第7章-现代归纳逻辑.pptx

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逻辑学（第二版）,第七章现代归纳逻辑,马克思主义理论研究和建设工程重点教材,目录,第一节概率和概率演算（任晓明教授）第二节统计推理（李章吕副教授）,第一节概率和概率演算,一、概率和概率解释二、概率演算三、贝叶斯规则,一、概率和概率解释,考虑以下三个陈述句：

从一副扑克牌中抽出K牌的概率是1/13。

一个20岁的女人将要活到75岁的概率是913/1000。

本月央行将下调人民币存贷款利率的概率是非常高的。

它们分别涉及三种不同的概率理论：

概率的古典理论概率的相对频率理论概率的主观主义理论,

（一）概率的古典理论,概率的古典理论的起源可以追溯到17世纪数学家布莱斯帕斯卡和皮埃尔费马确定机遇游戏的打赌投注赔率的工作。

根据古典理论，一个事件A出现的概率用下面的公式计算：

其中：

f是有利的结果的数目，n是可能的结果的数目。

【思考】从一副扑克牌中抽出一张红桃的概率是多少？

【解析】从一副扑克牌中抽出一张红桃的概率，有利的结果的数目是13（因为有13张红桃），而可能的结果的数目是52（因为一副扑克中有52张牌）。

因此，这一事件的概率是13/52或1/4。

古典概率公式,一个事件发生的概率与打赌其发生的投注赔率并不相同。

一个事件A（适用于古典概率理论）将会发生的公平的打赌投注赔率为：

Odds（A）=f：

u其中，f是有利的结果的数目，u是不利的结果的数目。

【思考】从一副扑克牌中抽出一张红桃的公平打赌赔率是多少？

【解析】从一副扑克牌中抽出一张红桃的公平的打赌投注赔率是13:

39（或1:

3），因为有13张红桃，另有39张牌不是红桃。

假设孟芳和胡杨打一个公平的赌，孟芳押100块抽中红桃。

如果孟芳赢得赌局，那么胡杨就该支付孟芳300块钱。

概率与赔率,

（二）概率的相对频率理论,概率的古典理论存在局限性。

比如，当试图确定一位60岁的男子在10年之内死于心脏病的概率时，要对所有可能的结果做出描述几乎不可能。

他可能死于癌症、肺炎、致命流感，也可能死于意外事故等，且这些结果并非是等可能发生的。

为了计算此类事件的概率，我们需要概率的相对频率理论。

概率的相对频率理论起源于18世纪人寿保险公司所使用的死亡表。

与依赖于先验计算的古典理论相反，相对频率理论依靠的是对某种事件发生的频率的实际观察。

频率概率公式,一个事件A发生的频率概率为：

其中，fo是所观察到的有利的结果的数量，no是所观察到的结果的总数。

【思考】一名50岁的男子再活5年的概率是多少？

【解析】为确定一名50岁的男子再活5年的概率，可以观察由50岁男子组成的样本，比如1000名，如果有968人在5年之后还活着，那么那位男子再活5年的概率就是968/1000。

（三）概率的主观主义理论,概率的古典理论和相对频率理论都不能把概率指派给单个的事件，但现实世界中存在许多单个事件。

例如，赵先生和周女士在某年某月结婚，某位游泳运动员在下一届奥运会上获得自由泳冠军，等。

为了刻画这些事件的概率，我们需要主观主义理论。

概率的主观主义理论用个人的信念这样的术语来说明概率的意义。

尽管这样的信念是不明确的、模糊的，但是通过一个人所能接受的对某个赌博的投注赔率可以给出对信念的定量解释。

比如，如果张三相信某匹马会获胜，并且他愿意以8:

5的赔率对这一事件打赌，那么意味着他把8/（8+5）的概率指派给了这个事件。

二、概率演算,前述三种概率理论为我们提供了把概率指派给某个事件的三种方法，为计算复合事件的概率奠定了基础。

计算复合事件的概率需要概率演算作为工具。

概率演算规则的逻辑研究是以命题逻辑为基础的。

因此以下讨论将采用这样的命题逻辑符号：

“”表示否定，“”表示析取，“”表示合取，“”表示实质蕴涵。

（一）初始规则,概率演算有三条初始规则：

规则1如果一个命题是重言式，那么它的概率等于1。

其中，重言式是指无论事实真假都为真的命题，也叫永真式。

规则2如果一个命题是矛盾式，那么它的概率等于0。

其中，矛盾式是指无论事实真假它都为假的命题，也叫永假式。

规则3如果两个命题是逻辑等值的，那么它们有相等的概率。

其中，两个命题逻辑等值是指它们陈述的是同一事实。

（二）析取规则和否定规则,当两个命题不能同时为真时，就说这两个命题互斥。

例如：

（1）刘蓓今天恰好25岁。

（2）刘蓓今天恰好30岁。

规则4如果A和B是互斥命题，那么P（AB）=P（A）+P（B）注：

规则4也称为特殊析取规则。

【思考】假设从一副洗好的扑克牌（去掉大小王）中抽取1张牌。

请问“抽到梅花A或抽到方块A”的概率是多少？

【解析】“抽到梅花A”和“抽到方块A”是互斥的。

P（“抽到梅花A”“抽到方块A”）=P（抽到梅花A）+P（抽到方块A）=1/52+1/52=2/52,否定规则,规则5P（A）=1-P（A）证明：

根据特殊析取规则可知：

P（AA）=P（A）+P（A）=1等式两边减去P（A）得到：

P（A）=1-P（A）,一般析取规则,【思考】从一副扑克牌中“抽出一张K牌或者抽出一张梅花”的概率是多少？

【解析】既然存在一张梅花K，那么“抽出K牌”和“抽出梅花”这两个命题就不是相斥的。

如何计算这个析取命题的概率？

此时必须减去“抽出一张K同时也是梅花”的概率。

因此，这个析取命题的概率如下：

P（K梅花）=P（K）+P（梅花）-P（K梅花）这就是概率演算的一般析取规则：

规则6P（AB）=P（A）+P（B）-P（AB）注：

不管析取命题的析取支是否互斥，一般析取规则都适用。

（三）条件概率和合取概率,在讨论合取规则之前，需要引入条件概率的概念。

已知A的条件下B的概率称为B的条件概率，记作P（B|A），它可以读作“在A条件下B的概率”、“基于A的B的概率”或者“假设A时B的概率”。

以掷骰子为例，掷出偶数点的概率是1/2。

但在已经掷出2点或4点的条件下掷出偶数点的概率就不是1/2而是1。

在已经掷出1点或3点的条件下掷出偶数点的概率是0。

一般合取规则,一般合取规则可以直接从条件概率的定义导出。

规则7P（AB）=P（A）P（B|A）【思考】如何证明一般合取规则合理性？

【解析】根据条件概率的定义P（B|A）=P（AB）/P（A），用P（A）乘以等式两边，得：

P（A）P（B/A）=P（AB）,“独立”概念,如果事件A发生不会影响事件B发生的概率，就说A、B两事件是独立的。

此时，P（B|A）=P（B）且P（A|B）=P（A）。

独立与互斥并不相同。

例如，“下一次掷骰子将掷得5点”与“下一次掷硬币掷得正面”是独立的，但它们并不互斥，因为它们可能同真。

而命题“下一次掷骰子将掷得偶数点”与命题“下一次掷骰子将掷得5点”是互斥的，但它们并不独立。

P（掷得偶数点）=1/2，但P（掷得偶数点|掷得5点）=0。

P（掷得5点）=1/6，而P（掷得5点|掷得偶数点）=0。

一般来说，如果A和B互斥，它们就不独立；而如果A和B独立，它们就不互斥。

特殊合取规则,当A和B独立时，用P（B）代换一般合取规则中的P（B|A）从而得到特殊合取规则。

规则8如果A和B是独立的，那么P（AB）=P（A）P（B）。

假设同时掷两枚骰子A和B，由于骰子A掷得哪一面并不影响骰子B掷得哪一面，反之亦然，因此，表示骰子A各种抛掷结果的所有命题独立于表示骰子B各种抛掷结果的所有命题。

要想计算骰子A掷出1点并且骰子B掷出6点的概率，可以应用特殊合取规则。

而当两个命题不独立时，必须应用一般合取规则。

三、贝叶斯规则,贝叶斯规则（亦称贝叶斯定理）是英国数学家托马斯贝叶斯（ThomasBayes1702-1761）在1763年发表的一篇论文中提出的。

贝叶斯规则是打开“向经验学习”之门的钥匙，是帮助我们理解如何应用新证据的重要规则。

贝叶斯推理的核心思想,【思考】有两个坛子，都装有红球和黑球。

坛子A有80%的红球，20%的黑球，坛子B有60%的黑球，40%的红球。

随机挑选一个坛子，并从这个坛子中摸出一个球，该球是红球。

请问该坛子是A的概率是多少？

该坛子是B的概率是多少？

【解析】从坛子A中抽出红球的概率是0.8，从坛子B中抽出红球的概率是0.4。

即P（R|A）=0.8；P（R|B）=0.4需要求的概率是：

P（A|R）和P（B|R），它们分别是P（R|A）和P（R|B）的逆概率。

我们可以根据条件概率的定义来计算。

但是，还有一个更加简单的计算规则，即贝叶斯规则（贝叶斯公式）。

下面将讨论该公式。

贝叶斯公式,在坛子问题中，随机抽取且取出一个红球，就得到了某种证据（用字母E表示）。

从最简单的情况开始，这里只有两个命题：

A和A，它们是互斥且穷举的。

令P（E）0，有：

这是贝叶斯规则的最简单形式。

【练习】请证明贝叶斯公式的有效性。

贝叶斯推理的必要信息,应用贝叶斯规则来计算一个给定假说被证据所支持的程度，需要三种信息：

P（A）、P（E/A）和P（E/A）。

P（A）表示假说A的先验概率或验前概率（PriorProbability）。

根据否定规则就可以计算出P（A）。

P（E/A）是当假说A为真时证据E（或相关现象）的概率。

P（E/A）是当假说A为假时证据E（或相关现象）的概率。

课后作业,根据贝叶斯公式计算前述坛子问题中的P（A|R）和P（B|R）。

第二节统计推理,一、统计推理概述二、统计推理的类别、形式和相关概念三、统计推理的抽样问题四、统计推理的应用,一、统计推理概述,统计推理是一种现代意义上的归纳推理，它以统计数据为前提，以概率论为基础。

统计数据是人们通过对数量信息进行收集、整理和分析等统计工作得到的。

例如：

中国电子商务会2012年1-6月的调查显示，近94的中国消费者对智能电视有所了解，36的消费者打算近期购买智能电视。

2020年的214注定与往年不同。

近日，苏宁发布了2月10日-13日的消费大数据。

数据显示，油盐酱醋等调料销量环比增长131%，大米销量同比增长175%。

看来，有不少平时不做饭的人也“为爱下厨”了。

（新民晚报，2020-2-14）【思考】什么是“同比”，什么是“环比”？

它们有哪些用途？

同比与环比,同比和环比用于表示某一事物在对比时期内发展变化的方向和程度。

同比：

本期水平与上年同期水平相比较。

环比：

本期水平与上一统计段的水平相比较。

一般用在相邻的月或日。

同比发展速度和同比增长速度,【思考】今年3月某统计指标的值是110亿元，而去年3月该指标的值是100亿元，那么该指标今年的同比发展速度和同比增长速度是多少？

【解析】同比发展速度（110100）100%=110%。

可以看出，该指标今年相比去年增长了10%，即（110-100）100100%=10%，这就是同比增长速度。

同比发展速度=本期数/上期数100%，它可以消除季节变动的影响，反映现象的相对发展速度。

同比增长速度=（本期数-上期数）/上期数100%，或者=同比发展速度-1。

环比发展速度和环比增长速度,【思考】某企业2014年3月的销售收入为110亿元，2014年2月的销售收入为100亿元。

请问该企业销售收入的环比发展速度和环比增长速度分别是多少？

【解析】环比发展速度=（110100）100%=110%。

可以看出，3月的销售收入相比2月增长了10%，即（110-100）100100%=10%，这就是环比增长速度。

环比发展速度=本期数/上期数100%，它反映了现象的逐期发展速度。

环比增长速度=（本期数-上期数）/上期数100%，或者=环比发展速度-1，它反映了本期相对上期增长了多少。

统计假说,统计假说是人们在研究统计数据的基础上提出的假说。

例如：

37%的中国成年男子喝酒。

18%的中国成年妇女喝酒。

它们都给出了总体中的某些个体具有或不具有某种属性，即（总体）的x%是（属性）这就是统计假说的基本结构。

【思考】人们提出统计假说时，是否需要考察总体中的所有个体？

【解析】一般情况下，人们往往没有（或无法）考察完总体中的所有个体，而只是考察了总体的某个样本，并根据样本的特征推出总体的特征。

这就是统计推理。

二、统计推理的类别和形式,统计推理：

是由样本到总体的推理，是由样本具有某种属性推出总体也具有某种属性的推理，主要包括估计、统计假说检验和贝叶斯推理。

估计：

通过样本具有某个特征来推出总体