高考数学理二轮专题复习教案平面向量含考情解读变式训练.docx

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高考数学理二轮专题复习教案平面向量含考情解读变式训练

第3讲平面向量

【高考考情解读】从近几年高考来看，平面向量有以下几个考查特点：

1.向量的加法，主要考查运算法则、几何意义；平面向量的数量积、坐标运算、两向量平行与垂直的充要条件是命题的重点内容，主要考查运算能力和灵活运用知识的能力；试题常以填空题形式出现，难度中等偏下.2.平面向量与三角函数、解析几何相结合，以解答题形式呈现，难度中等．

1．平面向量中的五个基本概念

（1）零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0.

（2）长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a的单位向量为.

（3）方向相同或相反的向量叫共线向量（平行向量）．

（4）如果直线l的斜率为k，则a＝（1，k）是直线l的一个方向向量．

（5）向量的投影：

|b|cos〈a，b〉叫做向量b在向量a方向上的投影．

2．平面向量的两个重要定理

（1）向量共线定理：

向量a（a≠0）与b共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa.

（2）平面向量基本定理：

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底．

3．平面向量的两个充要条件

若两个非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则：

（1）a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0.

（2）a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.

4．平面向量的三个性质

（1）若a＝（x，y），则|a|＝＝.

（2）若A（x1，y1），B（x2，y2），则

||＝.

（3）若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），θ为a与b的夹角，

则cosθ＝＝.

考点一平面向量的概念及线性运算

例1　

（1）（2013·江苏）设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2（λ1，λ2为实数），则λ1＋λ2的值为________．

（2）△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，＋＋＝0且||＝||，则向量在上的投影为________．

答案

（1）　

（2）

解析

（1）如图，＝＋＝＋＝＋（－）

＝－＋，则λ1＝－，λ2＝，λ1＋λ2＝.

（2）由＋＋＝0，

得＋＝.

又O为△ABC外接圆的圆心，OB＝OC，

∴四边形ABOC为菱形，AO⊥BC.

由||＝||＝2，

知△AOC为等边三角形．

故在上的投影为||cos∠ACB＝2cos＝.

（1）在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作字母，其运算就类似于代数中合并同类项的运算；有的问题采用坐标化解决更简单．

（2）运用向量加减法解决几何问题时，要善于发现或构造三角形或平行四边形，使用三角形法则时要特别注意“首尾相接”．运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合．

（1）已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m的值为________．

（2）如图，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，

与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2，若＝λ＋μ

（λ，μ∈R），则λ＋μ的值为________．

答案

（1）3　

（2）6

解析

（1）∵＋＋＝0，∴点M是△ABC的重心．

∴＋＝3，∴m＝3.

（2）方法一如图，＝1＋1，|1|＝2，|1|＝||＝4，

∴＝4＋2.

∴λ＋μ＝6.

方法二由＝λ＋μ，两边同乘，得2＝λ·＋0，∴λ＝4.

∴＝4＋μ，两边同乘，

得·＝4＋μ·，

即3＝4＋（－）μ.∴μ＝2.

∴λ＋μ＝6.

方法三以O为原点，OA为x轴建立直角坐标系，

则A（1,0），C（2cos30°，2sin30°），B（cos120°，sin120°）．

即A（1,0），C（3，），B（－，）．

由＝λ＋μ得，

∴.∴λ＋μ＝6.

考点二平面向量的数量积

例2　

（1）（2012·江苏）如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为

BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是________．

（2）若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，（a－c）·（b－c）≤0，则|a＋b

－c|的最大值为________．

答案

（1）　

（2）1

解析

（1）方法一坐标法．

以A为坐标原点，AB，AD所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则

A（0,0），B（，0），E（，1），F（x,2）．

故＝（，0），＝（x,2），＝（，1），

＝（x－，2），

∴·＝（，0）·（x,2）＝x.

又·＝，∴x＝1.

∴＝（1－，2）．

∴·＝（，1）·（1－，2）＝－2＋2＝.

方法二用，表示，是关键．

设＝x，则＝（x－1）.

·＝·（＋）

＝·（＋x）＝x2＝2x，

又∵·＝，∴2x＝，

∴x＝.∴＝＋＝＋.

∴·＝（＋）·

＝

＝2＋2

＝×2＋×4＝.

（2）方法一由题意知a2＝b2＝c2＝1，

又a·b＝0，

∵（a－c）·（b－c）＝a·b－a·c－b·c＋c2≤0，

∴a·c＋b·c≥c2＝1，

∴|a＋b－c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c

＝3－2（a·c＋b·c）≤1，

∴|a＋b－c|≤1.

方法二设a＝（1,0），b＝（0,1），c＝（x，y），

则x2＋y2＝1，a－c＝（1－x，－y），b－c＝（－x,1－y），

则（a－c）·（b－c）＝（1－x）（－x）＋（－y）（1－y）

＝x2＋y2－x－y＝1－x－y≤0，即x＋y≥1.

又a＋b－c＝（1－x,1－y），

∴|a＋b－c|＝

＝＝≤1.

（1）涉及数量积和模的计算问题，通常有两种求解思路：

①直接利用数量积的定义；

②建立坐标系，通过坐标运算求解．

（2）在利用数量积的定义计算时，要善于将相关向量分解为图形中模和夹角已知的向量进行计算．

求平面向量的模时，常把模的平方转化为向量的平方．

（1）（2013·山东）已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若A＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．

（2）（2013·重庆改编）在平面上，⊥，||＝||＝1，＝＋.若||<，则||的取值范围是________．

答案

（1）　

（2）

解析

（1）由⊥知·＝0，

即·＝（λ＋）·（－）

＝（λ－1）·－λA2＋2

＝（λ－1）×3×2×－λ×9＋4＝0，

解得λ＝.

（2）∵⊥，

∴·＝（－）·（－）

＝·－·－·＋2＝0，

∴·－·－·＝－2.

∵＝＋.

∴－＝－＋－，

∴＝＋－.

∵||＝||＝1，

∴2＝1＋1＋2＋2（·－·－·）

＝2＋2＋2（－2）＝2－2，

∵||<，∴0≤||2<，∴0≤2－2<，

∴<2≤2，即||∈.

考点三平面向量与三角函数的综合应用

例3已知向量a＝（cosα，sinα），b＝（cosx，sinx），c＝（sinx＋2sinα，cosx＋2cosα），其中0<α

（1）若α＝，求函数f（x）＝b·c的最小值及相应x的值；

（2）若a与b的夹角为，且a⊥c，求tan2α的值．

（1）应用向量的数量积公式可得f（x）的三角函数式，然后利用换元法将三角函数式转化为二次函数式，由此可解得函数的最小值及对应的x值．

（2）由夹角公式及a⊥c可得关于角α的三角函数式，通过三角恒等变换可得结果．

解

（1）∵b＝（cosx，sinx），

c＝（sinx＋2sinα，cosx＋2cosα），α＝，

∴f（x）＝b·c

＝cosxsinx＋2cosxsinα＋sinxcosx＋2sinxcosα

＝2sinxcosx＋（sinx＋cosx）．

令t＝sinx＋cosx，

则2sinxcosx＝t2－1，且－1

则y＝t2＋t－1＝2－，－1

∴t＝－时，ymin＝－，此时sinx＋cosx＝－，

即sin＝－，

∵

∴x＋＝π，∴x＝.

∴函数f（x）的最小值为－，相应x的值为.

（2）∵a与b的夹角为，

∴cos＝＝cosαcosx＋sinαsinx＝cos（x－α）．

∵0<α

∵a⊥c，∴cosα（sinx＋2sinα）＋sinα（cosx＋2cosα）＝0，

∴sin（x＋α）＋2sin2α＝0，即sin＋2sin2α＝0.

∴sin2α＋cos2α＝0，∴tan2α＝－.

在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．

已知向量a＝，b＝（cosx，－1）．

（1）当a∥b时，求cos2x－sin2x的值；

（2）设函数f（x）＝2（a＋b）·b，已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝，b＝2，sinB＝，求f（x）＋4cos（2A＋）（x∈[0，]）的取值范围．

解

（1）∵a∥b，∴cosx＋sinx＝0，∴tanx＝－.

∴cos2x－sin2x＝＝＝.

（2）f（x）＝2（a＋b）·b＝sin＋，

由正弦定理＝，可得sinA＝，∴A＝.

∴f（x）＋4cos＝sin－，

∵x∈[0，]，∴2x＋∈[，]．

∴－1≤f（x）＋4cos（2A＋）≤－.

1．当向量以几何图形的形式出现时，要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示，就要根据向量加减法的法则进行，特别是减法法则很容易出错，向量＝－（其中O为任意一个点），这个法则就是终点向量减去起点向量．

2．根据平行四边形法则，对于非零向量a，b，当|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|a＋b|＝|a－b|等价于向量a，b互相垂直．

3．两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线．

4．平面向量的综合运用主要体现在三角函数和平面解析几何中，在三角函数问题中平面向量的知识主要是给出三角函数之间的一些关系，解题的关键还是三角函数问题；解析几何中向量知识只是给出一些几何量的位置和数量关系，在解题中要善于根据向量知识分析解析几何中的几何关系.

1．已知两点A（1,0），B（1，），O为坐标原点，点C在第二象限，且∠AOC＝120°，设＝－2＋λ（λ∈R），则λ＝________.

答案1

解析根据∠AOC＝120°，

可知点C在射线y＝－x（x<0）上，设C（a，－a），

则有（a，－a）＝（－2,0）＋（λ，λ）＝（－2＋λ，λ），

即得a＝－2＋λ，－a＝λ，消去a，得λ＝1.

2．函数y＝tan（x－）（0

过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点，则（＋）·＝

______.

答案8

解析A点坐标为（2,0），即＝（2,0），

由y＝tan（x－）的图象的对称性知A是BC的中点．

∴＋＝2，

∴（＋）·＝2·＝2×||2＝8.

3．在△ABC中，向量m＝（2cosB,1），向量n＝（1－sinB，－1＋sin2B），且满足|m＋n|＝|m－n|.

（1）求角B的大小；

（2）求sinA＋sinC的取值范围．

解

（1）由|m＋n|＝|m－n|，可知m⊥n⇔m·n＝0.

然而m＝（2cosB,1），n＝（1－sinB，－1＋sin2B），

所以有m·n＝2cosB－sin2B－1