数学北师大版高中必修5高中数学等差数列的前n项和教学设计与反思.docx

数学北师大版高中必修5高中数学等差数列的前n项和教学设计与反思.docx

《数学北师大版高中必修5高中数学等差数列的前n项和教学设计与反思.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学北师大版高中必修5高中数学等差数列的前n项和教学设计与反思.docx（9页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

数学北师大版高中必修5高中数学等差数列的前n项和教学设计与反思

高中数学“等差数列的前n项和”教学设计与反思

一、教学内容分析

本节课教学内容是《普通高中数学课程标准实验教科书·必修5》（北师大版）中第一章的第二节中“等差数列的前n项和”的第一课时。

本节课主要研究如何应用倒序相加法求等差数列的前n项和以及该求和公式的应用。

等差数列在现实生活中比较常见，因此等差数列求和就成为我们在实际生活中经常遇到的一类问题。

同时，求数列前n项和也是数列研究的基本问题，通过对公式推导，可以让学生进一步掌握从特殊到一般的研究问题方法。

二、学生学习情况分析

在本节课之前学生已经学习了等差数列的通项公式及基本性质，也对高斯算法有所了解，这都为倒序相加法的教学提供了基础；同时学生已有了函数知识，因此在教学中可适当渗透函数思想．高斯的算法与一般的等差数列求和还有一定的距离，如何从首尾配对法引出倒序相加法，这是学生学习的障碍。

三、设计思想

建构主义学习理论认为，学习是学生积极主动地建构知识的过程，因此，应该让学生在具体的问题情境中经历知识的形成和发展，让学生利用自己的原有认知结构中相关的知识与经验，自主地在教师的引导下促进对新知识的建构。

在教学过程中，根据教学内容，从介绍高斯的算法开始，探究这种方法如何推广到一般等差数列的前n项和的求法．通过设计一些从简单到复杂，从特殊到一般的问题，层层铺垫，组织和启发学生获得公式的推导思路，并且充分引导学生展开自主、合作、探究学习，通过生生互动和师生互动等形式，让学生在问题解决中学会思考、学会学习。

同时根据我校的特点，为了促进成绩优秀学生的发展，还设计了选做题和探索题，进一步培养优秀生用函数观点分析、解决问题的能力，达到了分层教学的目的。

四、教学目标

1.理解等差数列前n项和公式的推导过程；掌握并能熟练运用等差数列前n项和公式；了解倒序相加法的原理；

2.通过公式的推导过程，体验从特殊到一般的研究方法，渗透函数思想与方程（组）思想，培养学生观察、归纳、反思的能力；通过小组讨论学习，培养学生合作交流、独立思考等良好的个性品质。

五、教学重点和难点

本节教学重点是探索并掌握等差数列前n项和公式，学会用公式解决一些实际问题；难点是等差数列前n项和公式推导思路的获得。

六、教学过程设计

（一）创设情景，唤起学生知识经验的感悟和体验

世界七大奇迹之一的泰姬陵坐落于印度古都阿格，传说陵寝中有一个三角形

图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层，你知道这个图案一共花了多少宝石吗？

体展示三角形图案）

[设计意图]情境学习理论认为：

数学学习总是与一定的知识背景，即“情境”相联系．从实际问题入手，图中蕴含算数，能激发学生学习新知识的兴趣，并且可引导学生共同探讨高斯算法更一般的应用，为新课的讲解作铺垫．

[知识链接]高斯，德国著名数学家，被誉为“数学王子”。

200多年前，高斯的算术教师提出了下面的问题：

1＋2＋3＋…+100＝？

据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：

（1＋100）＋（2＋99）＋……＋（50＋51）＝101×50＝5050.

[学情预设]高斯的算法蕴涵着求等差数列前n项和一般的规律性．教学时，应给学生提供充裕的时间和空间，让学生自己去观察、探索发现这种数列的内在规律．学生对高斯的算法是熟悉的，知道采用首尾配对的方法来求和，但估计他们对这种方法的认识可能处于记忆阶段，为了促进学生对这种算法的进一步理解，设计了以下三道由易到难的问题．

（二）由易到难，在自主探究与合作中学习

问题1图案中，第1层到第51层一共有多少颗宝石？

该题组织学生分组讨论，在合作中学习，并把小组发现的方法一一呈现．

[学情预设]学生可能出现以下求法

方法1：

原式＝（1＋2＋3＋……＋50）＋51

方法2：

原式＝0＋1＋2＋……＋50＋51

方法3：

原式＝（1＋2＋…＋25＋27…＋51）＋26

以上方法实际上是用了“化归思想”，将奇数个项问题转化为偶数个项求解，教师应进行充分肯定与表扬．

[设计意图]这是求奇数个项和的问题，若简单地摹仿高斯算法，将出现不能全部配对的问题，借此渗透化归思想．

问题2：

求图案中从第1层到第n层（1＜n＜100，n∈N*）共有多少颗宝石？

[学情预设]学生通过激烈的讨论后，发现n为奇数时不能配对，可能会分n为奇数、偶数的情况分别求解，教师如何引导学生避免讨论成为该环节的关键．

[设计意图]从求确定的前n个正整数之和到求一般项数的前n个正整数之和，让学生领会从特殊到一般的研究方法，旨在让学生对“首尾配对求和”这一算法的改进．

启发：

（多媒体演示）如右图，在三角形图案右侧倒放一个全等的三角形与原图补成平行四边形．

[设计意图]借助几何图形的直观性，能启迪思路，唤醒学生记忆深处的东西，并为倒序相加法的出现提供了一个直接的模型．

通过以上启发学生再自主探究，相信容易得出解法：

∵1+2+3+…（n－1）+n

n+（n－1）+（n－2）+…+2+1

____________________________________________________________________

（n+1）+（n+1）+（n+1）+…+（n+1）+（n+1）

∴1+2+3+…+n=

问题3：

在公差为d的等差数列{an}中，定义前n项和

Sn=a1+a2+…+an，如何求Sn？

由前面的大量铺垫，学生应容易得出如下过程：

∵Sn=a1+（a1+d）+（a1+2d）+…+[a1+（n－1）d]

Sn=an+（an－d）+（an－2d）+…+[an－（n－1）d]

∴

（公式1）

组织学生讨论：

在公式1中若将an=a1+（n－1）d代入又可得出哪个表达式?

即：

（公式2）

（三）设置典例，促进学生对公式的应用

对于以上两个公式，初学的学生在解决一些问题时，往往不知道该如何选取．教师应通过适当的例子引导学生对这两个公式进行分析，根据公式各自的特点，帮助学生恰当地选择合适的公式．

例1为了参加冬季运动会的5000m长跑比赛，某同学给自己制定了7天的训练计划（单位：

m）如下表：

5000

5500

6000

6500

7000

7500

8000

问这个同学7天一共将跑多长的距离？

[设计意图]该例题是将课本P53习题2.3A组第3题改编成表格形式，可以锻炼学生处理数据信息的能力和选用公式的能力。

学生可以从首项、末项、项数出发，选用公式1；也可以从首项、公差、项数出发，选用公式2，通过两种方法的比较，引导学生在解题时注意选择适当的公式，以便于计算．

例2已知等差数列5，4

，3

，…

求

（1）数列｛an｝的通项公式；

（2）数列｛an｝的前几项和为

？

（3）Sn的最大值为多少？

并求出此时相应的n的值。

[设计意图]通项公式与求和公式中共有a1、d、n、an、Sn五个基本元素，如果已知其中三个，就可求其余两个，主要是训练学生的方程（组）思想。

第（3）小题是让学生初步接触用函数观点解决数列问题，为以后函数与数列的综合打下基础．

[知识链接]

（1）由

若令

可知当

时，点

是在常数项为0的二次函数图象上，可由二次函数的知识解决

的最值问题；

（2）若数列

的前n项和

（

），则数列

一定是等差数列；

（3）由

，可知

，点

在直线上；

（4）在等差数列

中，当

时，

最大，当

时，

最小。

（四）反馈调控，实现学生对知识的掌握

练习1已知等差数列｛an｝的前10项和是310，前20项的和是1220，求前n项和Sn.

练习2等差数列｛an｝中，a1=－4，a8=－18，n=8，求公差d及前n项和Sn.

选做题已知函数f（x）=

，则f（-5）+f（-4）+……+f（0）+……+f（5）+f（6）的值为

[设计意图]分层练习使学生在完成必修教材基本任务的同时，拓展自主发展的空间，让每一个学生都得到符合自身实践的感悟，使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，从而实现“以人为本”的教育理念．

（五）回顾反思，深化知识

组织学生分组共同反思本节课的教学内容及思想方法，小组之间互相补充完成课堂小结，实现对等差数列前n项和公式的再次深化．

1.从特殊到一般的研究方法；

2.体会倒序相加的算法，掌握等差数列的两个求和公式，领会方程（组）思想；

3.前n项和公式的函数意义

4、用梯形面积公式记忆等差数列的前n项和公式；

[知识链接]

（六）布置作业

1.课本P52习题2．3，第1题

（1）（3），第2题（3）（4），第5题

2.探索题

（1）数列{

}的前n项和

=

+

+

+…+

，求

；

（2）若公差为d（d≠0）的等差数列{

}中，

=

+

+

+…+

，你能否由题

（1）的启发，得到

的表达式？

七、教学反思

“等差数列前n项和”的推导不只一种方法，本节课是通过介绍高斯的算法，探究这种方法如何推广到一般等差数列的求和。

该方法反映了等差数列的本质，可以进一步促进学生对等差数列性质的理解，而且该推导过程体现了人类研究、解决问题的一般思路。

本节课教学过程的难点在于如何获得推导公式的“倒序相加法”这一思路。

为了突破这一难点，在教学中采用了以问题驱动的教学方法，设计的三个问题体现了分析、解决问题的一般思路，即从特殊问题的解决中提炼方法，再试图运用这一方法解决一般问题。

在教学过程中，通过教师的层层引导、学生的合作学习与自主探究，尤其是借助图形的直观性，学生“倒序相加法”思路的获得就水到渠成了。