吉林大学 高等数学B2期末资料2.docx
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吉林大学高等数学B2期末资料2
吉林大学2017—2018学年第二学期《高等数学BⅡ》
试卷
2018年6月6日
命题：
董朔校对：
肖乐乐
一
二
三
四
总分
得分
一、单项选择题（共6道小题，每小题3分，满分18分；下列每小题给出的四
个选项中，只有一项符合题目要求的）
⎧
|xy|
sin（x2+y2）
x2+y
2≠0
⎪
，则
f（x,y）在（0,0）处
2
2
1．设f（x,y）=⎨
⎪x
+y
0
x
2
+y
2
=
0
⎩
（
）.
（A）连续但不可偏导
（B）可偏导但不可微
（C）可微
（D）不连续
2．函数f（x,y）=arctan
x
在点（0,1）处的梯度等于（
）.
y
（A）i.
（B）-i.
（C）j.
（D）-j.
3．若∑是锥面x2+y2=z2被平面z=0与z=1所截下的部分,则曲面积分
⎰⎰（x2+y2）dS=（
）.
∑
（A）⎰0πdθ⎰01r2⋅rdr;
（B）⎰02πdθ⎰01r2⋅rdr;
（C）
⎰0πdθ⎰01r2⋅rdr;
（D）
⎰02πdθ⎰01r2⋅rdr.
2
2
4.已知
ax+y
dx-
x-y+b
dy在右半平面（x>0）是函数u（x,y）的全微分,
x2+y2
x2
+y2
（共6页第1页）
a,b的值为（
）.
（A）a=1,b=0；
（B）a=-1,b=0；
（C）a=0,b=1；
（D）a=0,b=-1.
5.设0≤un<1
（n=1,2,），则下列级数中必定收敛的是（
）.
n
∞
∞
（A）∑un
（B∑（-1）nun
n=1
n=1
∞
∞
（C）∑
un
（D）∑（-1）nun2
n=1
n=1
6.设线性无关的函数y1,y2,y3是二阶非齐次线性微分方程y''+p（x）y'+q（x）y=f（x）的解,C1,C2是任意常数,则该非齐次线性微分方程的通解是（）.
（A）C1y1+C2y2-（1-C1-C2）y3；
（B）C1y1+C2y2+y3；
（C）C1y1+C2y2-（C1+C2）y3；
（D）C1y1+C2y2+（1-C1-C2）y3.
得分
二、填空题（共6道小题，每小题3分，满分18分；请将答案填写在题中的横
线上）
1
x2
1．极限lim（1+
）
x+y
=
．
x→∞
xy
y→a
2．设z=z（x,y）是由方程e2yz+x+y2+z=7
确定的函数，dz|
=
．
4
⎛1
1
⎫
ç
⎪
⎝2
2
⎭
3．设L为圆x2
+y2=1,，则闭曲线积分⎰（L8xy+2x2+6y2）ds=
.
4．设L为由点A（-1,1）沿抛物线y=x2到点B（1，1）的一段弧，则曲线积分：
（共6页第2页）
⎰（x2-2xy）dx+（y2-2xy）dy的值为
.
L
⎧e-x,-π≤x<0
，则其以2π为周期的傅立叶级数在点x=π处收
5．设函数f（x）=⎨
0≤x<π
⎩1,
敛于
.
6．将函数f（x）=
1
展开成幂级数
.
2-x-x2
得分
三、按要求解答下列各题（共4道小题，每小题8分，满分32分）
1.设z=f（x+ϕ（x-y）,y），其中f具有二阶连续偏导数，ϕ有二阶导数，求dz和∂2z.
∂x
⎧2
2
2
=6
2.求曲线⎨x
+y
+z
在点（1,-2,1）的切线和法平面方程.
⎩x+y+z=0
（共6页第3页）
3.设区域D={（x,y）|1≤x2+y2≤4,x≥0.y≥0}．计算二重积分：
⎰⎰
xsin（πx2+y2）
dxdy
D
x+y
.
∞
（x-1）
n
4.求幂级数∑
的收敛域与和函数.
n
n=1
3n
（共6页第4页）
得分
四、按要求解答下列各题（共4道小题，满分32分）
1.（本题满分7分）
求微分方程y''-2y'+y=8（1+e2x）的通解.
2.（本题满分8分）
计算曲面积分I=⎰⎰x3dydz+[yf（yz）+y3]dzdx+[z3-zf（yz）]dxdy,其中函数f有
∑
连续的导函数,∑为上半球面z=
1-x2-y2的上侧.
（共6页第5页）
3.（本题满分9分）
已知函数z=f（x,y）的全微分dz=2xdx-2ydy，并且f（1,1）=2.求f（x,y）在椭圆
域D={（x,y）x2+y2≤1}上的最大值和最小值.
4
4.（本题满分8分）
设Ω（t）={（x,y,z）|x2+y2
+z2≤t2}，其中t
>0.已知f（x）在[0,+∞）内连续，
又设F（t）=⎰⎰⎰f（x2+y2+z2）dxdydz.
Ω（t）
F（t）
（0,+∞）
F（t）
（1）求证：
在
内可导，并求
'
的表达式；
（2）设f（0）
∞
1）在λ>0时收敛，λ≤0时发散.
≠0，求证：
级数∑n1-λF'（
n=1
n
（共6页第6）
吉林大学
2015~2016学年第二学期《高等数学BII》试卷
2016年6月28日
一
二
三
四
总分
得分
一、单项选择题（共6道小题，每小题3分，满分18分，下列每小题
给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.）
1.函数f（x,y）=
x2
+y4在点（0,0）处的偏导数（
）.
（A）fx'（0,0）存在，fy'（0,0）不存在
（B）fx'（0,0）不存在，fy'（0,0）存在
（C）fx'（0,0），fy'（0,0）都存在
（D）fx'（0,0），fy'（0,0）都不存在
2．设方程xyz+ez
=1确定z是x，y的函数，则
∂z
=（
）．
∂x
（A）-
yz
（B）
yz
（C）-
yz
（D）
yz
ez
ez
xy+ez
xy+ez
3.空间区域Ω={（x,y,z）
0≤z≤
4-x2-y2,x2+y2
≤1}的体积是（）．
π
（B）⎰02πdθ⎰02r
（A）4⎰02dθ⎰01r
dr
4-r2
dr
4-r2
π
⎰01
（D）⎰02πdθ⎰02
（C）4⎰02dθ
dr
4-r2
dr
4-r2
2
2
2
2
2
4.设空间区域Ω={（x,y,z）x+y
+z≤2,z≥
x
+y}，f（x,y,z）为连续函
数，则三重积分⎰⎰⎰f（x,y,z）dV=（
）．
Ω
1
1-x2
x2+y2
（A）⎰-1dx⎰-
dy⎰
f（x,y,z）dz
1-x2
2-x2-y2
（共6页第1页）
1
1-x2
2-x2-y2
（B）4⎰0dx⎰0
dy⎰
f（x,y,z）dz
x2+y2
（C）⎰02πdθ⎰01dr⎰r2-r2
f（rcosθ,rsinθ,z）dz
π
（D）⎰02πdθ⎰04dϕ⎰0
2
f（rsinϕcosθ,rsinϕsinθ,rcosϕ）r2sinϕdr
5.
设∑为球面x2+y2+z2=9的外侧，则曲面积分⎰⎰zdxdy=（
）．
∑
（A）0
（B）3π
（C）9π
（D）36π
∞
n
6.
如果级数∑
（-1）
（p>0）绝对收敛，则常数p的取值范围是（
）.
p
n=1
n
（A）p>1
（B）0（C）p≥1
（D）0二、填空题（共6道小题，每小题3分，满分18分，请将答案写在题后
得分
的横线上.）
1.极限lim
sin（xy）
=
.
x→0
x
y→π
2.函数u=x2-xy+2yz在点（1,1,1）处的方向导数的最大值为
.
⎧x=cost,
（0≤t≤
π
），则⎰Lxds
=
3.设曲线L的方程为⎨
2
.
⎩y=sint
⎧x2,0≤x<1,
a
∞
⎪
2
+∑ancosnπx
4.设函数f（x）=⎨
S（x）=
0
，其中
1≤x<1,
⎪x,
2
n=1
⎩
2
a
=2
1
f（x）cosnπxdx,n=0,1,2,
，则S（-1）=
.
n
⎰0
2
1
5.将函数f（x）=
展开成（x-2）
的幂级数为
.
x
6.微分方程xy'+y=xex满足初始条件y
（1）=0的特解为
.
（共6页第2页）
得分
三、按要求解答下列各题（共4道小题，每小题8分，满分32分）.
1．设f为C
（2）类函数，且z=f（x+y,x-y），求dz和∂2z.
∂x∂y
2．在曲面z=xy上求一点，使这点处的法线垂直于平面x+3y+z+9=0，并写出该法线方程．
（共6页第3页）
1+xy
3．设平面区域D={（x,y）x2+y2≤1,x≥0}，计算二重积分⎰⎰D1+x2+y2dxdy.
∞
n-1
4.求幂级数∑
x
的收敛域与和函数.
n=1
n
（共6页第4页）
得分
四、按要求解答下列各题（共4道小题，满分32分）.
1.（本小题9分）设x>0,y>0,z>0，用Lagrange乘数法求函数u=x3y2z
在约束条件x+y+z=12下的最大值.
2.（本小题9分）求微分方程y''+4y=2x2满足y（0）=0,y'（0）=1的特解．
（共6页第5页）
3.（本小题9分）计算曲线积分⎰Lsin2xdx+2（x2-1）ydy，其中L是曲线y=sinx上从点（0,0）到点（π,0）的一段弧．
4.（本小题5分）设曲面∑为x2+y2+z2-yz=1位于平面2z-y=0上方的
部分，计算曲面积分
（x+
y-2z
I=⎰⎰
3）
dS.
4+y
2
+z
2
-4yz
∑
（共6页第6页）
2014—2015学年第二学期《高等数学
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