新课标广东高考理科数学主要知识点讲解归纳.docx

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新课标广东高考理科数学主要知识点讲解归纳

一、集合与常用逻辑用语

1、子集、真子集、交集、并集、补集

（1）集合12{,,,}naaa的子集个数共有2n个;真子集有2n–1个;非空子集有2n

–1个;非空的真子集有2n–2个.

2、p⌝、pq∨、pq∧的真假性判断

3⇔否命题。

原命题（若p则q）同真假逆否命题（若非q则非p）

否命题（若非p则非q）同真假逆命题（若q则p）

4、特别强调:

“都是”的否定———“不都是”;“全是”的否定———“不全是”“pq∨”的否定——“pq⌝∧⌝”

5、pq⇒,qp⇒,p是q的充分不必要条件;pq⇒,qp⇒,p是q的必要不充分条件;

pq⇒,qp⇒,p是q的充要条件;pq⇒,qp⇒,p是q的既不充分也不必要条件。

6、全称命题:

（）xMpx∀∈;特称命题:

00,（）xMpx∃∈。

“,（）xMpx∀∈”的否定是——“00,（）xMpx∃∈⌝”

“00,（）xMpx∃∈”的否定是——“,（）xMpx∀∈⌝”二、不等式

1、不等式的基本性质:

（1）abacbc>⇒+>+;0abab>⇔->

（2）,0abcacbc>>⇒>;,0abcacbc><⇒<

（3）0nnabab>>⇒>;0ab>>⇒>（4）1100abab>>⇒<

<;1100abab

<<⇒>>2、二次函数:

（1）解析式的三种形式:

一般式:

cbxaxxf++=2）（）0（≠a

顶点式:

nmxaxf+-=2）（）（）0（≠a顶点坐标:

）,（nm

零点式:

））（（）（21xxxxaxf--=）0（≠a,12,xx是方程20axbxc++=的根。

韦达定理:

cxxabxx=⋅-=+121,

（2）对称轴方程:

abx2-=;顶点坐标:

）44,2（2

cab--（3）最值:

当a>0时,abacf442min-=;当a<0时,a

cf442

max-=（4）单调性:

当0a>时,（）fx在（,]2ba-∞-上单调递减;在[,）2ba

-+∞上单调递增;当0a<时,（）fx在（,]2ba-∞-上单调递增;在[,）2ba-+∞上单调递减。

3、根的分布问题（主要思想方法:

数形结合,联系二次函数的图像）设12,xx是方程2

0axbxc++=（0）a>的两个实根,则

（1）1xm<,2xm>⇔（）0fm<

（2）在（,）mn内有且只有一个实根⇔（）（）0fm

fn⋅<

（3）在（,）mn内有两个不相等的实根240

2（）0（）0

cbmnafmfn⎧∆=->⎪

⎪<-<⎪⎨

⎪>⎪>⎪⎩（4）两根分别在（,）mn、（,）pq内,且（,）（,）mnpq=⇔（）0（）0

（）0（）0

fmfnfpfq>⎧⎪<⎪

⎨<⎪⎪>⎩4、不等式2

0axbxc++>与相应函数2（）fxaxbxc=++2

0axbxc++=的联系。

5、线性规划——

（1）二元一次不等式0AxByc++>表示直线0AxByc++=某一侧所有点组成的平面区域。

（判断方法——取特殊点,一般取（0,0）作为特殊点）

（2线性规划问题。

满足线性约束条件的解（,）xy叫做可行解;由所有可行解组成的集合叫做可行域;使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解。

（3）线性规划问题的解题步骤:

①根据题意,设出变量,,xyz②找出约束条件（列不等式组）③确定目标函数

（,）zfxy=

④画出可行域（不等式组表示的区域的公共部分）

⑤令0z=,作直线（,）0fxy=,再进行直线的平移⑥观察图形,找到最优解,确定答案。

6、基本不等式:

（1）若Rba∈,,那么2

2ba+≥ab2（ba=时等号成立）。

（2）若ba,是正数,那么

a+≥a

b（ba=时等号成立）“一正,二定,三相等”（3）最值定理:

若积xyp=是定值,则和xy+有最小值xyS+=是定值,则

积xy有最大值2

（）2

S。

7、

（1）解一元二次不等式2

0（0）axbxc++><或:

若0>a,则对于解集不是全集或空集时,

对应的

解集为“大两边,小间”.如:

当21xx<,（）（）21210xxxxxxx<<⇔<--;

（）（）12210xxxxxxxx<>⇔>--或.

（2）含有绝对值的不等式:

ⅰ、当0>a时,有:

①axaaxax<<-⇔<⇔<22;②2

xaxaxa>⇔>⇔>或

xa<-.

ⅱ、当0>a时,有:

①bacxbaabcxabcx-<<--⇔<+⇔<+22）（;②bacxbacxabcxabcx--<->⇔>+⇔>+或22）（ⅲ、不等式

cbxaxcbxaxcbxaxcbxax<-±-≤-±->-±-≥-±-||||,||||,||||,||||的

常用解法:

①利用绝对值的几何意义的数形结合思想;

②零点区间法的分类讨论思想;③构造函数法的函数与方程的思想ⅳ、绝对值的三角不等式

①定理1若ba,为实数,则baba+≤+||,当且仅当0≥ab时,等号成立;②推论1bababa+≤-≤-||;（3）分式不等式:

（1）

（）（）（）（）00>⋅⇔>xgxfxgxf;

（2）（）（）

（）（）00<⋅⇔

⎧≠≤⋅⇔≤0

00xgxgxfxgxf.（5）指数不等式与对数不等式

（1）当1a>时,（）（）

（）（）fxgxaafxgx>⇔>;（）0

log（）log（）（）0（）（）aafxfxgxgxfxgx>⎧⎪

>⇔>⎨⎪>⎩.

（2）当01a<<时,（）

（）

（）（）fxgxa

afxgx>⇔<;（）0log（）log（）（）0（）（）aafxfxgxgxfxgx>⎧⎪

>⇔>⎨⎪<⎩

8、不等式的证明方法

（1）比较法:

要证明ba>,只要证明0>-ba,要证明ba<,只要证明0<-ba,这种证明不等式的方法叫做比较法

（2）分析法:

“执果索因”（3）综合法:

“由因导果”（4）放缩法

三、函数

1、函数的奇偶性:

（1）如果对于函数（）fx的定义域内任意一个x,都有（）（）fxfx-=-,那么称函数（）fx为奇函数。

如果对于函数（）fx的定义域内任意一个x,都有（）（）fxfx-=,那么称函数（）fx为偶函数。

（2）性质1:

奇、偶函数的定义域关于原点对称。

性质2:

奇函数的图像关于原点对称;偶函数的图像关于y轴对称。

性质3:

若奇函数的定义域包括0,则有（0）0f=。

（3）利用定义判断函数奇偶性的方法、步骤:

①首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称。

②确定（）fx-与（）fx的关系。

③作出相应结论。

2、函数的单调性:

（1）定义:

如果函数（）fx在区间D内的任意12,xx,

当12xx<时,都有12（）（）fxfx<,则称（）fx是区间D上的增函数;当12xx<时,都有12（）（）fxfx>,则称（）fx是区间D上的减函数。

（2）结论:

奇函数在其对称区间上的单调性相同;偶函数在其对称区间上的单调性相反。

（3）导数与单调性的关系:

在某个区间（,）ab内,如果'（）0fx>,那么函数（）yfx=在这个区间内单调递增;在某个区间（,）ab内,如果'（）0fx<,那么函数（）yfx=在这个区间内单调递减。

3、函数的周期性定义:

对于函数（）fx,若存在非零常数T,使得在定义域内总有

（）（）fxTfx+=,则称函数（）fx为周期函数,常数T为函数的周期。

（1）三角函数的周期:

①π2:

sin==Txy;②π2:

cos==Txy;③π==Txy:

tan;

④|

|2:

）cos（）,sin（ωπ

ϕωϕω=+=+=TxAyxAy;⑤||:

tanωπω==Txy

（2）与周期有关的结论:

）（）（axfaxf-=+或）0）（（）2（>=-axfaxf或）（）（xfaxf-=+或

）

（1

）（xfaxf±

=+⇒）（xf的周期为a2区别对称轴:

）（）2（xfaxf-=+的对称轴为ax=4、指数式与对数式:

（1）根式:

当n

a=;当n

||,0

aaaaa≥⎧==⎨-<⎩。

（2）幂的性质:

1a=（0a≠）;nmn

maa

=;1

ppaa

aaa+=;m

mnnaaa

-=;（）nnnabab⋅=;（）mnmnaa=;

（3）指数式与对数式的互换:

logbaaNNb=⇔=,（0a>且1a≠,0N>）

（4）对数性质:

log10a=;log1aa=;logaN

N=;

MNMaaaloglog）（log+=⋅;

Maaalogloglog-=;

loglognaaMnM=

（5）换底公式:

logloglogcacbba=

;loglog1abba⋅=（或写成:

bbalog1

log=）5、指数函数:

（0a>且1a≠）的图像与性质:

6、对数函数:

a（且）的图像与性质:

（1）定义:

形如yxα

=（R

α∈）的函数称为幂函数。

（2）幂函数yxα

=在第一象限的图像:

<<0

α<3

8、图像变换的规律:

平移变换、翻折变换

（1）水平平移（）（）

yfxyfxa

=→=+:

左加右减

竖直平移（）（）

yfxyfxa

=→=+:

上加下减

（2）（）|（）|

yfxyfx

=→=:

把在x轴下方的图像沿着x轴翻折到上方;

（）（||）

yfxyfx

=→=:

偶函数,图像关于y轴对称。

9、函数与方程

（1）方程（）0fx=的根（实数x）就是函数（）yfx=的零点。

（2）函数（）yfx=的零点⇔方程（）0fx=的实数根⇔函数（）yfx=的图像与x轴的交点的横坐标。

（3）方程（）0fx=有几个实数根⇔函数（）yfx=的图像与x轴有几个交点⇔函数

（）yfx=有几个零点

（4）方程）（）（xgxf=有几个实数根⇔函数（）yfx=的图像与（）ygx=的图像有几个交点（5）零点存在性定理:

如果函数（）yfx=在区间[,]ab上的图像是连续不断的一条直线,并且有（）（）0fafb⋅<,那么函数（）yfx=在区间（,）ab内至少有一个零点。

（6）二分法:

对于在区间[,]ab上连续不断,且满足（）（）0fafb⋅<的函数（）yfx=,通过不断地把函数（）fx的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到

零点近似值的方法叫做二分法。

（7）用二分法求函数（）fx的零点近似值的步骤:

------《必修1》的第90页

10（）0fx≥;在

（）

gxfx,（）0fx≠;在log（）afx,（）0fx>;在tan（）fx,（）2

fxkπ

π≠+

;在0（）fx,（）0fx≠;在

xa与logax0a>且1a≠,

列不等式求解

11、值域的求法:

①分析法;②配方法;③判别式法;④利用函数单调性;⑤换元法;

⑥利用均值不等式2

2babaab+≤

+≤;⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）;⑧利用函数有界性（x

a、xsin、xcos等）;⑨平方法;⑩导数法四、导数

1、函数（）yfx=在点0x处的导数的物理意义——就是物体在0x这一时刻的瞬时速度。

2、函数（）yfx=在点0x处的导数的几何意义——就是曲线（）yfx=在点00（,（））xfx处的

切线的斜率。

3、常用的导数公式:

（1）0'

（2）1'）（-=nnnxx（3）xxcos）（sin'=（4）xxsin）（cos'-=

（5）xxee='）（（6）xx1）（ln'

（7）21）'1（xx-=不太常用的两个:

（8）a

xxaln1）（log'

=（9）aaaxxln）（'=

4、导数的运算法则:

（1）'

[（）（）]（）（）fxgxfxgx±=±

（2）'

[（）]（）kfxkfx⋅=⋅

（3）'

[（）（）]（）（）（）（）fxgxfxgxfxgx⋅=+（4）'''2

（）（）（）（）（）

[]（）（）

fxfx

gxfxgxgxgx-=5、用导数求函数单调区间的一般步骤:

①求'

（）fx;②'

（）0fx>的解集与定义域的交集所对应的区间为增区间;'

（）0fx<的解集与定义域的交集所对应的区间为减区间。

6、极值判别法:

如果0）（'0=xf,并且在0x附近的左侧'（）0fx>,右侧'（）0fx<,那么0（）fx是极大值;

如果0）（'0=xf,并且在0x附近的左侧'

（）0fx<,右侧'

（）0fx>,那么0（）fx是极小值。

7、求函数极值的步骤:

（1）求导数'（）fx;

（2）求导数'（）0fx=的根;（3）列表,用根判断'（）fx在根左右的值的符号;（4）确定（）fx在这个根处是取极大值还是取极小值。

8、求函数（）fx在[,]ab上的最大值与最小值的步骤:

（1）求出（）fx在（,）ab内的极值;

（2）求出（）fa、（）fb的值;（3）将各极值与（）fa、（）fb比较,最大的一个是最大值,最小的一个为最小值。

注:

恒成立问题:

对于恒成立问题一般可以化为最值问题,若axf≥）（恒成立,则

min）（xfa≤;若axf≤）（恒成立,则max）（xfa≥。

9、求切线方程:

利用导数求切线:

注意:

（1）ⅰ）所给点是切点吗?

ⅱ）所求的是“在”还是“过”该点的切线?

（2）求切线方程时,常设出切点）,（yx,则有切线的斜率为）（xf',且切点）,（yx既在切线上,又在曲线上。

10、定积分:

（1）一般地,如果）（xf是区间],[ba上的连续函数,并且）（）（xfxF=',那么

）（）（）（bFaFdxxfb

a-=⎰,这个结论叫做问积分基本定理。

即

）（）（）}（）（bFaFxFdxxfbab

-==⎰

（2）有关性质:

ⅰ、

dxxfkdxxkfb

a⎰⎰=）（）（（k为常数）ⅱ、dxxfdxxfdxxfxfb

bax

⎰⎰⎰±=±）（）（）]（）（[2

ⅲ、dxxfdxxfdxxfb

caba

⎰⎰⎰+=）（）（）（（其bca<<）

注:

2adxxaa

π=

-⎰

（为什么呢?

）请思考

五、平面向量

1、向量的概念:

（1）既有大小又有方向的量叫做向量,记作:

或a。

（2）长度为0的向量叫做零向量,记作0

;长度为1的向量叫做单位向量。

（3）方向相同或相反的向量叫做平行向量,也叫共线向量。

（4）长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

（5）向量a的长度,也叫大小,也叫模,记作:

||a

（6）规定:

0与任何向量平行。

2、向量的加法法则:

（1）三角形法则——首尾相接。

如:

ABBCAC+=

（2）平行四边形法则——同一起点。

如;ABADAC+=

3、向量的减法法则:

三角形法则——同一起点。

如:

ABACCB-=

4、两向量共线的充要条件:

向量b与非零向量a共线⇔∃唯一的实数λ,使得baλ=。

5、平面向量的坐标运算:

（1）若11（,）axy=、22（,）bxy=

则）,（2121yyxx±±=±

（2）若11（,）Axy、22（,）Bxy,则2121

（,）ABxxyy=--

（3）若（,）axy=,则（,）axyλλλ=

6、平面向量共线的坐标表示:

若11（,）axy=、22（,）bxy=

则a∥b⇔12210xyxy-=

7、数量积

（1）定义:

已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,则||||cosababθ⋅=⋅⋅

叫做a与b

的数量积。

（2）投影:

||cosbθ⋅——称为向量b在a方向上的投影;且||cos||ab

baθ⋅⋅=

||cosaθ⋅——称为向量a在b方向上的投影,且||cos||

abθ⋅⋅=

（3）运算公式及运算律:

①22||aaaa⋅==,②2222

（）（）||||abababab+⋅-=-=-

③

2）（+±=+⋅±=±θ

④abba⋅=⋅;）（）（）（bababaλλλ⋅=⋅=⋅;（）abcacbc±⋅=⋅±⋅

（4）数量积的坐标运算:

若11（,）axy=、22（,）bxy=,则1212abxxyy⋅=+

。

（5）非零向量a与b的夹角θ:

作OAa=,OBb=

则AOBθ∠=,其0θπ≤≤,

cos||||ab

abθ⋅=⋅

非零向量a与b同向时,夹角00θ=;反向时,夹角0180θ=;垂直时,0

90θ=。

（6）两个非零向量垂直的充要条件:

ab⊥⇔0ab⋅=

⇔12120xxyy+=

（7）模的运算公式:

||a=或2

2||yx+=

8、三点共线的充要条件:

P,A,B三点共线⇔xy1OPxOAyOB=++=

且。

六、三角函数

1、任意角和弧度制

（1）终边相同的角:

所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可以构成集合

0{|360,}SkkZββα==+⋅∈

（2）角度⇔弧度:

180π=弧度;弧长||lrα=⋅（其,||α为圆心角的弧度数）,扇

形面积1

Slr=

（3）三角函数的定义:

在角α的终边上任取一个异于原点的点（,）Pxy,点P到原点的距离

记为r

（||rOP==

那么:

sinyrα=

;cosxrα=;tany

α=;三角函数的符号:

一全,二正弦,三正切,四余弦。

2、同角三角函数的基本关系式:

sincos1αα+=;

αα

tancossin=3、诱导公式:

（1）公式一:

sin

（2）sinkαπα+=,cos

（2）coskαπα+=,tan

（2）tankαπα+=

公式二:

sin（）sinπαα-=,cos（）cosπαα-=-,tan（）tanπαα-=-公式三:

sin（）sinπαα+=-,cos（）cosπαα+=-,tan（）tanπαα+=公式四:

sin

（2）sinπαα-=-,cos

（2）cosπαα-=,tan

（2）tanπαα-=-sin（）sinαα-=-,cos（）cosαα-=,tan（）tanαα-=-

公式五:

sin（）cos2π

αα-=,cos（）

sin2π

αα-=公式六:

sin（

）cos2παα+=,cos（）sin

αα+=-4、两角和与差公式:

辅助角公式:

）sin（cossin22ϕααα++=

+baba（其2

2sinbab+=

ϕ,

cosb

aa+=

ϕ）

sin（）sincoscossinαβαβαβ+=+,sin（）sincoscossinαβαβαβ-=-

cos（）coscossinsinαβαβαβ+=-,cos（）coscossinsinαβαβαβ-=+

tantantan（）1tantanαβαβαβ++=-,tantantan（）1tantanαβ

αβαβ

--=+

5、二倍角公式:

αααcossin22sin=,22tantan21tanα

αα

ααααα2222sin211cos2sincos2cos-=-=-=

降幂公式:

21cos2sin2αα-=,2

1cos2cos2

αα+=

6、正弦、余弦、正切函数的在一个周期内的图像与性质:

（1）sin,[0,2]yxxπ=∈3sin,[,]

yxxππ

=∈-

tan,（,）22

yxxππ

=∈-

（

最小正周期7

（1）函数sin（）yAxωϕ=+的物理意义

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