和独立则二者不相关
6．甲乙两人各投掷n枚硬币，理想状态下甲乙两人掷得正面数相同的概率为（C）
（A）0（B）（C）（D）
7.设独立随机变量X，Y分别服从标准正态分布，则X+Y服从（C）
（A）二项分布（B）分布（C）N（0,2）（D）不能确定
8.对于任意事件与，有（C）。
（A）（B）
（C）（D）
9.在[0,]线段上随机投掷两点，两点间距离大于的概率为（D）
（A）1（B）0.75（C）0.5（D）0.25
10.设P（），其中a为，则（B）
（A）（B）1（C）0.5（D）3
11．下列论述不正确的是（C）
（A）n个事件两两独立不一定相互独立（B）若事件A与B独立则与B独立
（C）事件AB不相容则A与B独立（D）随机变量和独立则二者不相关
12．掷n枚硬币，出现正面的概率为，至少出现一次正面的概率为（A）
（A）（B）（C）1（D）
13.设A，B为两个互斥事件，且P（A）>0，P（B）>0，则下列结论正确的是（C）。
（A）P（）>0,（B）P（）（A）（C）P（）=0（D）P（）（A）P（B）
考查第二章
14.事件A，B相互独立，，P（A）=（D）。
（A）（B）（C）0（D）
15.随机变量服从（D）分布时，。
（A）正态（B）指数
（C）二项（D）泊松（）
16.设，记，则（A）。
（A）对任何实数，都有（B）对任何实数，都有
（C）只对的个别值，才有（D）对任何实数，都有
17．若有十道选择题，每题有A、B、C、D四个答案，只有一个正确答案，求随机作答恰好答对六道的概率为（B）
（A）（B）
（C）（D）
18．某课程考试成绩,已知96分以上占2.3%，则60~84分所占比例为（A）
（已知）
（A）（B）
（C）（D）
19.设独立随机变量X，Y分别服从标准正态分布，则服从（C）
（A）泊松分布（B）分布（C）N（0,2）（D）不能确定
20.对于任意事件，有（A）。
（A）（B）0
（C）1（D）
21.设随机变量的密度函数为
则常数为（B）
（A）（B）（C）0（D）
22．下列陈述不正确的是（D）
（A）两两独立不一定相互独立（B）若事件A与B独立则与B独立
（C）事件AB独立则（D）随机变量二者不相关则和独立
23.下列数列可以构成分布列的是（C）
（A）（B）（C）0（D）
24．下列陈述不正确的是（B）
（A）和不相关则（B）随机变量二者不相关则和独立
（C）和不相关则（D）随机变量二者不相关则
25．事件中，发生且与不发生的事件为：
（C）
（A）；（B）；（C）；（D）
26．设为相互独立的两事件，则下列式子中不正确的是：
（A）
（A）；（B）；
（C）；（D）
27．工厂每天从产品中随机地抽查50件产品，已知这种产品的次品率为0.1%，，则在这一年内平均每天抽查到的次品数为：
（A）
（A）0.05;（B）5.01;（C）5;（D）0.5.
28．则服从分布：
（C）
（A）（B）（C）（D）
29．设随机变量的联合概率密度为则：
（B）
（A）不相关；（B）相互独立；（C）相关；（D）不相互独立．
30．事件A，B互不相容，是指（B）
（A）P（）=P（A）P（B）（B）A（C）（D）
计算题（含答案）
一．设随机变量只取非负整数值，其概率为P{，a>0是常数，试求E及D
解：
记<1
=
二．炮战中，在距离目标250米，200米，150米处射击的概率分别为0.1,0.7,0.2,而在各处射击时命中目标的概率分别为0.05,0.1,0.2。
任射一发炮弹，求目标被击中的概率。
若已知目标被击毁，求击毁目标的炮弹是由距目标250米处射出的概率。
解：
1）设分别表示炮弹从250米，200米，150米处射击的事件,
B表示目标被击中。
则由全概率公式
=
2）由公式
＝＝
三．某单位招聘2500人，按考试成绩从高分到低分依次录用，共有10000人报名，假设报名者的成绩X服从分布N已知90分以上有359人，60分以下有1151人，问被录用者中最低分为多少？
X的分布函数为
标准正态分布表可得到=72和=100的值，然后令录取的最低分为，则
从而得到即录取的最低分为79分。
四．从1到2000这2000个数字中任取一数，求
1）该数能被6整除的概率；
2）该数能被8整除的概率；
3）该数能被6和8整除的概率；
4）该数能被6或8整除的概率。
解：
利用古典概型的公式
1）；2）；3）；
4）
五．空战中，从，，处射击的概率分别为0.2,0.7,0.1,而在各处射击时命中敌机的概率分别为0.2,0.1,0.05。
任射一发炮弹，求敌机被击中的概率。
若已知敌机被击中，求击中敌机的炮弹是由处射出的概率。
解：
1）设B表示目标被击中。
则由全概率公式
=
2）由公式
＝＝
六．一地区农民年均收入服从元，元的正态分布，求：
该地区农民年均收入在500元~520元间的人数的百分比；
如果要使农民的年均收入在内的概率不小于0.95，则至少为多大？
3个农民中至少有一个年均收入在500元~520元间的概率。
解：
（1）
（2），
，2
可得，，
（3）考虑反面没有一个年收入在范围中的情形，其概率为：
，
七．设随机变量（1,2）,且满足，则求概率。
解：
由，得，即
再根据联合分布与边际分布的关系可以求得和的联合分布。
－1
0
1
－1
0
0
0
0
1
0
0
所以＝0.
八、有一袋麦种，其中一等的占80%，二等的占18%，三等的占2%，已知一、二、三等麦种的发芽率分别为0.8，0.2，0.1，现从袋中任取一粒麦种：
试求它发芽的概率；
若已知取出的麦种未发芽，问它是一等麦种的概率是多少？
解：
设事件“取出来的种子是一等种子”“取出来的种子是二等种子”
“取出来的种子是三等种子”
“取出的种子发芽”“取出的种子未发芽”
由题：
（1）全概率公式
=67.8%
（2）贝叶斯公式
=0.497
九、设随机变量ξ的分布列为
ξ
P
0.2
0.3
0.3
0.2
求的分布列。
解：
p
0.2
0.3
0.3
0.2
整理得η的分布列
1
P
0.3
0.5
0.2
十、某师院的毕业生，其中优等生，中等生，下等生各占20%，65%，15%.毕业后十年，这三类学生能成为优秀教师的概率各为80%，70%，55%.求该学院毕业的学生十年后成为优秀教师的概率。
解：
记{成为优秀教师}
十一、将一颗均匀的骰子连掷两次，以ξ表示两次所得点数之和。
求1）ξ的分布列；2）Eξ。
解：
1）
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
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